准双曲面齿轮被广泛用作汽车主减速器齿轮,由于小、大轮之间偏置距的存在,可有效增加汽车的平稳性或者越野性,因此,对准双曲面齿轮进行研究更具有普遍意义．

国内外一些学者对对准双曲面齿轮的设计、制造和加工进行了研究^[1-5]．Kawasaki等^[6]分别采用解析和实验方法研究了大型摆线齿螺旋锥齿轮的齿面接触模式．Park等^[7]提出了一种准双曲面齿轮表面磨损的近似计算方法．Mohammadpour等^[8]对不同准双曲面齿轮在大负荷下的非牛顿混合弹流动力学进行了分析．Takeda等^[9]对准双曲面齿轮的啮合性能进行了分析,并通过实验测量了传动误差．Simon^[10]针对面滚式准双曲面齿轮提出了一种优化方法,用来系统地定义刀盘参数和机床加工参数．

准双曲面齿轮的啮合质量需要通过正确的切齿参数的调整来实现．基于局部综合法^[11-12]的切齿设计可以满足以上要求．杨宏斌等^[13]研究了基于局部综合法的刀倾半展成(HFT)法加工高齿准双曲面齿轮的切齿参数设计,从文献中可以看出,该方法很难控制接触迹线为直线,导致齿轮副对安装误差的敏感性较大．刀倾全展成(HGT)方法,大轮采用双面刀盘展成加工,虽然加工效率没有成形法高,但是齿面曲率特性好,能更好地控制齿轮的啮合性能,因此,本文对HGT准双曲面齿轮进行研究．方宗德等^[14]通过局部综合法对HGT准双曲面齿轮的优化切齿设计进行了前期理论探索,并没有通过算例给以定量计算和验证．本文作者曾对HGT准双曲面齿轮进行了工作齿面的理论推导,并进行了TCA计算^[15],然而该工作无法对齿轮的啮合性能进行预控．

综上所述,在已有螺旋锥齿轮主动设计技术中,没有将齿面的高性能设计与加工结合起来．本文结合展成法和刀倾法,提出基于局部综合法对HGT准双曲面齿轮进行加工参数设计研究,实现对齿面的主动设计,并通过TCA定量分析验证了参数推导的正确性．

1 局部综合法基本原理简介

局部综合法^[1]是一种用于研究齿轮啮合的有效方法,基本思想是:根据大轮刀具参数和轮坯参数确定大轮的切齿参数,在大轮齿面上选取一参考点M(即一阶接触参数,参考点的位置决定了啮合区的位置),计算出参考点处大轮齿面的主曲率和主方向,并预置参考点处的3个二阶接触参数(即传动比函数的一阶导数m′₂₁ 、大轮齿面上接触迹线和齿根的夹角η₂以及接触椭圆的长半轴长度a),这些参数决定了传动误差曲线的形状与幅值、接触迹线方向和啮合区的宽度;然后,求出参考点处小轮的主曲率和主方向,在此基础上确定小轮的切齿参数．

2 大轮加工参数及参考点的确定 2.1 确定大轮加工参数

大轮切齿参数设计坐标系如图 1所示．图 1中,O_2F、O_2P、O₂和O_2R分别为面锥顶点、节锥顶点、交叉点和根锥顶点,b₂为大轮齿宽,A_m为大轮中点锥距,Z_G和Z_R分别为节锥顶点到设计交叉点的距离和节锥顶点到根锥顶点的距离,H₂和V₂分别为大轮刀盘的水平刀位和垂直刀位,S_r2和q₂分别为径向刀位和角向刀位,R_G2为刀盘半径,β₂为大轮中点螺旋角．O_c2是大轮机床中心,也是平面产形轮的中心,O_g是刀盘中心．σ₂、σ_r2和θ_r2分别为大轮的节锥角、根锥角和齿根角．X₂为大轮的旋转轴,坐标系O₂-X₂Y₂Z₂为大轮加工坐标系,φ₂为大轮加工转角;X与大轮节锥线重合,坐标系O_2p-XY为大轮旋转投影面坐标系．

