轮式移动机械，如轮式装载机、移动机器人或野外作业车，通常在复杂地形下工作，需要轮式移动机械具有良好的越障性能^[1-3].刘昕晖等^[4]开发了一种能被动适应复杂地形的轮胎式多功能车，它是一种全地形移动车辆，由前车体和后车体两部分组成，前车体通过能产生横摆和扭转的2自由度铰与后车体连接^[4]，如图 1所示.相比传统车辆平面运动，2自由度铰接车体车辆能完成复杂的三维运动.

在2自由度铰接车体车辆越障实验中，发现其越障过程中有运动方向偏移现象，需要不断采用方向盘大幅调整运动方向才能使车辆沿预定的路径运动.这种越障运动方向偏移现象使车辆的操控性变得复杂，驾驶员连续不断地操作容易出现失误造成车辆倾翻.为了发挥2自由度铰接车体车辆的使用性能，在环境恶劣崎岖的地形下更好工作，需要研究其无人驾驶时的运动控制，如使其沿直线行驶，完成某项作业任务或者到达某一预定位置.

目前, 国内外有很多关于铰接式车辆的运动控制研究^[5-7]，其中，Tabatabaei^[8]研究了铰接式车辆基于模糊逻辑理论的控制器设计，用于消除铰接式车辆的运动跟踪误差. Bigras等^[9]建立了采矿铰接式车辆路径误差的动力学模型，利用中值法将时变非线性系统转化为线性系统，设计了路径的反馈控制. Moon等^[10]分析了车辆几何形状、稳定性和安全性，提出了一种新的转向控制算法.上述这些控制方法没有考虑控制输入的饱和现象.在实际工程应用中，考虑到2自由度铰接车体车辆自身结构设计的因素，在运动转向过程中，需要通过液压转向机构进行转向, 控制运动路径.由于液压缸提供的驱动力是有限的，当车轮需要的转向角度过大时，液压缸只能提供恒定的驱动力，输出的转向力矩不能达到计算需要的转向力矩，在控制过程中会导致液压转向机构输出饱和，使实际运动控制路径和理论计算存在偏差.如果车辆在地形起伏比较剧烈的障碍路面运动时，会造成车体运动中实际的倾角比分析计算的大，容易产生倾翻.所以，研究2自由度铰接车体车辆运动控制时，需要考虑到控制输入的饱和现象.

本文首先建立了2自由度铰接车体车辆的越障动力学和运动学模型，然后分析了方程的稳定性和能控性.在考虑控制饱和的情况下，利用反步法设计了控制器，进行2自由度铰接车体车辆运动控制的研究.

1 车辆越障时的动力学方程

2自由度铰接车体车辆的前后车体之间的自由度用横摆角θ₁和扭转角θ₂描述，前车体和后车体之间通过万向铰链连接，车辆转向时，液压缸提供沿O₁O₂的转向力F_O，前车体平面OW₁W₂转动，前车体传动轴与后车体传动轴夹角即为横摆角θ₁；车辆越过左右非对称障碍时，前后车体绕后车体传动轴相对转动产生扭转角θ₂，前、后车体驱动力F_f和F_r分别沿前、后车体传动轴指向前.前、后车体质量为m_f和m_r，前、后车体长度为L_f和L_r，前、后车体瞬心O_f和O_r在各自轮轴延长线上，由车体转向特性可知，后车体瞬心O_f投影到前车体转动平面与前车体转动瞬心O_r重合，前、后车体质心在车体投影为B_f和B_r，如图 2所示.

