关于时滞车辆队列闭环稳定性的最紧要特征值

沈永明，朱旭，闫茂德; SHEN Yongming; ZHU Xu; YAN Maode

doi: 10.11918/202402003

沈永明，朱旭，闫茂德

长安大学电子与控制工程学院, 西安 710064

基金项目: 国家自然科学基金（62003054，52372406）；陕西省重点研发计划资助项目（2023YBGY398）

详细信息

作者简介

沈永明（1999—），男，博士研究生；

闫茂德（1974—），男，教授，博士生导师

通讯作者

朱旭，zx@chd.edu.cn

中图分类号: TP13

文献标识码: A

文章编号: 0367-6234(2025)04-0040-12

Most exigent eigenvalues for closed-loop stability of delayed vehicle platoons

SHEN Yongming ， ZHU Xu ， YAN Maode

School of Electronics and Control Engineering, Chang’an University, Xi’an 710064 , China

摘要

为研究时滞车辆队列的闭环稳定性与通信拓扑之间的本质关系揭示问题，针对二阶车辆队列与任意通信拓扑，提出了一种普适的最紧要特征值(MEE)搜寻方法。首先，基于车辆纵向动力学模型与含时滞分布式控制器，构建了时滞车辆队列闭环系统，并通过根趋势定义与Hermite稳定判据确定了系统仅存在一个时滞稳定区间。接着，对于拉普拉斯矩阵特征值全为实数的情况，通过分析系统最大容许时滞与拉普拉斯矩阵特征值之间的单调性关系，证明了二阶车辆队列的MEE必定为拉普拉斯矩阵的最大特征值。然后，对于部分特征值为共轭复数的情况，发现一对共轭复数特征值所对应的最大容许时滞大小相等，并给出了最大容许时滞的解析式。最后，在上述单调性关系分析过程中揭示了共轭复数特征值幅值与相角对MEE的影响规律，提出了简明的MEE搜寻规则。研究结果表明，通过仿真实例验证了所提理论方法的正确性，与传统遍历式的最大容许时滞求解方法相比，所提方法可大幅度降低运算量。MEE搜寻方法适用于任意通信拓扑下的二阶车辆队列系统闭环稳定性分析，具有普适性。

关键词

时滞车辆队列 / 通信拓扑 / 最紧要特征值（MEE） / 最大容许时滞 / 单调性分析

Abstract

To reveal the inherent relationship between the closed-loop stability of delayed vehicle platoons and communication topologies, a universal method of searching the most exigent eigenvalue (MEE) is proposed for second-order vehicle platoons under arbitrary communication topologies. First, for the case where all eigenvalues of the Laplacian matrix are real, by analyzing the monotonicity relationship between the maximum allowable delay and the eigenvalues, it is proven that the MEE of the second-order vehicle platoon must be the maximum eigenvalue of the Laplacian matrix. Then, for the case where some eigenvalues are complex conjugates, it is found that the maximum allowable delays corresponding to a pair of complex conjugate eigenvalues are equal in size, and an analytical expression for the maximum allowable delay is provided. Furthermore, during the analysis of the aforementioned monotonic relationship between the maximum allowable delay and the eigenvalues, the influence of the magnitude and phase of the complex conjugate eigenvalues on the MEE is revealed, and a concise MEE search rule is proposed. The results show that the proposed theoretical method is validated through simulation examples. Compared with traditional traversal methods of calculating the maximum allowable delay, the proposed method significantly reduces the computational burden. This method of searching the MEE is applicable to the closed-loop stability analysis of second-order vehicle platoons under arbitrary communication topologies and demonstrates universality.

Keywords

delayed vehicle platoon / communication topology / most exigent eigenvalue（MEE） / maximum allowable delay / monotonicity analysis

1 问题描述 1.1 图论基础 1.2 含时滞自主车辆队列控制系统建模 1.3 最大容许时滞与MEE问题 2 自主车辆队列的最紧要特征值分析 2.1 拉普拉斯矩阵特征值全为实数 2.2 拉普拉斯矩阵的部分特征值为共轭复数 3 仿真实例 4 结论

自主车辆队列（简称车辆队列）可以减少交通拥堵，降低能源消耗，增强行车安全性^[1]。在车辆队列中，通过车-车通信、车-基础设施通信等方式进行信息交互，实现车辆的协同控制和安全行驶^[2]。对于具有线性时不变动力学特性的车辆队列，当且仅当其闭环系统的所有特征根实部均为负数时，闭环稳定（又称内部稳定）^[3]。然而，由于车联无线通信环境和通信带宽的限制，车辆内部交互的信息中普遍含有通信时滞。通信时滞的存在，导致车辆队列的状态（位置、速度、加速度等）不仅与当前时刻有关，还与过去时刻有关。通信时滞削弱了车辆队列的静态和动态性能，严重降低了系统的闭环稳定性，甚至导致系统不稳定^[4]，因此时滞车辆队列的闭环稳定性分析，是车辆队列控制设计的必需环节，已经成为控制领域的研究热点之一^[5]。

时滞车辆队列的闭环稳定性分析，主要研究系统临界稳定处的最大容许时滞求解^[6-7]。然而，囿于时滞系统具有无穷维特性，其特征方程的解有无穷多个，导致最大容许时滞的求解方法不多^[8-9]。现有关于车辆队列闭环稳定性分析的主流方法，如时域分析法（Lyapunov-Razumikhin法^[10]、Lyapunov-Krasovskii法^[11]等）与频域分析法（奈奎斯特判据^[12]、小增益理论^[13]等），仅能得到车辆队列闭环稳定的充分条件，而非充要条件，无法获得最大容许时滞。近年来，一些学者利用频域分析中的特征根聚类法^[14]、直接法^[15-17]等推导了线性时不变时滞系统的最大容许时滞。尽管如此，这些传统的最大容许时滞求解方法依赖暴力搜索和穷尽式计算。利用传统遍历式方法求解车辆队列的最大容许时滞时，需先将车辆队列降维分解成若干个等价的子系统，各子系统与通信拓扑拉普拉斯矩阵特征值一一对应，然后遍历所有特征值并计算其所对应的时滞稳定边界，所有时滞稳定边界的最小值方为整个车辆队列的最大容许时滞^[14-17]。

然而，传统遍历式求解方法未揭示最大容许时滞与通信拓扑之间的本质关系，需要穷尽式计算，运算量大，尤其对于大规模车辆队列，该缺陷更为明显。针对该缺陷，Cepeda-gomez等^[18]首次提出了最紧要特征值（most exigent eigenvalue，MEE）的概念，指出MEE是通信拓扑拉普拉斯矩阵的关键特征值，对应车辆队列的最大容许时滞，反映了最大容许时滞与通信拓扑之间的本质关系。车辆队列的闭环稳定性等价于其MEE对应子系统的稳定性，因此只要找到MEE，就可直接、快速地求解最大容许时滞，这对实现车辆队列闭环稳定性的快速分析具有重要意义。遗憾的是，Cepeda-gomez等^[18]并未深入研究MEE问题，即如何从拉普拉斯矩阵的所有特征值中找到MEE。

近年来，在多智能体系统MEE问题的研究方面有了一些进展。Koh等^[19]、Jafarizadeh等^[20]指出，对于无向通信拓扑下的含时滞一阶多智能体系统，MEE为拉普拉斯矩阵的最大特征值。Ma等^[21]针对PD（proportional-derivative）控制协议作用下的一阶多智能体系统，认为MEE也是拉普拉斯矩阵的最大特征值。对于一阶多智能体系统，由于其子系统特征方程在形式上足够简单，MEE可以通过观察子系统时滞稳定边界的表达式直接得到，一般不需要进行解析证明。车辆队列是一种典型的多智能体系统。然而，一阶车辆队列忽略了车辆速度对车辆队列性能的影响，导致在处理复杂的交通状况时不够精确；二阶车辆队列能更好地反映实际交通中车辆的复杂相互作用，但其子系统特征方程的复杂度增加，难以通过观察的方式直接得到MEE，因此上述关于一阶多智能体系统MEE的搜寻方法并不能拓展到二阶车辆队列。对于二阶车辆队列MEE问题的研究，需要分析子系统时滞稳定边界与拉普拉斯矩阵特征值之间的单调性关系，研究难度明显增加。

