Cu-Cr合金是以纯Cu为基体，加入Cr元素所构成的一种触头材料，是一种具有良好的导电、导热性能的合金，主要用于制作真空触头、接触导线、电阻焊电极等零部件^[1-4].当Cr相弥散到基体中时，合金的抗拉强度提高，塑性降低，但由于该合金凝固时存在液-固相变过程，液相Cr易于发生侧相凝固及上浮，使得Cr在基体中的分布易产生偏析现象，严重限制了合金的使用，其制备和研究过程十分困难^[5-7].

在Cu-Cr精炼金属铸造过程中，Cu和Cr的晶粒尺寸和比例各有不同，使得2种金属无法熔融均匀，造成严重的偏析现象，从而最终影响产品质量^[8].因此，研究者以Cu-Cr合金为研究对象，建立了固、液两相三维流动凝固模型，对合金体系中的凝固过程进行了数值模拟，揭示了Cu-Cr合金中的宏观偏析与温度梯度变化的密切联系.实际上，XIA等^[9]利用欧拉数值方法，建模分析了铸件的应力分布.岳强等^[10]建立了数学模型，分析了铸件流场、浓度场的变化情况.但是，到目前为止，对凝固过程中的温度场与宏观偏析联系变化的研究比较少.

本文基于Eulerian-Eulerian方法，建立了三维凝固偏析模型，利用fluent模拟计算，得到了Cu-6.5%Cr的凝固偏析分布和温度场分布.

1 数学模型

随着凝固模拟技术的广泛应用，液、固两相流动对铸件凝固的影响逐渐为人们所理解^[11].Cu-Cr凝固偏析所应用的数学模型引入如下假设：1) 凝固体系中铜、铬的物理化学参数不同.2) 铜和铬在其液、固不同状态的扩散系数不同.3) 糊状区的流动扩散采用Blake-Kozeny假设.4) Cr的熔点较高，不考虑汽相^[12-15].

动量守恒方程(Navier-Stokes方程)为

$\frac{{{\rm{d}}u}}{{{\rm{d}}t}} = F-\frac{1}{P}{\bf{drad}}P + v{\forall ^2}u, $

(1)

其中

${\forall ^2} = \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {z^2}}}.$

κ-ε双方程紊流模型：

雷诺在紊流方程中引入均化模型对N-S方程和连续性方程进行一次平均，得到平均运动的雷诺方程为

$\rho \left( {\frac{{\partial \bar u}}{{\partial t}} + \upsilon \frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right) = \rho x-\frac{{\partial \bar P}}{{\partial x}} + \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\mu \frac{{\partial u}}{{\partial x}}-\rho \overline {u'\upsilon '} } \right).$

(2)

由能量守恒原理可得傅里叶导热微分方程：

$\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \nabla \cdot \left( {\rho \bar U} \right) = 0, $

(3)

$\begin{array}{c} \rho c\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = {k_x}\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial x}}} \right) + {k_y}\frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial y}}} \right) + {k_z}\frac{\partial }{{\partial z}}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial z}}} \right) + Q + \\ \rho c\frac{{\partial z}}{{\partial t}}\frac{{\partial T}}{{\partial z}}. \end{array}$

(4)

连续方程：

$\begin{array}{c} \frac{{\partial \left( {\rho \bar U} \right)}}{{\partial t}} + \rho UU =- \nabla p + \nabla \cdot \left[{u\left( {\nabla U + \nabla {U^{\rm{T}}}} \right)} \right] + \\ \rho g + {F_{bf}} \end{array}$

(5)

$\begin{array}{l} \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {{f_l}\rho {\rho _l}{\mu _l}} \right) + \nabla \cdot \left( {{f_l}{\rho _l}{\mu _l} \otimes \mu } \right) = \\ \;\;\;\;\;-{f_l}\nabla p + \nabla \cdot {\overline{\overline \tau } _l} + {f_l} + {\rho _l}{g_l}-{U_{le}}-{U_{le}}. \end{array}$

(6)

其中

$\begin{array}{c} {g_l} = \frac{{\rho _l^b\left( {T, c} \right)-{\rho _l}}}{{{\rho _l}}}, \\ \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {{f_l}{\rho _l}{c_l}} \right) + \nabla \cdot \left( {{f_l}{\rho _l}{\mu _l}{c_l}} \right) = \nabla \cdot \left( {{f_l}{\rho _l}{D_l}\nabla {c_l}} \right)-{C_{lc}}-{C_{le}}. \end{array}$

(7)

2 计算方法 2.1 网格划分及边界条件

网格划分：以铸造模型为基础建立三维基准模型, 将其导入Gambit软件进行网格划分，划分成三维网格模型，如图 1所示.

边界条件设定：上底面为压力出口；下底面为普通底面，h=30 W/(m²·K)；侧面为冷却壁面，h=400 W/(m²·K)，T_EXT=298 K.