给定垂直轮位E_m2=0,根据图 1,大轮加工参数为

$\begin{align} & {{H}_{2}}=({{A}_{m}}+\Delta x)\text{cos}~{{\theta }_{r2}}-{{R}_{G2}}\text{sin }\!\!~\!\!\text{ }{{\beta }_{2}}, \\ & {{V}_{2}}={{R}_{G2}}\text{cos}~{{\beta }_{2}}, \\ & {{S}_{r2}}=\sqrt{{{H}_{2}}+{{V}_{2}}}, \\ & {{q}_{2}}=\text{si}{{\text{n}}^{-1}}({{V}_{2}}/{{S}_{r2}}), \\ & {{X}_{G2}}=-{{Z}_{G}}, \\ & {{X}_{B2}}={{Z}_{R}}sin~{{\sigma }_{r2}}, \\ & {{C}_{r2}}=cos~{{\theta }_{r2}}/sin~{{\sigma }_{2}}. \\ \end{align}$

式中:X_g2、X_b2和C_r2分别是轴向轮位、床位和滚比．至此,大轮的加工参数已完全确定．

2.2 确定参考点

如图 1中所示,h_mf和h_mr分别是大轮中点齿顶高和中点齿根高,所以,中点全齿高

${{h}_{{}}}m={{h}_{mf}}+{{h}_{mr}};$

M₀是齿面中点，

$$

M是要确定的参考点,Δx和Δy分别是M点在齿宽和齿高方向距齿面中点M₀的距离,M点的位置由参数X_L和H_L决定:

$({{X}_{{{M}_{0}}}}={{A}_{{}}}m,{{Y}_{{{M}_{0}}}}={{h}_{mf}}-{{h}_{m}}/2或{{Y}_{{{M}_{0}}}}={{h}_{{}}}m/2-{{h}_{mr}})$

因此,调整Δx和Δy的值,即可按需要确定参考点M的位置,同时,根据X_L和H_L,可计算出M点处的大轮刀盘转角、摇台转角和刀盘锥面参数．

2.3 参考点大轮的主方向和主曲率

根据文献^[1]中线接触计算公式,由大轮刀盘切削面的主曲率和主方向,求出大轮齿面上参考点的主曲率和主方向．

大轮刀盘切削锥面图见文献^[15]中图 1(a)所示．其位矢和单位法矢如下:

$\begin{align} & {{r}_{g}}=\left[ \begin{matrix} ({{r}_{c2}}-{{S}_{g}}\text{sin}~{{\alpha }_{2}})\text{cos}~{{\theta }_{g}} \\ ({{r}_{c2}}-{{S}_{g}}\text{sin}~{{\alpha }_{2}})\text{sin}~{{\theta }_{g}} \\ -{{S}_{g}}\text{cos}~{{\alpha }_{2}} \\ 1 \\ \end{matrix} \right], \\ & {{n}_{g}}=\left[ \begin{matrix} -\text{cos}~{{\alpha }_{2}}\text{cos}~{{\theta }_{g}} \\ -\text{cos}~{{\alpha }_{2}}\text{sin}~{{\theta }_{g}} \\ \text{sin}~{{\alpha }_{2}} \\ \end{matrix} \right]. \\ \end{align}$

式中: r_c2、S_g、α₂和θ_g分别表示大轮内刀刀尖半径、刀盘锥面参数、刀盘齿形角和刀盘转角．

所以,大轮刀盘切削锥面的主方向表示为

$e_{s}^{\left( g \right)}=\left( \frac{\partial {{r}_{g}}}{\partial {{\theta }_{g}}} \right)/\left( \left| \frac{\partial {{r}_{g}}}{\partial {{\theta }_{g}}} \right| \right)=\left[ \begin{matrix} -\sin {{\theta }_{g}} \\ \cos {{\theta }_{g}} \\ 0 \\ \end{matrix} \right],$

(1)