上述研究的另一个局限性为其结果仅适用于拉普拉斯矩阵的特征值全为实数的情况，而无法适用于拉普拉斯矩阵的部分特征值为共轭复数的情况，缺乏普适性。实际交通场景中车辆队列的通信拓扑是多样的，因而通信拓扑的拉普拉斯矩阵通常存在共轭复数特征值。因此，在研究MEE问题时，不仅要考虑特征值的幅值，还不能忽视相角。特征值的幅值和相角之间具有耦合性，会导致上述单调性关系的分析难度进一步增大。另外，复数特征值会导致系统特征方程产生复系数，这也提升了上述单调性关系的研究难度与不确定性。总之，由于上述难点的存在，任意通信拓扑下含时滞二阶车辆队列的MEE问题尚未解决。

鉴于此，本文针对二阶车辆队列和任意通信拓扑，开展关于时滞车辆队列闭环稳定性的MEE问题研究，提出了一种普适的MEE搜寻方法，揭示了系统最大容许时滞与通信拓扑之间的本质关系，可附带产生大幅度降低最大容许时滞求解运算量的良好效果，从而快速实现车辆队列的闭环稳定性分析。

首先，针对现有研究未考虑二阶车辆队列MEE的问题，通过分析子系统时滞稳定边界与拉普拉斯矩阵特征值之间的单调性关系，提出了一种二阶车辆队列的MEE搜寻方法，揭示了最大容许时滞与通信拓扑之间的本质关系，可大幅度降低最大容许时滞求解的运算量。其次，提出了关于通信拓扑拉普拉斯矩阵实数特征值的MEE搜寻规则。最后揭示了共轭复数特征值的幅值和相角对MEE的影响规律。基于此，本文所提MEE搜寻方法适用于任意通信拓扑下的二阶车辆队列系统闭环稳定性分析，具有普适性。

1 问题描述

1.1 图论基础

考虑由一辆领航车与N-1辆跟随车组成的车辆队列，使用图G={V，E，Ã}描述车与车之间的通信拓扑。将每一辆车看作一个节点，V={1，2，···，N}为节点集合。若两个节点之间存在信息交互，则称它们之间存在一条边，

E \subseteq V \times V

为边的集合。Ã =[a_ij]_N_×_N为图G的邻接矩阵，当第i辆车能接收到第j辆车的信息时，a_ij=1；否则，a_ij=0。

D = d i a g \{\sum_{j = 1}^{N} a_{1 j} ， \sum_{j = 1}^{N} a_{2 j} ， \dots ， \sum_{j = 1}^{N} a_{N j}\}

为图G的入度矩阵。拉普拉斯矩阵为L=D- Ã ，L的特征值为λ_i，i∈V。队列中每辆跟随车都能获取到领航车的信息。有的跟随车通过与领航车的通信，直接获取领航车的信息；有的跟随车虽不与领航车直接通信，但可通过其他跟随车的中继通信，获取领航车的信息。

对于闭环稳定的车辆队列，图G中必然存在有向生成树，从而拉普拉斯矩阵L有一个零特征值，且其余特征值的实部全为正实数^[22]。不失一般性，假设L的特征值以实部大小升序排列，即λ₁=0＜Re（λ₂）≤Re（λ₃）≤···≤Re（λ_N），Re（·）表示实部。

假设L的一对共轭复数特征值为λ_i与λ_i₊₁，即λ_i₊₁=

{\bar{λ}}_{i} ， \bar{（ \cdot ）}

表示复共轭。λ_i=λ_i·

e^{j ∠ λ_{i}}

，λ_i₊₁=

|λ_{i}| \cdot e^{- j ∠ λ_{i}}

，其中，

|λ_{i}| > 0

为λ_i的幅值，∠λ_i∈（0，π/2）为λ_i的相角。

1.2 含时滞自主车辆队列控制系统建模

考虑第i辆车的纵向动力学模型为

(1)

式中，r_i（t）、v_i（t）、u_i（t）分别为第i辆车在t时刻的位置、速度和控制输入。式（1）的状态空间表达式为

{\dot{x}}_{i} (t) = A x_{i} (t) + B u_{i} (t)

(2)

式中：

车辆队列的间距策略采用固定间距策略，以增加道路容量^[23]，定义车辆队列的跟车误差为

(3)

式中：r₁（t）、v₁（t）分别为领航车在t时刻的位置和速度，d₀为相邻两辆车之间的期望车间距。令

{\tilde{x}}_{i} （ t ） = {[{\tilde{r}}_{i} （ t ） ， {\tilde{v}}_{i} （ t ）]}^{T}

，车辆队列的控制目标为

\underset{t \to \infty}{l i m} ∥{\tilde{x}}_{i} （ t ）∥ = 0

。

然后，设计分布式控制器为

u_{i} (t) = - K \sum_{j = 1}^{N} a_{i j} [{\bar{x}}_{i} (t - τ) - {\bar{x}}_{j} (t - τ)]

(4)

式中：K=[k_r，k_v]，k_r＞0、k_v＞0分别为位置反馈增益和速度反馈增益；τ为固定的通信时滞，且假设所有车-车通信信道的时滞是大小相等的。

结合式（2）与分布式控制器（4），可得到如下车辆队列闭环动力学模型：

\dot{X} (t) = (I_{N} \otimes A) X (t) - [L \otimes (B K)] X (t - τ)

(5)

式中：

X （ t ） = {[{\tilde{x}}_{1}^{T} （ t ） ， {\tilde{x}}_{2}^{T} （ t ） ， \dots ， {\tilde{x}}_{N}^{T} （ t ）]}^{T}

，I_N为N维单位矩阵，

\otimes

为Kronecker积。

通过一个非奇异变换矩阵R，可实现状态变换

X （ t ） = (R \otimes I_{2}) ζ （ t ） ， ζ （ t ） = [ζ_{1}^{T} （ t ） ， ζ_{2}^{T} （ t ） ， \dots ， {ζ_{N}^{T} （ t ）]}^{T} ， ζ_{i} （ t ） \in R^{2}

。通过上述状态变换，式（5）转换为

\dot{ζ} (t) = (I_{N} \otimes A) ζ (t) - [Λ \otimes (B K)] ζ (t - τ)

(6)

式中，Λ=diag{λ₁，λ₂，···，λ_N}。进一步，将式（6）降维分解成若干个子系统：

\dot{ζ} (t) = A ζ_{i} (t) - λ_{i} B K ζ_{i} (t - τ)

(7)

对车辆队列闭环系统（5）的闭环稳定性分析等价于对所有子系统（7）的稳定性分析。需要说明的是，λ₁=0在分析车辆队列闭环稳定性问题时通常不需要被考虑。因此，后续仅考虑

i \in \tilde{V} = V ∖ {1}

，表示

\tilde{V}

是由

V

去掉元素1后形成的。

1.3 最大容许时滞与MEE问题

子系统（7）的特征方程为

\begin{matrix} f_{i} (s, τ) = d e t (s I_{2} - A + λ_{i} B K e^{- τ s}) = \\ P_{i} (s) + Q_{i} (s, λ_{i}) e^{- τ s} = 0 \end{matrix}

(8)

式中：s为拉普拉斯变量，Q_i（s，λ_i）=

λ_{i} Q_{i}^{*} （ s ）

，

P_{i} （ s ） ， Q_{i}^{*} （ s ）

分别为关于s的实系数多项式。

随着时滞τ的增加，子系统特征方程（8）的根可能移动至虚轴，此时为一对共轭纯虚根，记作s=±jω_i，j²=-1，ω_i＞0为穿越频率。纯虚根s=±jω_i穿越虚轴的方向用根趋势（root tendency，RT）表示。根趋势的定义为

{R T|}_{s = \pm j ω_{i}}^{τ} = s g n [Re ({\frac{\partial s}{\partial τ}|}_{s = \pm j ω_{i}})]

(9)

若RT=+1，则s=±jω_i从左往右穿越虚轴，是不稳定的穿越行为；若RT=-1，则s=±jω_i从右往左穿越虚轴，是稳定的穿越行为。

接下来，将s=±jω_i代入子系统特征方程（8），并应用如下两个重要条件，可得到子系统（7）的时滞稳定边界

{\bar{τ}}_{i}

。

1）幅值条件为

|P_{i} (\pm j ω_{i})| = |Q_{i} (\pm j ω_{i}, λ_{i})|

(10)