2.2 模型计算

将划分好的三维网格模型导入到Fluent中进行数值模拟计算，使用SIMPLE算法对质量、动量、溶质、热焓和多相相变进行耦合，时间步长为0.01 s，为了使残差更好地收敛, 调节适合的松弛因子，每步最大迭代次数为40^[16-17].导入到Fluent中的合金凝固模型所用的参数见表 1.

3 模拟结果与讨论 3.1 偏析模型

Cr的熔点较高、密度较小，在凝固过程中主要以液相→固相的相变过程，Cr在基体内以液相形式发生侧向凝固和上浮.Cu-Cr合金凝固过程中，单位时间内Cr在基体中的偏析模式用浓度梯度($\nabla {S_{{\rm{Cr}}}}$)和分布面积梯度($\nabla {S_{{\rm{Cr}}}}$)来表示.设Cr在合金基体中的浓度函数为c(a, t)，分布函数为f(a, t)，其中，a表示为x、y或z方向，因此，在凝固Δt时间后有

$c\left( {a, t + \Delta t} \right) = \int_{-\infty }^\infty {f\left( {a-a', \Delta t} \right)} c\left( {a', t} \right){\rm{d}}a'.$

(8)

积分得

$\begin{array}{c} c\left( {a, t + \Delta t} \right) = c\left( {a, t} \right) + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}c}}{{\partial {a^2}}}\int_{- \infty }^\infty {\left( {a- a'} \right)f} \left[{\left( {a-} \right.} \right.\\ \left. {\left. {a'} \right), \Delta t} \right]{\rm{d}}\left( {a -a'} \right). \end{array}$

(9)

化简得

$\frac{{\partial s}}{{\partial t}} = \frac{1}{{6\Delta {\rm{t}}}}{\eta ^{-2}}\left( {\frac{{{\partial ^2}s}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}s}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}s}}{{\partial {z^2}}}} \right) = \frac{1}{{6\Delta t}}{\eta ^{-2}}\nabla \left( {\nabla {S_{{\rm{Cr}}}}} \right).$

(10)

令a-a′=η，在三维方向上有

$\frac{{\partial s}}{{\partial t}} = \frac{1}{{6\Delta {\rm{t}}}}{\eta ^{-2}}\left( {\frac{{{\partial ^2}s}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}s}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}s}}{{\partial {z^2}}}} \right) = \frac{1}{{6\Delta t}}{\eta ^{-2}}\nabla \left( {\nabla {C_{{\rm{Cr}}}}} \right).$

(11)

同理可得

$\frac{{\partial c}}{{\partial t}} = \frac{1}{{6\Delta t}}{\eta ^{-2}}\left( {\frac{{{\partial ^2}c}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}c}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}c}}{{\partial {z^2}}}} \right) = \frac{1}{{6\Delta t}}{\eta ^{-2}}\nabla \left( {\nabla {C_{{\rm{Cr}}}}} \right).$

(12)

式(11)和(12)揭示了偏析相随时间、位置变化的规律^[18].

合金中的凝固流动有3种因素的作用：凝固初期，基体主要是合金液相，对溶质产生浮力，导致向上流动；重力，导致向下流动；溶质的扩散对流作用，引起Cr相等轴晶的紊流，把周围的熔体向上推动.合金凝固初期，2个向上的力量占主导地位.在基体内部，下半部的Cr相等轴晶改变方向向内移动，然后向顶部移动.同时，由于重力作用，部分溶质向下运动，向上和向下流动的相互作用，使上半部整个合金基体的湍流模式是高度不稳定和无序的，开始产生宏观偏析.

在凝固后期，从两侧向内生长的柱状尖端在基体中心处相遇.然而在机体上部，等轴晶会大量聚集，并停止向柱状晶尖端前沿的扩散.在柱状晶尖端，等轴晶扩散受阻，此处为柱状晶和等轴晶共存区域.此外，由于熔体相互作用的复杂性，气流也会影响最终的Cr相偏析^[19].

图 2为Cu-6.5%Cr合金凝固过程中Cr在基体中的扩散分布面积随时间和位置的变化规律.由于Cr的熔点比较高，但密度比Cu的要小，因此在凝固过程中会发生严重的偏析现象^[18].t_a为Cr上浮到基体顶部的临界点.从图 2可以看出：当t < t_a时，Cr相比较均匀地分散在合金基体中，Cr相熔点较高，先发生侧向凝固，形成糊状区；同时，Cr相的密度比Cu小，内部Cr相会发生上浮，向合金顶部移动.当t>t_a时，顶部的Cr会大量聚集并发生偏析，两侧Cr相“困”于糊状区，无法自由移动，并伴随着糊状区前沿的推移，以柱状晶形态持续在基体内生长.由于目前的模型不包括熔化和后扩散，固体树突的溶质浓度没有讨论.在不解决每个枝晶和枝晶的微观细节，能提供足够的信息来‘重建’溶质在整个合金的分布.