$e_{q}^{\left( g \right)}=\left( \frac{\partial {{r}_{g}}}{\partial {{S}_{g}}} \right)/\left( \left| \frac{\partial {{r}_{g}}}{\partial {{S}_{g}}} \right| \right)=\left[ \begin{matrix} -\sin {{\alpha }_{2}}\cos {{\theta }_{g}} \\ -\sin {{\alpha }_{2}}\sin {{\theta }_{g}} \\ -\cos {{\alpha }_{2}} \\ \end{matrix} \right].$

(2)

相应的大轮刀盘切削锥面的主曲率表示为

$k_{s}^{(g)}=\text{cos}~{{\alpha }_{2}}({{r}_{c2}}-{{S}_{g}}\text{sin}~{{\alpha }_{2}}),k_{q}^{(g)}=0.$

(3)

啮合坐标系见文献^[15]中图 3所示．在参考点M,齿轮副的瞬时传动比等于理论值(两齿轮的齿数比),因此大轮和小轮在参考点的啮合转角ψ₂^(M) 可通过啮合方程求出．将式(1)～(3)经过坐标变换到机床坐标系:

$\left\{ \begin{align} & {{r}_{c2}}={{M}_{c2g}}{{r}_{g}}, \\ & {{n}_{c2}}={{L}_{c2g}}{{n}_{g}}. \\ \end{align} \right.$

(4)

$\left\{ \begin{align} & e_{sc2}^{\left( g \right)}={{L}_{c2g}}e_{s}^{\left( g \right)}, \\ & e_{qc2}^{\left( g \right)}={{L}_{c2g}}e_{q}^{\left( g \right)}, \\ & k_{sc2}^{\left( g \right)}=k_{s}^{\left( g \right)}, \\ & k_{qc2}^{\left( g \right)}=k_{q}^{\left( g \right)}. \\ \end{align} \right.$

(5)

式中:r_c2、n_c2分别为机床坐标系中大轮齿面参考点M处的位矢和法矢;M_c2g为刀盘坐标系到机床坐标系的转换矩阵;L_c2g为M_c2g的旋转矩阵．M_c2g可表示如下:

$\begin{align} & {{M}_{c2g}}=\left[ \begin{matrix} \cos {{\gamma }_{2}}\cos {{\phi }_{g}} & \cos ~{{\gamma }_{2}}\sin ~{{\phi }_{g}} & \sin {{\gamma }_{2}} & \cos ~{{\gamma }_{2}}({{H}_{2}}\cos ~{{\phi }_{g}}+{{V}_{2}}\sin ~{{\phi }_{g}})-{{X}_{b2}}\sin ~{{\gamma }_{2}} \\ -\sin {{\phi }_{g}} & \cos {{\phi }_{g}} & 0 & -{{H}_{2}}\sin {{\phi }_{g}}+{{V}_{2}}\cos {{\phi }_{g}} \\ -\sin ~{{\gamma }_{2}}\cos {{\phi }_{g}} & -\sin ~{{\gamma }_{2}}\sin {{\phi }_{g}} & \cos ~{{\gamma }_{2}} & -\sin ~{{\gamma }_{2}}({{H}_{2}}\cos {{\phi }_{g}}+{{V}_{2}}\sin {{\phi }_{g}})-{{X}_{b2}}\cos ~{{\gamma }_{2}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]. \\ & ~ \\ \end{align}$

将式(5)代入文献^[1]中线接触公式,可得机床坐标系中大轮齿面参考点M处的主方向e_fc2⁽²⁾和e_hc2⁽²⁾,以及主曲率k_fc2⁽²⁾ 和k_hc2⁽²⁾,其中,上标“2”表示大轮齿面Σ₂的主方向和主曲率．

同理,将式(4)和(5)变换到大轮坐标系中,可得到大轮齿面参考点M处的位矢r₂、法矢n₂、主方向e_f⁽²⁾ 、e_h⁽²⁾ 和主曲率k_f⁽²⁾ 、k_h⁽²⁾:

$\begin{matrix} {{r}_{2}}={{M}_{2c2}}{{r}_{c2}}, & {{n}_{2}}={{L}_{2c2}}{{n}_{c2}}, \\ e_{f}^{\left( 2 \right)}={{L}_{2c2}}e_{sc2}^{\left( g \right)}, & e_{h}^{\left( 2 \right)}={{L}_{2c2}}e_{qc2}^{\left( g \right)}, \\ k_{f}^{\left( 2 \right)}=k_{sc2}^{\left( g \right)}, & k_{h}^{\left( 2 \right)}=k_{qc2}^{\left( g \right)}. \\ \end{matrix}$