2）相角条件为

∠ P_{i} (\pm j ω_{i}) - ∠ Q_{i} (\pm j ω_{i}, λ_{i}) \pm {\bar{τ}}_{i} ω_{i} + π = 2 k π

(11)

式中：k为整数，其取值需要保证

{\bar{τ}}_{i}

＞0且

{\bar{τ}}_{i}

取最小值，k通常取0或1。

在计算时滞稳定边界

{\bar{τ}}_{i}

时，仅需考虑正穿越频率ω_i，证明过程简述如下。首先，定义对应于s=+jω_i和s=-jω_i的时滞稳定边界分别为

{\bar{τ}}_{i 1}

和

{\bar{τ}}_{i 2}

，那么

{\bar{τ}}_{i}

=min{

{\bar{τ}}_{i 1}

，

{\bar{τ}}_{i 2}

}。然后，考虑两种情况，分别对应于实数特征值λ_i和一对共轭复数特征值λ_i与λ_i₊₁。

1）若λ_i是实数，则Q_i（s，λ_i）为关于s的实系数多项式。

\bar{P_{i} (- j ω_{i})} = P_{i} (j ω_{i}) ， \bar{Q_{i} (- j ω_{i} ， λ_{i})}

=Q_i（jω_i，λ_i）。根据幅值条件（10）与相角条件（11），可得

{\bar{τ}}_{i} = {\bar{τ}}_{i 1} = {\bar{τ}}_{i 2}

(12)

2）若λ_i与λ_i₊₁是一对共轭复数，则Q_i（s，λ_i）与Q_i₊₁（s，λ_i₊₁）为关于s的复系数多项式。

\bar{P_{i + 1} (- j ω_{i + 1})} = P_{i + 1} (j ω_{i + 1}) = \bar{P_{i} (- j ω_{i})} = P_{i} (j ω_{i})

，

\bar{Q_{i + 1} (- j ω_{i + 1} ， λ_{i + 1})} = Q_{i} (j ω_{i} ， λ_{i}) \neq \bar{Q_{i} (- j ω_{i} ， λ_{i})}

，

\bar{Q_{i + 1} (j ω_{i + 1} ， λ_{i + 1})} = Q_{i} (- j ω_{i} ， λ_{i})

。首先，根据幅值条件（10），容易得到ω_i₊₁=ω_i。然后，根据相角条件（11），可得到

{\bar{τ}}_{i 1} = {\bar{τ}}_{（ i + 1 ） 2} ， {\bar{τ}}_{i 2} = {\bar{τ}}_{（ i + 1 ） 1} ， {\bar{τ}}_{i 1} \neq {\bar{τ}}_{i 2}

。因此，对于一对共轭复数特征值所对应的子系统，它们的时滞稳定边界大小相等，即

{\bar{τ}}_{i} = {\bar{τ}}_{i + 1} = m i n \{{\bar{τ}}_{i 1}, {\bar{τ}}_{i 2}\} = m i n \{{\bar{τ}}_{i 1}, {\bar{τ}}_{(i + 1) 1}\}

(13)

在计算出所有子系统（7）的时滞稳定边界

{\bar{τ}}_{i}

之后，车辆队列闭环系统（5）的最大容许时滞为

\bar{τ}

\underset{i \in \bar{V}}{m i n} \{{\bar{τ}}_{i}\}

。然而，对于大规模车辆队列，计算所有的

{\bar{τ}}_{i}

将导致十分庞大的运算量。由MEE的概念可知，若能找到车辆队列闭环系统（5）的MEE，则可规避遍历式的最大容许时滞

\bar{τ}

的计算方式，从而实现闭环稳定性的快速分析。因此，这就引出了车辆队列的MEE问题，即如何从拉普拉斯矩阵的所有特征值中找到MEE。

2 自主车辆队列的最紧要特征值分析

针对二阶车辆队列闭环系统（5），分别在通信拓扑拉普拉斯矩阵特征值全为实数与部分特征值为共轭复数两种情况下，分析子系统时滞稳定边界与拉普拉斯矩阵特征值之间的单调性关系，给出MEE的搜寻方法与解析结果。

2.1 拉普拉斯矩阵特征值全为实数

针对通信拓扑拉普拉斯矩阵L特征值全为实数的情况，提出MEE搜寻方法。L的特征值满足λ₂≤λ₃≤···≤λ_N。此时，子系统特征方程（8）中的P_i（s）和Q_i（s，λ_i）分别为

(14)

根据幅值条件（10），可得

ω_{i}^{4} - λ_{i}^{2} k_{v}^{2} ω_{i}^{2} - λ_{i}^{2} k_{r}^{2} = 0

(15)

根据笛卡儿符号准则或一元二次方程的求根公式可知，式（15）有且仅有一个正实数根，即子系统（7）有且仅有一个正实数穿越频率ω_i。在此基础上，给出如下引理，通过判断子系统（7）的根趋势，确定车辆队列闭环系统（5）的时滞稳定区间数量。

引理1 若拉普拉斯矩阵L的特征值全为实数，车辆队列闭环系统（5）至多存在一个时滞稳定区间。

证明若车辆队列闭环系统（5）通信拓扑的拉普拉斯矩阵特征值全为实数，根据子系统特征方程（8）可得

\begin{matrix} {\frac{\partial s}{\partial τ}|}_{s = \pm j ω_{i}} = \frac{λ_{i} ω_{i}}{α_{1} \pm j α_{2}} \{- k_{v} ω_{i} c o s (τ ω_{i}) + \\ k_{r} s i n (τ ω_{i}) \pm j [k_{r} c o s (τ ω_{i}) + \\ k_{v} ω_{i} s i n (τ ω_{i})]\} \end{matrix}

(16)

其中：

\begin{matrix} α_{1} = λ_{i} (k_{v} - k_{r} τ) c o s (τ ω_{i}) - λ_{i} k_{v} τ s i n (τ ω_{i}) \\ α_{2} = 2 ω_{i} - λ_{i} (k_{v} - k_{r} τ) s i n (τ ω_{i}) - λ_{i} k_{v} τ c o s (τ ω_{i}) \end{matrix}

{\frac{\partial s}{\partial τ}|}_{s = \pm j ω_{i}}

的实部为

\begin{matrix} R e ({\frac{\partial s}{\partial τ}|}_{s = \pm j ω_{i}}) = \frac{λ_{i} ω_{i}}{α_{1}^{2} + α_{2}^{2}} \{[- k_{v} ω_{i} c o s (τ ω_{i}) + \\ k_{r} s i n (τ ω_{i})] [- λ_{i} k_{v} τ s i n (τ ω_{i}) + \\ λ_{i} (k_{v} - k_{r} τ) c o s (τ ω_{i})] + \end{matrix}

\begin{matrix} [k_{r} c o s (τ ω_{i}) + k_{v} ω_{i} s i n (τ ω_{i})] . \\ [2 ω_{i} - λ_{i} (k_{v} - k_{r} τ) s i n (τ ω_{i}) - \\ λ_{i} k_{v} τ c o s (τ ω_{i})]\} = \\ \frac{λ_{i} ω_{i}}{α_{1}^{2} + α_{2}^{2}} \{2 ω_{i} [k_{r} c o s (τ ω_{i}) + \end{matrix}

k_{v} ω_{i} s i n (τ ω_{i})] - λ_{i} k_{v}^{2} ω_{i}\}

(17)

将s=±jω_i代入式（8），可得k_rcos（τω_i）+k_vω_isin（τω_i）=

ω_{i}^{2}

/λ_i。由式（15）可得

λ_{i}^{2} = ω_{i}^{4} / (k_{r}^{2} + k_{v}^{2} ω_{i}^{2})

，因此式（17）可化简为

\begin{matrix} R e ({\frac{\partial s}{\partial τ}|}_{s = \pm j ω_{i}}) = \frac{λ_{i} ω_{i}}{α_{1}^{2} + α_{2}^{2}} (\frac{2 ω_{i}^{3}}{λ_{i}} - λ_{i} k_{v}^{2} ω_{i}) = \\ \frac{ω_{i}^{4} (2 k_{r}^{2} + k_{v}^{2} ω_{i}^{2})}{(α_{1}^{2} + α_{2}^{2}) (k_{r}^{2} + k_{v}^{2} ω_{i}^{2})} > 0 \end{matrix}

(18)