图 3给出了y=1 m处液相质量分数变化曲线.凝固初期(150 s)，壁面附近刚开始凝固，内部全是液相，Cr相向内部“漂移”，中部Cr相的质量分数相对较高.随着凝固的进行(450 s)，在x=0.1和0.4 m附近形成少量糊状区，Cr相开始凝聚成核，以柱状晶形态生长，内部液相Cr以等轴晶形态自由移动，在3种因素的综合作用下向基体上部偏析.750 s时凝固继续进行，糊状区扩大，两侧偏析增大，内部Cr相由于向顶部聚集, Cr相质量分数降低；1 050 s凝固后期两侧液相质量分数较少，固相质量分数占比增多，顶部Cr相大量聚集，两侧Cr相柱状晶缓慢生长^[20]，整个合金基体趋于完全凝固.

3.2 温度场

图 4为Cu-6.5%Cr合金凝固过程中温度场的变化趋势.凝固初期，温度场均匀分布，由于此时Cr相分布均匀，整个机体的冷却散热也是均匀的，但随着凝固的进行，两侧壁面的水冷温度一直保持298 K，导致壁面的冷却加快，而机体底部的冷却则会逐渐减慢.同时, 壁面不同区域出现温度梯度差异，说明合金基体的传热效率发生变化.凝固晶粒的生长方向直接关系到温度梯度和溶质浓度.合金凝固初期，由于基体壁面的冷却速率较快，主要形成柱状晶；随着凝固的进行，凝固界面横向推移，进而Cr相晶粒生长也遵循横向方向^[21]，与图中温度梯度方向基本一致.由此产生的温度分布如图 4所示，可以看出，热传递沿横向垂直于重力方向.

图 5为t=450 s时Cr的等值线云图和温度的等值线云图，可以看出，C_Cr与T有相类似的分布情况.

观察图 5的实线区域(x轴方向0.075~0.105 m)，分析该区域的C_Cr、T的演变过程，得到图 6的宏观偏析和温度梯度随凝固时间的变化曲线.从图 6(a)和6(b)中可以看出，450 s时y=1.24 m Zone1的温度梯度约为260 K，而y=1.28 m Zone2温度梯度约为140 K，这是由于Cr相偏析阻碍传热的进行，使得热量扩散速率降低，从而导致温度梯度增大.

从图 6(a)和6(b)可以看出，随着凝固的进行，150 s时y=1.24 m Zone1处Cr相质量分数逐渐增大，偏析度增大，并在x方向0.075~0.105 m处Cr相质量分数达到12.2%.由于Cu的导热系数是Cr的3.85倍，随着Cr相偏析的增大，对传热效率阻碍作用也在增加，使得温度梯度增大.对比图 6(a)~6(d)可以看出，450 s时Zone1的Cr相质量分数差达到6.3%，Zone2的Cr相质量分数差只有4.1%，相对应的Zone1温度梯度差达到180 K，而Zone2的温度梯度最大只有80 K，说明同一时刻不同区域Cr的偏析度越大，温度梯度越大.因此，偏析的形成对合金基体传热产生严重的影响，同样，传热效率的改变也证明了偏析模型的准确性.

4 实验验证

为了验证体系模型的准确性，实验选取Cu-Cr6.5%合金, 质量3 200 kg，实验参数与模拟参数一致，对比试验结果与模拟结果，但由于实际冶炼实验材料中含有杂质及局部冷却温度出现差异，导致实验与模拟结果存在一定的偏差.实验将模型通过锻造开坯、热轧、冷拉、退火等工序拉成成品线材.选取凝固4个截面位置(0.20 m，0.70 m，1.20 m，1.70 m), 与模拟结果进行对比，得到不同位置的Cr质量分数曲线，模拟与实验得到的Cr质量分数变化趋势相似，如图 7所示.

5 结论

1) 依据Cu-6.5%Cr合金凝固过程中Cr在基体中的扩散分布面积随时间和位置的变化规律，当t<t_a时，Cr相比较均匀地分散在合金基体中，Cr相熔点较高，先发生侧向凝固，形成糊状区；同时Cr相的密度比Cu小，内部Cr相会发生上浮，向合金顶部开始移动.当t>t_a时，顶部的Cr会大量聚集，形成顶部偏析，两侧Cr相“困”于糊状区，形成壁面偏析.

2) 随着凝固界面横向推移，Cr相晶粒也遵循此方向，进而形成壁面偏析，对壁面温度场的分布产生影响；Cu的传热系数是Cr的3.85倍，随着Cr相偏析度的增加，降低了基体壁面的传热效率，导致温度梯度变大；而且传热效率的改变也印证了模型的准确性.

3) 本文应用计算机模拟了铜络合金的凝固偏析过程，得到了直观的宏观偏析云图和温度场云图；从理论上分析了宏观偏析与温度场分布的联系机理，并进行了实验验证，模拟结果与实验结果一致，证明模型的准确性.