式中: M_2c2为机床坐标系到大轮坐标系的转换矩阵,L_2c2为M_2c2的旋转矩阵．M_2c2可表示如下:

${{M}_{2/2}}=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & {{X}_{g2}} \\ 0 & \cos {{\phi }_{2}} & -\sin {{\phi }_{2}} & 0 \\ 0 & \sin {{\phi }_{2}} & \cos {{\varphi }_{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right].$

然后,再变换到啮合坐标系,得到啮合坐标系中大轮齿面参考点处的位矢r_h⁽²⁾ 、法矢n_h⁽²⁾ 、主方向e_Ⅰ⁽²⁾ 、e_Ⅱ⁽²⁾ 和主曲率k_Ⅰ⁽²⁾、k_Ⅱ⁽²⁾:

$\left\{ \begin{align} & r_{h}^{\left( 2 \right)}={{M}_{h2}}{{r}_{2}}, \\ & n_{h}^{\left( 2 \right)}={{L}_{h2}}{{n}_{2}}, \\ \end{align} \right.$

(6)

$\left\{ \begin{align} & e_{\text{I}}^{\left( 2 \right)}={{L}_{h2}}e_{f}^{\left( 2 \right)}, \\ & e_{\text{II}}^{\left( 2 \right)}={{L}_{h2}}e_{h}^{\left( 2 \right)}, \\ & k_{\text{I}}^{\left( 2 \right)}=k_{f}^{\left( 2 \right)}, \\ & k_{\text{II}}^{\left( 2 \right)}=k_{h}^{\left( 2 \right)}. \\ \end{align} \right.$

(7)

式中: M_h2为大轮坐标系到啮合坐标系的转换矩阵,L_h2为M_h2的旋转矩阵．M_h2可表示如下:

${{M}_{h2}}=\left[ \begin{matrix} \cos ~\eta & \sin ~\eta \sin ~\psi _{2}^{\left( M \right)} & \sin ~\eta \cos ~\psi _{2}^{\left( M \right)} & -\cos ~\eta \\ 0 & \cos ~\psi _{2}^{\left( M \right)} & -\sin ~\psi _{2}^{\left( M \right)} & E \\ -\sin ~\eta & \cos ~\eta \sin ~\psi _{2}^{\left( M \right)} & \cos ~\eta \cos ~\psi _{2}^{\left( M \right)} & \sin ~\eta \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right].$

式中:η、E分别为大、小轮的轴夹角和偏置距．

3 确定小轮加工参数

预置传动比函数的一阶导数m′₂₁ 、接触迹线与齿根夹角η₂和接触椭圆长半轴长度a,将式(6)和(7)代入文献^[1]中点接触齿面间主方向和主曲率的关系公式,可由大轮参考点M处的主方向和主曲率计算出参考点M处小轮齿面的主方向e_Ⅰ⁽¹⁾、e_Ⅱ⁽¹⁾ 和主曲率k_Ⅰ⁽¹⁾、k_Ⅱ⁽¹⁾ 以及小轮和大轮第一主方向之间的夹角σ⁽¹²⁾．

由线接触条件可得相应小轮刀盘锥面的主曲率k_Ⅰ^(p)和k_Ⅱ^(p)、主方向e_Ⅰ^(p) 和e_Ⅱ^(p) 以及刀盘锥面和小轮齿面第一主方向的夹角σ^(p1)．小轮单面刀盘外刀和内刀法截面示意图如图 2(a)和图 2(b)所示,图中r₁^(M)和r₂^(M)分别为外刀和内刀参考点M处的曲率半径,S_p为小轮刀盘锥面参数,r_c1⁽¹⁾ 和r_c1⁽²⁾ 分别为小轮刀盘外刀和内刀的刀尖半径,C_h^(p)为刀盘轴线的单位矢量,n⁽¹⁾和n⁽²⁾分别为外刀和内刀参考点M处的法矢,由此可计算出刀盘刀顶平面中心位置矢量R_h^(p)．