结合式（9）可知，子系统（7）纯虚根s=±jω_i处的根趋势为

R T = s g n [Re ({\frac{\partial s}{\partial τ}|}_{s = \pm j ω_{i}})] = + 1

，因此随着τ的持续增加，s=±jω_i必定从左往右穿越虚轴，这意味着每个子系统至多存在一个时滞稳定区间τ∈（0，

{\bar{τ}}_{i}

]。又考虑到整个系统的时滞稳定区间是所有子系统时滞稳定区间的交集，所以对于拉普拉斯矩阵特征值全为实数的情况，车辆队列闭环系统（5）至多存在一个时滞稳定区间τ∈（0，

{\bar{τ}}_{i}

]。证毕

根据引理1，车辆队列闭环系统（5）若存在时滞稳定区间τ∈（0，

{\bar{τ}}_{i}

]，需要在τ=0时渐近稳定。利用Routh-Hurwitz稳定判据^[24]，对τ=0时的车辆队列闭环系统（5）进行闭环稳定性分析，可得当且仅当k_r＞0与k_v＞0时，车辆队列闭环系统（5）在τ=0时渐近稳定。

根据相角条件（11）、（12），可得子系统（7）的时滞稳定边界

{\bar{τ}}_{i}

为

{\bar{τ}}_{i} = \frac{\tan^{- 1} (Θ ω_{i})}{ω_{i}}

(19)

式中：

Θ = \frac{k_{v}}{k_{r}} > 0 ， ω_{i}

为式（15）的正实数根。

接下来，给出拉普拉斯矩阵特征值全为实数情况下的MEE搜寻方法以及解析结果。

定理1 若拉普拉斯矩阵L的特征值全为实数，车辆队列闭环系统（5）的MEE为L的最大特征值λ_N，从而其最大容许时滞为

\bar{τ} = \frac{\tan^{- 1} (k_{v} ω_{N} / k_{r})}{ω_{N}}

(20)

式中，

ω_{N} = \sqrt{(λ_{N}^{2} k_{v}^{2} + \sqrt{λ_{N}^{4} k_{v}^{4} + 4 λ_{N}^{2} k_{r}^{2}}) / 2}

。

证明二阶车辆队列的MEE，可通过分析时滞稳定边界

{\bar{τ}}_{i}

与L特征值λ_i之间的单调性关系进行搜寻。证明分为两个步骤。

Step1 ω_i与λ_i之间的单调性关系。

定义

{\hat{λ}}_{i}

λ_{i}^{2}

与

{\hat{ω}}_{i} = ω_{i}^{2}

，则式（15）可写为

{\hat{λ}}_{i} = \frac{{\hat{ω}}_{i}^{2}}{k_{r}^{2} + k_{v}^{2} {\hat{ω}}_{i}}

(21)

对

{\hat{λ}}_{i}

关于

{\hat{ω}}_{i}

求导，可得

\begin{matrix} \frac{\partial {\hat{λ}}_{i}}{\partial {\hat{ω}}_{i}} = \frac{2 {\hat{ω}}_{i} (k_{r}^{2} + k_{v}^{2} {\hat{ω}}_{i}) - k_{v}^{2} {\hat{ω}}_{i}^{2}}{{(k_{v}^{2} {\hat{ω}}_{i} + k_{r}^{2})}^{2}} = \\ \frac{k_{v}^{2} {\hat{ω}}_{i}^{2} + 2 k_{r}^{2} {\hat{ω}}_{i}}{{(k_{v}^{2} {\hat{ω}}_{i} + k_{r}^{2})}^{2}} > 0 \end{matrix}

(22)

再者，由于λ_i＞0且ω_i＞0，因此，

\frac{\partial λ_{i}}{\partial ω_{i}} = \frac{\partial λ_{i}}{\partial {\hat{λ}}_{i}} \cdot \frac{\partial {\hat{λ}}_{i}}{\partial {\hat{ω}}_{i}} \frac{\partial {\hat{ω}}_{i}}{\partial ω_{i}} = \frac{ω_{i}}{λ_{i}} \cdot \frac{\partial {\hat{λ}}_{i}}{\partial {\hat{ω}}_{i}} > 0

，且

\frac{\partial ω_{i}}{\partial λ_{i}} > 0

。

Step2

{\bar{τ}}_{i}

与ω_i之间的单调性关系。

对于式（19），对

{\bar{τ}}_{i}

关于ω_i求导，并定义一个相关函数：

φ_{i} (ω_{i}) = ω_{i}^{2} \frac{\partial {\bar{τ}}_{i}}{\partial ω_{i}} = \frac{Θ ω_{i}}{1 + Θ^{2} ω_{i}^{2}} - {t a n}^{- 1} (Θ ω_{i})

(23)

由于

Θ ω_{i}

＞0，根据文献^[15]的引理2.1，必然有

\frac{Θ ω_{i}}{1 + Θ^{2} ω_{i}^{2}} < {t a n}^{- 1} (Θ ω_{i})

。因此，

φ_{i} (ω_{i})

＜0，即

\frac{\partial {\bar{τ}}_{i}}{\partial ω_{i}}

＜0。

综合上述两个步骤，可得

\frac{\partial {\bar{τ}}_{i}}{\partial λ_{i}} = \frac{\partial ω_{i}}{\partial λ_{i}} \cdot \frac{\partial {\bar{τ}}_{i}}{\partial ω_{i}} < 0

。因此，时滞稳定边界

{\bar{τ}}_{i}

随L特征值λ_i的增大而减小，即车辆队列闭环系统（5）的MEE为L的最大特征值λ_N，与MEE对应的子系统时滞稳定边界（17）即为整个系统的最大容许时滞。证毕

注1 对于车辆队列闭环系统（5），当通信拓扑的拉普拉斯矩阵特征值全为实数时，定理1通过分析时滞稳定边界与特征值之间的单调性关系，揭示了最大容许时滞与通信拓扑之间的本质关系。定理1指出，仅需要考虑拉普拉斯矩阵的最大特征值，就可实现最大容许时滞的快速求解，从而大幅度降低车辆队列闭环稳定性分析的运算量。

2.2 拉普拉斯矩阵的部分特征值为共轭复数

针对通信拓扑拉普拉斯矩阵L的部分特征值为共轭复数的情况，提出MEE搜寻方法。L的特征值均具有正实部，且满足Re（λ₂）≤Re（λ₃）≤···≤Re（λ_N）。此时，子系统特征方程（8）中的P_i（s）和Q_i（s，λ_i）分别为

(24)

根据幅值条件（10），可得

ω_{i}^{4} - {|λ_{i}|}^{2} k_{v}^{2} ω_{i}^{2} - {|λ_{i}|}^{2} k_{r}^{2} = 0

(25)

根据笛卡儿符号准则或者一元二次方程的求根公式可知，式（25）有且仅有一个正实数根，即子系统（7）有且仅有一个正实数穿越频率ω_i。在此基础上，给出如下引理，通过判断子系统（7）的根趋势，确定车辆队列闭环系统（5）时滞稳定区间的数量。

引理2 若拉普拉斯矩阵L的部分特征值为共轭复数，车辆队列闭环系统（5）至多存在一个时滞稳定区间。

证明若车辆队列闭环系统（5）通信拓扑的拉普拉斯矩阵存在共轭复数特征值，定义σ_i=

|λ_{i}| c o s (∠ λ_{i}) 与 ι_{i} = |λ_{i}| s i n (∠ λ_{i})

，则λ_i=σ_i+jι_i。根据子系统特征方程（8）可得

{\frac{\partial s}{\partial τ}|}_{s = \pm j ω_{i}} = \frac{ω_{i} [β_{1} σ_{i} \mp β_{2} ι_{i} + j (β_{1} ι_{i} \pm β_{2} σ_{i})]}{β_{3} σ_{i} \pm β_{4} ι_{i} + j (\pm 2 ω_{i} + β_{3} ι_{i} \mp β_{4} σ_{i})}

(26)

其中：

\begin{matrix} β_{1} = k_{r} s i n (τ ω_{i}) - k_{v} ω_{i} c o s (τ ω_{i}) \\ β_{2} = k_{r} c o s (τ ω_{i}) + k_{v} ω_{i} s i n (τ ω_{i}) \\ β_{3} = (k_{v} - k_{r} τ) c o s (τ ω_{i}) - k_{v} τ ω_{i} s i n (τ ω_{i}) \\ β_{4} = (k_{v} - k_{r} τ) s i n (τ ω_{i}) + k_{v} τ ω_{i} c o s (τ ω_{i}) \end{matrix}