根据车体几何关系，可得

(1)

因为2自由度铰接车体车辆的前后车体为非定常约束，假设作用在车轮上的地面侧向力足够大，车轮运动时无侧滑.牵引力和轮子的滚动阻力的合力在前、后桥中心P_f和P_r点形成两组力和力矩.当前后车体之间的转向铰不动时，作用在P_f和P_r点的力矩和作用在轮子上的地面反作用力矩平衡，整个车体结构可以看作是一个刚体.当转向铰运动时，铰接车运动可以看作是转向铰提供了前后车体之间的相对运动.所以铰接车的运动可以看做是车体的刚体运动和转向铰内部力引起的运动合成.忽略驱动力传递的损耗和液压转向驱动装置的损耗.在动力学模型中，系统输入就是牵引力和前后车体之间的液压转向系统提供的转向力.

当转向铰不运动时，前后车体为绕各自瞬心的刚体运动，则

(2)

前、后车体质心在车体上投影B_f和B_r到前、后桥中心点P_f和P_r距离≪到瞬心距离，则有cos ϕ_N≈1，cos ϕ_M≈1.

前后车体铰接点O加速度为

(3)

前、后车体P_f点和P_r点加速度为

(4)

结合式(1)~(4)，可得前、后车体P_f点和P_r点角加速度和加速度为

(5)

式中，F_f和F_r是前、后车体的净牵引力(即前、后车体牵引力减去滚动阻力)，净引力会使前、后车体在稳态速度上有加减速.

当2自由度铰接车体车辆转向机构转向时，设转向机构的净转向力矩为T₀(即转向液压杆输出的转向力矩减去转向阻力矩)，转向时示意图如图 3所示.

转向时，后车体绕P_r点的转向角加速度为

(6)

前车体绕P_f点的转向角加速度为

(7)

式中，b_f和b_r分别为前、后车体质心到前、后桥距离.

式(6)和式(7)相加可得前后车体夹角的角加速度为

(8)

通过式(5)和式(8)，可得前车体角加速度为

(9)

后车体角加速度为

(10)

综合式(5)和式(8)~(10), 即可得2自由度铰接车体车辆运动时的动力学方程.

2 控制系统的误差动力学方程

2自由度铰接车体车辆的非完整约束运动学方程可以用后车体P_r点速度v_r，后车体角速度ω_r以及前车体相对后车体的角速度^rω_f描述.给定铰接车期望行驶的直线路径，建立路径坐标系，x轴沿路径，z轴垂直后车体平面，y轴符合右手法则.对于铰接车越障时的直线运动控制，只需要考虑后车体绕z轴的角速度、沿y轴速度和前车体相对后车体的横摆角速度即可，具体为

(11)

式中ω为运动学方程控制输入量.

通过控制，使y_r→0，ϕ_r→0，θ₁→0, 实现对于2自由度铰接车体车辆越障时的直线控制.

选择状态向量为，控制方程(11)的平衡点为y_r=0，φ_r=0，θ₁=0，则系统在平衡点的雅克比矩阵为

其在平衡点的特征根为λ_{1, 2, 3}=0，因此，由线性系统的稳定性判据可知，该系统是临界稳定的.这在实际工程中是不允许的，当系统参数有微小偏移时，其特征值可能变为复平面右半平面的根，必须施加控制.

由控制方程(11)得对应的向量场为

通过李括号计算，可得系统能控性矩阵

因为，，矩阵L为非奇异矩阵，系统是可控的.

3 系统的抗饱和控制器设计

2自由度铰接车体的直线运动控制中，给定车辆的初始值：后车体绕z轴的转角ϕ₀、沿y轴偏移量y₀和前车体相对后车体的横摆角θ₀；采用运动学控制方程确定车辆相应的期望转向角速度ω和期望车速v_r.再通过动力学方程采用速度闭环控制律求得对应的牵引力和前后车体转向力矩，直线运动控制系统示意图如图 4所示.

直线运动控制中，如果不要求在前进方向上的位置跟踪，运动速度变成动力学方程中的闭环控制.由于发动机输出功率限制，即车辆驱动力F_Q是有上限的，期望运动速度v_Q需要在车辆许用的范围内.