$\begin{align} & C_{h}^{\left( p \right)}=-e_{I}^{\left( F \right)}\cdot cos~{{\alpha }_{1}}-n_{h}^{\left( 1 \right)}\cdot sin~{{\alpha }_{1}}, \\ & R_{h}^{\left( p \right)}=r_{h}^{\left( 1 \right)}-e_{I}^{\left( F \right)}\cdot ({{S}_{p}}+r_{c1}^{\left( 1 \right)}~sin~{{\alpha }_{1}})+n_{h}^{\left( 1 \right)}\cdot r_{c1}^{\left( 1 \right)}~sin~{{\alpha }_{1}}. \\ \end{align}$

式中: S_p为小轮刀盘锥面参数;r_h⁽¹⁾ 、n_h⁽¹⁾ 为啮合坐标系中小轮的位矢和法矢,且r_h⁽¹⁾=r_h⁽²⁾,n_h⁽¹⁾=n_h⁽²⁾．

小轮切齿参数设计坐标系如图 3所示．图中O_h-X_hY_hZ_h为啮合坐标系,O_c1-X_c1Y_c1Z_c1为机床坐标系,O_p-X_pY_pZ_p为小轮刀盘坐标系,O₁为小轮的坐标原点,O_p为小轮的刀盘中心,φ_h(为给定值)为小轮初始加工转角,M为参考点,γ₁(为给定值)为小轮机床安装角．将r_h⁽²⁾ 、n_h⁽²⁾ 、C_h^(p)、R_h^(p) 和e_Ⅰ^(p)、e_Ⅱ^(p) 变换到坐标系O_q-X_qY_qZ_q中,得到r_q⁽¹⁾=r_q⁽²⁾,n_q⁽¹⁾=n_q⁽²⁾,以及C_q^(p)、R_q^(p) 、e_qⅠ^(p)和e_qⅡ^(p)．坐标变换矩阵M_qh表示如下:

${{M}_{qh}}=\left[ \begin{matrix} \cos {{\gamma }_{1}} & \sin {{f}_{1}}\sin {{f}_{h}} & \sin ~{{\gamma }_{1}}\cos {{f}_{h}} & 0 \\ 0 & \cos {{f}_{h}} & -\sin {{f}_{h}} & 0 \\ \sin ~{{\gamma }_{1}} & \cos ~{{\gamma }_{1}}\sin {{f}_{h}} & \cos ~{{\gamma }_{1}}\cos {{f}_{h}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right].$

将r_q⁽¹⁾ 、n_q⁽¹⁾ 、C_q^(p)、R_q^(p) 、e_qⅠ^(p) 和e_qⅡ^(p) 变换到机床坐标系O_c1-X_c1Y_c1Z_c1中,得到r_c1⁽¹⁾ 、n_c1⁽¹⁾ 、C_c1^(p)、R_c1^(p) 、e_c1Ⅰ^(p)和e_c1Ⅱ^(p)．坐标转换矩阵M_c1q可表示如下:

${{M}_{c1q}}=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & {{X}_{g1}}\cos ~{{\gamma }_{1}} \\ 0 & 1 & 0 & -{{E}_{m1}} \\ 0 & 0 & 1 & {{X}_{g1}}\sin ~{{\gamma }_{1}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right].$

小轮和产形轮的啮合方程为

${{v}^{(p1)}}\cdot n_{c1}^{\left( 1 \right)}=0$

(8)

式中: v^(p1)为小轮产形轮和小轮的相对速度;n_c1⁽¹⁾为参考点M处的法矢．

联合文献^[1]中基本方程组和式(8)以及r_c1⁽¹⁾ 、n_c1⁽¹⁾ 、C_c1^(p)、R_c1^(p) 、e_qⅠ^(p) 以及e_qⅡ^(p),将以上过程编制成计算机程序,可得到轴向轮位X_g1、垂直轮位E_m1和滚比C_r1,由于篇幅限制,这里不再展开说明．