{\frac{\partial s}{\partial τ}|}_{s = \pm j ω_{i}} 的实部为

R e ({\frac{\partial s}{\partial τ}|}_{s = \pm j ω_{i}}) = \frac{ω_{i} [\pm 2 ω_{i} (β_{1} ι_{i} \pm β_{2} σ_{i}) + {|λ_{i}|}^{2} (β_{1} β_{3} - β_{2} β_{4})]}{{(β_{3} σ_{i} \pm β_{4} ι_{i})}^{2} + {(\pm 2 ω_{i} + β_{3} ι_{i} \mp β_{4} σ_{i})}^{2}}

(27)

接下来，化简式（27），从而判断其正负性。首先，对式（27）中的一部分表达式进行化简：

\begin{matrix} β_{1} β_{3} - β_{2} β_{4} = [k_{r} s i n (τ ω_{i}) - k_{v} ω_{i} c o s (τ ω_{i})] \cdot \\ [(k_{v} - k_{r} τ) c o s (τ ω_{i}) - k_{v} τ ω_{i} s i n (τ ω_{i})] - \\ [k_{r} c o s (τ ω_{i}) + k_{v} ω_{i} s i n (τ ω_{i})] \cdot \\ [(k_{v} - k_{r} τ) s i n (τ ω_{i}) + k_{v} τ ω_{i} c o s (τ ω_{i})] = \\ - k_{v} (k_{v} - k_{r} τ) ω_{i} {c o s}^{2} (τ ω_{i}) - \\ k_{r} k_{v} τ ω_{i} {s i n}^{2} (τ ω_{i}) - k_{r} k_{v} τ ω_{i} {c o s}^{2} (τ ω_{i}) - \end{matrix}

k_{v} (k_{v} - k_{r} τ) ω_{i} {s i n}^{2} (τ ω_{i}) = - k_{v}^{2} ω_{i}

(28)

然后，将s=±jω_i代入式（8），可得β₁ι_i±β₂σ_i=±

ω_{i}^{2}

。由式（25）可得

{|λ_{i}|}^{2} = ω_{i}^{4} / (k_{r}^{2} + k_{v}^{2} ω_{i}^{2})

。最后，令

γ_{1} = β_{3} σ_{i} \pm β_{4} ι_{i} ， γ_{2} = \pm 2 ω_{i} + β_{3} ι_{i} \mp β_{4} σ_{i}

，式（27）可化简为

R e ({\frac{\partial s}{\partial τ}|}_{s = \pm j ω_{i}}) = \frac{ω_{i}^{3} (2 k_{r}^{2} + k_{v}^{2} ω_{i}^{2})}{(γ_{1}^{2} + γ_{2}^{2}) (k_{r}^{2} + k_{v}^{2} ω_{i}^{2})} > 0

(29)

结合式（9）可知，子系统（7）纯虚根s=±jω_i处的根趋势为

R T = s g n [Re ({\frac{\partial s}{\partial τ}|}_{s = \pm j ω_{i}})] = + 1

。因此，随着τ的持续增加，s=±jω_i必定从左往右穿越虚轴，这意味着每个子系统至多存在一个时滞稳定区间τ∈（0，

{\bar{τ}}_{i}

]。又考虑到整个系统的时滞稳定区间是所有子系统时滞稳定区间的交集，所以对于拉普拉斯矩阵的部分特征值为共轭复数的情况，车辆队列闭环系统（5）至多存在一个时滞稳定区间τ∈（0，

\bar{τ}

]。证毕

根据引理2，若车辆队列闭环系统（5）存在时滞稳定区间τ∈（0，

\bar{τ}

]，需要在τ=0时渐近稳定，因此给出如下引理。

引理3 若拉普拉斯矩阵L的部分特征值为共轭复数，当且仅当满足下列条件时，车辆队列闭环系统（5）在τ=0时渐近稳定。

k_{v}^{2} σ_{i} (σ_{i}^{2} + ι_{i}^{2}) - k_{r} ι_{i}^{2} > 0

(30)

证明当车辆队列闭环系统（5）的通信拓扑拉普拉斯矩阵的部分特征值为共轭复数时，若子系统特征方程（8）在τ=0时渐近稳定，根据Hermite稳定判据^[25]，需保证下列判断矩阵是正定的。

(31)

\nabla_{i}

正定，需要其顺序主子式

|\nabla_{i}^{（ 1 ）}| 、 |\nabla_{i}^{（ 2 ）}|

均大于0，即：

|\nabla_{i}^{(1)}| = 2 k_{v} σ_{i} > 0

(32a)

|\nabla_{i}^{(2)}| = 4 k_{r} k_{v}^{2} σ_{i} (σ_{i}^{2} + ι_{i}^{2}) - 4 k_{r}^{2} ι_{i}^{2} > 0

(32b)

显然，式（32a）必然成立。故当所有的子系统（7）均满足式（32b）时，车辆队列闭环系统（5）在τ=0时渐近稳定。证毕

根据相角条件（11），可得到子系统（7）的

{\bar{τ}}_{i 1}

与

{\bar{τ}}_{（ i + 1 ） 1}

分别为：

{\bar{τ}}_{i 1} = \frac{∠ λ_{i} + {t a n}^{- 1} (Θ ω_{i})}{ω_{i}}

(33)

\{\begin{matrix} {\bar{τ}}_{(i + 1) 1} = \frac{π - ∠ λ_{i} + {t a n}^{- 1} (Θ ω_{i})}{ω_{i}}, {t a n}^{- 1} (Θ ω_{i}) ⩽ ∠ λ_{i} \\ {\bar{τ}}_{(i + 1) 1} = \frac{- ∠ λ_{i} + {t a n}^{- 1} (Θ ω_{i})}{ω_{i}}, {t a n}^{- 1} (Θ ω_{i}) > ∠ λ_{i} \end{matrix}

(34)

式中ω_i为式（25）的正实数根。由式（13）可知，子系统（7）的时滞稳定边界为

{\bar{τ}}_{i} = m i n \{{\bar{τ}}_{i 1} ， {\bar{τ}}_{（ i + 1 ） 1}\}

。接下来，给出一个引理，以确定

{\bar{τ}}_{i 1} 和 {\bar{τ}}_{（ i + 1 ） 1}

中的哪一个对应于子系统（7）的时滞稳定边界

{\bar{τ}}_{i}

。

引理4 对于一对共轭复数特征值所对应的子系统（7），当满足引理3时，其时滞稳定边界为

{\bar{τ}}_{i} = {\bar{τ}}_{(i + 1) 1} = \frac{- ∠ λ_{i} + {t a n}^{- 1} (Θ ω_{i})}{ω_{i}}

(35)

证明虽然式（34）中

{\bar{τ}}_{（ i + 1 ） 1}

存在两种形式，但实际中仅存在一种形式——式（34）。接下来，先证明这一点，然后在式（33）与式（34）中确定

{\bar{τ}}_{i}

。

首先，式（34）之间的切换点为

{t a n}^{- 1} (Θ ω_{i}) = ∠ λ_{i}

(36)

根据

t a n (∠ λ_{i}) = \frac{\sin (∠ λ_{i})}{\cos (∠ λ_{i})}

，且

Θ = \frac{k_{v}}{k_{r}}

，式（36）可写为

ω_{i} = \frac{k_{r} s i n (∠ λ_{i})}{k_{v} c o s (∠ λ_{i})}

(37)

根据定理1的证明，可直接得到

|λ_{i}|

与ω_i之间的单调性关系，即

\frac{\partial |λ_{i}|}{\partial ω_{i}} > 0

。将式（37）代入式（25），可得

{|λ_{i}|}^{2} = \frac{ω_{i}^{4}}{k_{r}^{2} + k_{v}^{2} ω_{i}^{2}} = \frac{\frac{k_{r}^{4} {s i n}^{4} (∠ λ_{i})}{k_{v}^{4} {c o s}^{4} (∠ λ_{i})}}{k_{r}^{2} + k_{v}^{2} \frac{k_{r}^{2} {s i n}^{2} (∠ λ_{i})}{k_{v}^{2} {c o s}^{2} (∠ λ_{i})}} =

\frac{k_{r}^{2} {s i n}^{4} (∠ λ_{i})}{k_{v}^{4} [{c o s}^{2} (∠ λ_{i}) + {s i n}^{2} (∠ λ_{i})] {c o s}^{2} (∠ λ_{i})} =

\frac{k_{r}^{2} {s i n}^{4} (∠ λ_{i})}{k_{v}^{4} {c o s}^{2} (∠ λ_{i})}

(38)

因此，

ω_{i} > \frac{k_{r} s i n (∠ λ_{i})}{k_{v} c o s (∠ λ_{i})} \Leftrightarrow |λ_{i}| > \frac{k_{r} {s i n}^{2} (∠ λ_{i})}{k_{v}^{2} c o s (∠ λ_{i})} 。

然后，根据

σ_{i} = |λ_{i}| c o s (∠ λ_{i}) 与 ι_{i} = |λ_{i}| s i n (∠ λ_{i})

，式（30）可写为

|λ_{i}| > \frac{k_{r} {s i n}^{2} (∠ λ_{i})}{k_{v}^{2} c o s (∠ λ_{i})}

(39)

综上所述，当满足引理3时，必定存在

{t a n}^{- 1} (Θ ω_{i}) > ∠ λ_{i}

，故

{\bar{τ}}_{（ i + 1 ） 1}

为式（34）。

然后，比较

{\bar{τ}}_{i 1} 与 {\bar{τ}}_{（ i + 1 ） 1}

的大小。根据式（33）、（34），且∠λ_i∈（0，π/2），可得到

{\bar{τ}}_{（ i + 1 ） 1} = \frac{- ∠ λ_{i} + {t a n}^{- 1} (Θ ω_{i})}{ω_{i}}

＜

\frac{∠ λ_{i} + {t a n}^{- 1} (Θ ω_{i})}{ω_{i}} = {\bar{τ}}_{i 1}

。因此，

\bar{τ_{i}} = {\bar{τ}}_{（ i + 1 ） 1}

。证毕

注2 引理4表明，对于一对共轭复数特征值所对应的子系统（7），仅需计算与负相角相关的时滞稳定边界。此种情况下，时滞稳定边界求解的运算量减少1/2。

接下来，给出拉普拉斯矩阵部分特征值为共轭复数情况下的MEE搜寻方法。

定理2 若拉普拉斯矩阵L的部分特征值为共轭复数，当满足引理3时，车辆队列闭环系统（5）的MEE可按照下列规则进行搜寻。

规则1 对于拉普拉斯矩阵L的任意两对共轭复数特征值，如果它们的幅值和相角满足下列条件：

\{\begin{matrix} |λ_{i}| ⩾ \frac{k_{r}}{\sqrt{2} k_{v}^{2}}, ∠ λ_{i} < \frac{π}{4} - \frac{1}{2} \\ |λ_{j}| ⩾ \frac{k_{r}}{\sqrt{2} k_{v}^{2}}, ∠ λ_{j} < \frac{π}{4} - \frac{1}{2} \end{matrix}

(40)

当

|λ_{i}| ⩽ |λ_{j}|

且∠λ_i≤∠λ_j时，在搜寻MEE时只需考虑λ_j₊₁。

规则2 对于拉普拉斯矩阵L的所有实数特征值，在搜寻MEE时仅需考虑其中的最大特征值。

假设λ_M为满足规则1的复数特征值，λ_N为模值最大的实数特征值，则车辆队列闭环系统（5）的最大容许时滞为

\bar{τ} = m i n \{\frac{- ∠ λ_{i} + {t a n}^{- 1} (k_{v} ω_{M} / k_{r})}{ω_{M}}, \frac{\tan^{- 1} (k_{v} ω_{N} / k_{r})}{ω_{N}}\}

(41)

式中：

ω_{M} = \sqrt{({|λ_{M}|}^{2} k_{v}^{2} + \sqrt{{|λ_{M}|}^{4} k_{v}^{4} + 4 {|λ_{M}|}^{2} k_{r}^{2}}) / 2} ，

ω_N已在式（20）中给出。

证明规则2可由定理1直接得到。因此，仅证明规则1，通过分析时滞稳定边界

\bar{τ_{i}}

与L的特征值λ_i之间的单调性关系进行证明。

Step1

\bar{τ_{i}}

与λ_i之间的单调性关系。

根据定理1的证明，可得

\frac{\partial ω_{i}}{\partial |λ_{i}|} > 0

。接下来，分析

\bar{τ_{i}}

与ω_i之间的单调性关系。

对于式（35），对

\bar{τ_{i}}

关于ω_i求导，并定义一个相关函数：

ψ_{i} (ω_{i}) = ω_{i}^{2} \frac{\partial {\bar{τ}}_{i}}{\partial ω_{i}} = ϕ_{i} (ω_{i}) + ∠ λ_{i}

(42)

式中φ_i_（ω_i）已在式（23）给出。

由于难以直接确定ψ_i（ω_i）的正负性，所以需要对ψ_i（ω_i）关于ω_i求导，可得

\frac{\partial ψ_{i} (ω_{i})}{\partial ω_{i}} = \frac{Θ (1 + Θ^{2} ω_{i}^{2}) - 2 Θ^{3} ω_{i}^{2}}{{(1 + Θ^{2} ω_{i}^{2})}^{2}} - \frac{Θ}{1 + Θ^{2} ω_{i}^{2}} =

\frac{- 2 Θ^{3} ω_{i}^{2}}{{(1 + Θ^{2} ω_{i}^{2})}^{2}} < 0

(43)

同时，由式（42）可知，当ω_i→0⁺时，ψ_i（ω_i）→∠λ_i；当ω_i→+∞时，ψ_i（ω_i）→-π/2+∠λ_i。故ψ_i（ω_i）有且仅有一个零点ω_ic，即ψ_i（ω_ic）=0。因此，当ω_i∈（0，ω_ic）时，ψ_i（ω_i）＞0；当ω_i∈（ω_ic，+∞）时，ψ_i（ω_i）＜0。

进一步，对于式（42），对ψ_i（ω_i）关于ω_i继续求二阶导，可得

\frac{\partial^{2} ψ_{i} (ω_{i})}{\partial ω_{i}^{2}} = \frac{4 Θ^{3} ω_{i} (Θ^{2} ω_{i}^{2} - 1)}{{(1 + Θ^{2} ω_{i}^{2})}^{3}}

(44)

当

ω_{i} = \frac{1}{Θ}

时，

\frac{\partial^{2} ψ_{i} (ω_{i})}{\partial ω_{i}^{2}} = 0

。将

ω_{i} = \frac{1}{Θ}

代入式（42），并结合式（40），可得

ψ_{i} (\frac{1}{Θ}) = \frac{1}{2} - \frac{π}{4} + ∠ λ_{i} < 0

。ψ_i（ω_i）关于ω_i的变化趋势见图1。从图1中可以看出，当

ω_{i} \in [\frac{1}{Θ} ， + \infty)

时，ψ_i（ω_i）＜0，即

\frac{\partial {\bar{τ}}_{i}}{\partial ω_{i}} < 0

。另外，根据式（25）与

\frac{\partial ω_{i}}{\partial |λ_{i}|} > 0

，可推断出

|λ_{i}| ⩾ \frac{k_{r}}{\sqrt{2} k_{v}^{2}} \Leftrightarrow ω_{i} ⩾ \frac{1}{Θ}

。因此，当

|λ_{i}| ⩾ \frac{k_{r}}{\sqrt{2} k_{v}^{2}} 时， \frac{\partial {\bar{τ}}_{i}}{\partial |λ_{i}|} = \frac{\partial {\bar{τ}}_{i}}{\partial ω_{i}} \cdot \frac{\partial ω_{i}}{\partial |λ_{i}|} < 0

，

{\bar{τ}}_{i}

随

|λ_{i}|

的增大而减小。

图1ψ_i（ω_i）关于ω_i的变化趋势

Fig.1Variation tendency of ψ_i (ω_i) with respect to ω_i

Step2

{\bar{τ}}_{i}

与∠λ_i之间的单调性关系。

对于式（35），对

{\bar{τ}}_{i}

关于∠λ_i求导，可得

\frac{\partial {\bar{τ}}_{i}}{\partial ∠ λ_{i}} = - \frac{1}{ω_{i}} < 0

(45)

因此，

{\bar{τ}}_{i}

随∠λ_i的增大而减小。

综上所述，当共轭复数特征值的幅值与相角分别满足式（40）时，时滞稳定边界

{\bar{τ}}_{i}

随|λi|或∠λ_i的增大而减小，规则1得证。通过规则1与规则2搜寻车辆队列闭环系统（5）的MEE，与MEE对应的子系统时滞稳定边界（41）为整个系统的最大容许时滞。证毕