R_c1^(p) 可表示为

$R_{c1}^{\left( p \right)}=\left[ \begin{matrix} R_{c1x}^{\left( p \right)} & R_{c1y}^{\left( p \right)}~ & R_{c1z}^{\left( p \right)}~ \\ \end{matrix} \right]$

所以, 根据图 3,小轮的水平刀位H₁、垂直刀位V₁、床位X_b1、径向刀位S_r1和角向刀位q₁为

$\begin{matrix} {{H}_{1}}=R_{c1x}^{\left( p \right)}, \\ {{V}_{1}}=R_{c1y}^{\left( p \right)}, \\ {{X}_{b1}}=R_{c1z}^{\left( p \right)}, \\ {{S}_{r1}}={{H}^{2}}_{1}+{{V}^{2}}_{1}~, \\ {{q}_{1}}={{\sin }^{-1}}({{V}_{1}}/{{H}_{1}}). \\ \end{matrix}$

另外,小轮的刀倾角i和刀转角j可由刀盘轴线的单位矢量

$\begin{align} & C_{q}^{\left( p \right)}=\left[ \begin{matrix} C_{qx}^{\left( p \right)} & C_{qy}^{\left( p \right)} & C_{qz}^{\left( p \right)} \\ \end{matrix} \right] \\ & ~ \\ \end{align}$

求得:

$\begin{align} & i={{\sin }^{-1}}(\sqrt{{{(C_{qx}^{\left( p \right)})}^{2}}+{{(C_{qy}^{\left( p \right)})}^{2}}}), \\ & j={{\tan }^{-1}}(-C_{qy}^{\left( p \right)}/C_{qx}^{\left( p \right)}). \\ \end{align}$

4 算例验证

用以上方法对一对HGT准双曲面齿轮副进行切齿参数设计,轮坯参数见表 1,切齿参数见表 2中算例1(小轮采用单面法加工,这里仅列出小轮凹面的加工参数),齿面方程推导见文献[16],TCA^[16]分析结果见图 4．局部控制参数为接触迹线与齿根夹角为35°，传动误差曲线斜率为-0.000 4,瞬时接触椭圆长轴占齿宽比例为0.3,参考点齿宽方向控制参数Δx＝3 mm，参考点齿高方向控制参数Δy＝2 mm,改变参考点的位置,令Δx=3,Δy=2,即令齿面印痕向大端和齿顶移动,此时大轮切齿参数不变,小轮切齿参数见表 2中算例2,TCA分析结果见图 5．

由图 4可以看出,接触迹线接近直线,可避免边缘接触和轮齿齿顶、齿根的应力集中;传动误差幅值较大,且没有出现边缘接触,避免了轮齿传动的振动与冲击,使齿轮传动平稳．

由图 5可知,当参考点位置改变后,齿面印痕也相应随之改变,且接触迹线同样接近直线;传动误差对称并且幅值较大．同理,可通过改变其他局部控制参数得到不同的切齿参数,进而得到不同的齿面印痕和传动误差曲线．

以上分析结果,验证了切齿参数设计的正确性．

5 结论

1) HGT准双曲面齿轮大轮采用展成法加工,齿面曲率特性好,能有效改善齿轮的啮合性能,这一点是成形法所不具备的;小轮采用刀倾法加工,可简化刀具规格,使操作调整相对简单,这一点又优于变性法．因此,本文的研究为挖掘目前常见的加工方法,或探索新的加工方法,获得高性能的准双曲面齿轮提供了方法和保证．

2) 确定改善啮合和切触状态的切齿参数是齿轮研究的主要课题,本文以局部综合法为基础,对HGT准双曲面齿轮进行了切齿参数设计,通过控制参考点的一阶和二阶接触参数,达到了对齿面啮合性能的控制．该研究为高精度HGT准双曲面齿轮的设计与加工提供了有效工具．

3) 本文的设计方法保证了齿面接触迹线为直线,可降低对安装误差的敏感性;且保证了接触迹线与齿根有较小的夹角,增大了齿轮副的重合度,使齿轮运转平稳．验证了本文切齿设计方法的正确性．