注3 对于车辆队列闭环系统（5），当通信拓扑拉普拉斯矩阵的部分特征值为共轭复数时，定理2在定理1的基础上，进一步分析了共轭复数特征值的幅值和相角对MEE的影响规律，揭示了最大容许时滞与通信拓扑之间的本质关系，并实现了对任意通信拓扑的普适性。定理2指出，仅需要考虑拉普拉斯矩阵的复数特征值λ_j₊₁以及最大实数特征值，就可实现最大容许时滞的直接、快速求解，从而大幅度降低车辆队列闭环稳定性分析的运算量。

注4 定理2的证明过程表明，特征值的幅值和相角对MEE搜寻的定性影响规律为：子系统时滞稳定边界随幅值的增大而减小，也随相角的增大而减小；并且幅值对分析时滞稳定边界与相角之间的单调性结果无影响，但是相角对分析时滞稳定边界与幅值之间的单调性结果有影响。因此，特征值的幅值和相角对MEE搜寻的影响是耦合的、综合的。

注5 相较于文献^[19-21]中的MEE搜寻方法仅适用于一阶多智能体系统，定理1与定理2提出了适用于二阶车辆队列的MEE搜寻方法，其证明过程所使用的单调性分析方法，适用于二阶乃至更高阶系统。同时，相较于文献^[19-21]中的方法仅适用于少数类型的通信拓扑（其拉普拉斯矩阵全为实数），定理2首次考虑了拉普拉斯矩阵存在共轭复数特征值的情况，所提方法适用于任意通信拓扑。

3 仿真实例

首先，考虑由1辆领航车与6辆跟随车组成的车辆队列，给出两个仿真实例，分别针对通信拓扑拉普拉斯矩阵特征值全为实数与部分特征值为共轭复数两种情况进行仿真，验证所提理论方法的正确性。然后，给出一个大规模车辆队列仿真实例，验证所提理论方法在计算系统最大容许时滞方面的高效性，见图2。控制器增益设置为k_r=1，k_v=2。采用固定间距策略，期望间距为d₀=15 m。各跟随车的初始误差设置为

\tilde{r}

（0）=[1，-1，0，1，1，-1]^T m，

\tilde{v}

（0）=^{[-1，1，-1，1，1，-1]} ^T m/s。

图2通信拓扑

Fig.2Communication topology

实例1（拉普拉斯矩阵特征值全为实数）使用图2（a）的双向跟随式通信拓扑，验证定理1的正确性。首先，根据式（15）与式（19），绘制时滞稳定边界

{\bar{τ}}_{i}

关于L特征值λ_i的变化趋势（见图3）。从图3中可以看出，

{\bar{τ}}_{i}

随λ_i的增大而减小。

此外，为验证所计算的最大容许时滞是准确的，选取3个时滞：第1个稍小于最大容许时滞，τ=0.190 0 s；第2个在最大容许时滞处，τ=0.197 5 s；第3个稍大于最大容许时滞，τ=0.200 0 s。利用基于拟多项式映射的寻根器（Quasi-polynomial mapping-based root-finder，QPmR）^[26]，获取图2（a）所示车辆队列在虚轴附近的极点分布情况，同时给出对应情况下车辆队列的位置误差，仿真结果见图4、5（系统极点为复数时总以共轭形式存在，因此仿真仅展示实轴以上部分的复平面区域，并且各子系统最右侧极点用“*”表示，而整个系统最右侧极点用“·”表示）。

图3拉普拉斯矩阵全实数特征值时

{\bar{τ}}_{i}

关于λ_i的变化趋势

Fig.3Variation tendency of

{\bar{τ}}_{i}

with respect to λ_iwhen all the eigenvalues of the Laplacian matrix are real

图4拉普拉斯矩阵特征值全为实数时车辆队列的极点分布

Fig.4Pole distribution of vehicle platoons when all eigenvalues of the Laplacian matrix are real

图5拉普拉斯矩阵特征值全为实数时车辆队列的位置误差

Fig.5Spacing errors of vehicle platoosn when all eigenvalues of the Laplacian matrix are real

图4（a）与图5（a）中，当时滞小于最大容许时滞时，所有极点均位于复平面左半平面，且车辆队列的位置误差随时间收敛，系统闭环稳定；图4（b）与图5（b）中，当时滞位于最大容许时滞处时，最右侧极点位于虚轴上，且位置误差等幅振荡，系统临界稳定; 图4（c）与图5（c）中，当时滞大于最大容许时滞时，最右侧极点位于复平面右半平面，且位置误差随时间发散，系统不稳定。该仿真结果表明所计算的车辆队列闭环系统（5）最大容许时滞是准确的。

实例2（拉普拉斯矩阵部分特征值为共轭复数）使用图2（b）的通信拓扑，验证定理2的正确性。

首先，根据式（25）与式（35），绘制时滞稳定边界

{\bar{τ}}_{i}

关于L特征值幅值|λ_i|与相角∠λ_i的变化趋势，见图6。从图6中可以看出，

{\bar{τ}}_{i}

随|λ_i|的增大而减小，

{\bar{τ}}_{i}

也随∠λ_i的增大而减小。

图6拉普拉斯矩阵部分特征值为共轭复数时

{\bar{τ}}_{i}

关于|λ_i|与∠λ_i的变化趋势

Fig.6Variation tendency of

{\bar{τ}}_{i}

with respect to |λ_i|and ∠λ_i when some eigenvalues of the Laplacian matrix are complex conjugates

图2（b）的L有1个零特征值，其余6个特征值分别为λ₂=0.232 3，λ_3，4=1.785 9·e^{±j0.171 9}，λ_5，6= 3.379 2·e^{±j0.227 6}，λ₇=3.664 3。然后，对各个特征值所对应的子系统求解时滞稳定边界，可得

{\bar{τ}}_{2}

=1.456 5 s，

{\bar{τ}}_{3，4}

=min{0.445 5，0.349 3}=0.349 3 s，

{\bar{τ}}_{5，6}

=min{0.255 1，0.186 7}=0.186 7 s，

{\bar{τ}}_{7}

=0.204 6 s。对于两对共轭复数特征值λ_3，4与λ_5，6所对应的子系统，

{\bar{τ}}_{6}

＜

\bar{τ_{4}}

表明仅需计算λ₆所对应的时滞稳定边界，符合定理2的规则1。同时，在所有实数特征值所对应的时滞稳定边界中，

{\bar{τ}}_{7}

最小，符合定理2的规则2，因此MEE只需要在λ₆和λ₇中进行搜寻，且最大容许时滞

\bar{τ}

=min{

{\bar{τ}}_{6}

，

{\bar{τ}}_{7}

}=0.186 7 s，理论推导与仿真结果一致，所以定理2是正确的。

此外，为验证所计算的最大容许时滞是准确的，选取3个时滞：第1个稍小于最大容许时滞，τ=0.180 0 s；第2个在最大容许时滞处，τ=0.186 7 s；第3个稍大于最大容许时滞，τ=0.190 0 s。利用QPmR获取图2（b）所示车辆队列在虚轴附近的极点分布情况，同时给出对应情况下车辆队列的位置误差，仿真结果见图7、8。图7（a）与图8（a）中，当时滞小于最大容许时滞时，所有极点均位于复平面左半平面，且车辆队列的位置误差随时间收敛，系统闭环稳定；图7（b）与图8（b）中，当时滞位于最大容许时滞处时，最右侧极点位于虚轴上，且位置误差等幅振荡，系统临界稳定; 图7（c）与图8（c）中，当时滞大于最大容许时滞时，最右侧极点位于复平面右半平面，且位置误差随时间发散，系统不稳定。该仿真结果表明所计算的车辆队列闭环系统（5）最大容许时滞是准确的。

图7拉普拉斯矩阵部分特征值为共轭复数时车辆队列的极点分布

Fig.7Pole distribution of vehicle platoons when some eigenvalues of the Laplacian matrix are complex conjugates

图8拉普拉斯矩阵部分特征值为共轭复数时车辆队列的位置误差

Fig.8Spacing errors of vehicle platoons when some eigenvalues of the Laplacian matrix are complex conjugates

实例3（大规模车辆队列）使用图2（a）的通信拓扑，考虑车辆队列的规模N为从2~1 000的整数，验证所提MEE搜寻方法在计算系统最大容许时滞方面的高效性，仿真时间仅需3.840 3 s，仿真结果见图9。从图9中可以看出，整个车辆队列闭环系统（5）的最大容许时滞随车辆队列规模的增大而减小。

图9不同规模车辆队列的最大容许时滞

Fig.9Maximum allowable delays of vehicle platoons with different scales

最后，以车辆队列规模N为100的整数倍为例，分别以传统遍历式的最大容许时滞求解方法与本文所提MEE搜寻方法，在同一台配备了2.93 GHz英特尔酷睿2双核处理器和4 GB RAM，并安装了Matlab R2019b的计算机中求解车辆队列闭环系统（5）的最大容许时滞，两种方法的仿真时间见图10。

图10不同规模车辆队列求解最大容许时滞的仿真时间

Fig.10Simulation time of calculating maximum allowable delays of vehicle platoons with different scales

从图10中可以看出，通过传统遍历式求解方法需遍历所有子系统，仿真时间会随着车辆队列规模的增大而明显增大，而通过MEE搜寻方法，仅需考虑与MEE相对应的子系统，随着车辆队列规模的增大，仿真时间仅小幅度增大。再者，MEE搜寻方法在计算效率上显著优于传统遍历式求解方法。例如，规模N=1 000时，传统遍历式求解方法计算最大容许时滞的仿真时间为3.003 5 s，相比之下，MEE搜寻方法计算最大容许时滞的仿真时间仅为0.005 2 s，快3个数量级。该仿真结果表明了所提理论方法在计算车辆队列闭环系统（5）最大容许时滞方面的高效性。

4 结论

本文针对二阶车辆队列和任意通信拓扑，开展了关于时滞车辆队列闭环稳定性的MEE问题研究，提出了一种普适的MEE搜寻方法，揭示了系统最大容许时滞与通信拓扑之间的本质关系，从而实现了车辆队列闭环稳定性的快速分析。

1）对于拉普拉斯矩阵特征值全为实数的情况，通过分析子系统时滞稳定边界与拉普拉斯矩阵特征值之间的单调性关系，证明了二阶车辆队列的MEE必定为拉普拉斯矩阵最大特征值。

2）对于拉普拉斯矩阵的部分特征值为共轭复数的情况，通过单调性关系分析，揭示了共轭复数特征值的幅值和相角对MEE的影响规律。所提MEE搜寻规则指出，仅需考虑拉普拉斯矩阵的一部分复数特征值与最大实数特征值。

3）通过仿真实例验证了所提方法的正确性，并与传统遍历式的最大容许时滞求解方法相比，所提方法可实现最大容许时滞的快速求解，从而大幅度降低车辆队列闭环稳定性分析的运算量。

图1ψ_i（ω_i）关于ω_i的变化趋势

Fig.1Variation tendency of ψ_i (ω_i) with respect to ω_i

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图2通信拓扑

Fig.2Communication topology

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图3拉普拉斯矩阵全实数特征值时

{\bar{τ}}_{i}

关于λ_i的变化趋势

Fig.3Variation tendency of

{\bar{τ}}_{i}

with respect to λ_iwhen all the eigenvalues of the Laplacian matrix are real

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图4拉普拉斯矩阵特征值全为实数时车辆队列的极点分布

Fig.4Pole distribution of vehicle platoons when all eigenvalues of the Laplacian matrix are real

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图5拉普拉斯矩阵特征值全为实数时车辆队列的位置误差

Fig.5Spacing errors of vehicle platoosn when all eigenvalues of the Laplacian matrix are real

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图6拉普拉斯矩阵部分特征值为共轭复数时

{\bar{τ}}_{i}

关于|λ_i|与∠λ_i的变化趋势

Fig.6Variation tendency of

{\bar{τ}}_{i}

with respect to |λ_i|and ∠λ_i when some eigenvalues of the Laplacian matrix are complex conjugates

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图7拉普拉斯矩阵部分特征值为共轭复数时车辆队列的极点分布

Fig.7Pole distribution of vehicle platoons when some eigenvalues of the Laplacian matrix are complex conjugates

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图8拉普拉斯矩阵部分特征值为共轭复数时车辆队列的位置误差

Fig.8Spacing errors of vehicle platoons when some eigenvalues of the Laplacian matrix are complex conjugates

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图9不同规模车辆队列的最大容许时滞

Fig.9Maximum allowable delays of vehicle platoons with different scales

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图10不同规模车辆队列求解最大容许时滞的仿真时间

Fig.10Simulation time of calculating maximum allowable delays of vehicle platoons with different scales

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图1ψ_i（ω_i）关于ω_i的变化趋势

Fig.1Variation tendency of ψ_i (ω_i) with respect to ω_i

图2通信拓扑

Fig.2Communication topology

图3拉普拉斯矩阵全实数特征值时

{\bar{τ}}_{i}

关于λ_i的变化趋势

Fig.3Variation tendency of

{\bar{τ}}_{i}

with respect to λ_iwhen all the eigenvalues of the Laplacian matrix are real

图4拉普拉斯矩阵特征值全为实数时车辆队列的极点分布

Fig.4Pole distribution of vehicle platoons when all eigenvalues of the Laplacian matrix are real

图5拉普拉斯矩阵特征值全为实数时车辆队列的位置误差

Fig.5Spacing errors of vehicle platoosn when all eigenvalues of the Laplacian matrix are real

图6拉普拉斯矩阵部分特征值为共轭复数时

{\bar{τ}}_{i}

关于|λ_i|与∠λ_i的变化趋势

Fig.6Variation tendency of

{\bar{τ}}_{i}

with respect to |λ_i|and ∠λ_i when some eigenvalues of the Laplacian matrix are complex conjugates

图7拉普拉斯矩阵部分特征值为共轭复数时车辆队列的极点分布

Fig.7Pole distribution of vehicle platoons when some eigenvalues of the Laplacian matrix are complex conjugates

图8拉普拉斯矩阵部分特征值为共轭复数时车辆队列的位置误差

Fig.8Spacing errors of vehicle platoons when some eigenvalues of the Laplacian matrix are complex conjugates

图9不同规模车辆队列的最大容许时滞

Fig.9Maximum allowable delays of vehicle platoons with different scales

图10不同规模车辆队列求解最大容许时滞的仿真时间

Fig.10Simulation time of calculating maximum allowable delays of vehicle platoons with different scales

图1ψ_i（ω_i）关于ω_i的变化趋势

Fig.1Variation tendency of ψ_i (ω_i) with respect to ω_i

图2通信拓扑

Fig.2Communication topology

图3拉普拉斯矩阵全实数特征值时

{\bar{τ}}_{i}

关于λ_i的变化趋势

Fig.3Variation tendency of

{\bar{τ}}_{i}

with respect to λ_iwhen all the eigenvalues of the Laplacian matrix are real

图4拉普拉斯矩阵特征值全为实数时车辆队列的极点分布

Fig.4Pole distribution of vehicle platoons when all eigenvalues of the Laplacian matrix are real

图5拉普拉斯矩阵特征值全为实数时车辆队列的位置误差

Fig.5Spacing errors of vehicle platoosn when all eigenvalues of the Laplacian matrix are real

图6拉普拉斯矩阵部分特征值为共轭复数时

{\bar{τ}}_{i}

关于|λ_i|与∠λ_i的变化趋势

Fig.6Variation tendency of

{\bar{τ}}_{i}

with respect to |λ_i|and ∠λ_i when some eigenvalues of the Laplacian matrix are complex conjugates

图7拉普拉斯矩阵部分特征值为共轭复数时车辆队列的极点分布

Fig.7Pole distribution of vehicle platoons when some eigenvalues of the Laplacian matrix are complex conjugates

图8拉普拉斯矩阵部分特征值为共轭复数时车辆队列的位置误差

Fig.8Spacing errors of vehicle platoons when some eigenvalues of the Laplacian matrix are complex conjugates

图9不同规模车辆队列的最大容许时滞

Fig.9Maximum allowable delays of vehicle platoons with different scales

图10不同规模车辆队列求解最大容许时滞的仿真时间

Fig.10Simulation time of calculating maximum allowable delays of vehicle platoons with different scales

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1 问题描述

2 自主车辆队列的最紧要特征值分析

3 仿真实例

4 结论