控制器设计的主要目标是设计控制量ω使系统的状态误差参数[y_r ϕ_r θ₁]随着时间的推移趋近于平衡点[0 0 0].考虑到在实际工作中，2自由度铰接车体车辆转向液压机构的输出功率一定，故在转向时，净转向力矩T_O有幅值，提供的转向角速度有限制.所以在直线运动控制误差模型中，控制变量需满足上限，则实际的控制输入可以表示为

式中：sat(ω_c)为饱和函数，ω_c为控制输入，ω_M为控制输入的饱和上限.

令x₁=y_r，x₂=[sin ϕ_r θ₁]^T，则式(11)可以表示为

(12)

式中：

根据控制方程(12)的结构形式，采用反步法设计控制器^[11]，为了考虑输入的饱和现象^[12-13]，引入虚拟状态变量λ₁和λ₂, 且

(13)

其中：Δω=ω-ω_c，Γ₁、Γ₂为正定矩阵，虚拟状态变量λ₁和λ₂的初始值为λ₁(0)=0，λ₂(0)=0.

引入如下的变换：

(14)

式中α为虚拟控制.

由式(12)~(14)联立可得

(15)

取虚拟控制如下：

其中K₁的选择使得

为正定矩阵, 则式(15)可写为

(16)

定义李亚普诺夫函数为

(17)

对式(17)求导，并利用式(16)可得

(18)

因此，设计控制输入ω_c为

式中B₀^†为B₀穆尔-彭罗斯广义逆矩阵.则式(18)可以写为

因为Γ₁、Γ₂为正定矩阵，利用LaSalle-Yoshizawa理论可得

为了得到x₁、x₂的收敛性, 定义关于λ的李亚普诺夫函数为

(19)

对式(19)求导可得

(20)

如果控制输入不饱和，则有Δω=0，利用LaSalle-Yoshizawa理论可以证明0，从而可以得到，实现系统的渐进稳定控制.如果存在饱和现象Δω≠0，为了研究收敛性，式(20)可以写为

(21)

式中：a₁、a₂为Γ₁、Γ₂的最小特征值，并且a₂＞0.5.对式(21)积分可得

(22)

由式(17)可得

(23)

根据式(14)、式(17)可得

(24)

因此由式(22)~(24)可得

(25)

通过式(25)可知，当a₁、a₂增大时，控制误差会减小，当足够大时，有t→∞，x₁、x₂→0，能保证系统的渐进稳定控制.

4 仿真分析

在2自由度铰接车体车辆越障偏移运动控制中，车体参数取L_r=L_f=1.2 m，b_r=b_f= 0.1 m，m_f=5 000 kg，m_r=7 000 kg.设初始速度为匀速运动v_r=1.67 m/s，系统的初始参数选为：[y_r ϕ_r θ₁]=[0.33 m 0.3 rad 0.2 rad]，应用matlab中的Simulink模块进行建模仿真分析，没有加入控制算法时, 系统误差随时间变化的曲线见图 5.

由图 5可知，初始状态车辆运动有微小偏差时，如果不施加控制，即前后车体夹角θ₁保持不变，车辆运动时沿y轴向的偏移和后车体进方向的偏角ϕ_r随时间逐渐增大；在考虑到执行器饱和的情况下，加入抗饱和控制算法后，可得系统误差随时间变化曲线和所需净转向驱动力矩的输出随时间变化曲线如图 6、7所示.

由图 6和图 7可知，加入设计的抗饱和控制器后，通过前后车体转向液压系统控制前后车体相对角速度，车辆越障运动时y向偏移误差在增加到0.58 m后开始收敛，约5 s后，偏移误差收敛至0，前后车体夹角θ₁，后车体进方向的偏角ϕ_r也随时间逐渐收敛至0，净转向力矩的输出值也随之收敛至0，车辆沿直线路径行进.

5 结论

1) 本文对2自由度铰接车体车辆越障偏移控制问题进行了研究.在无控制输入状态下，车辆误差动力学模型是临界稳定的，需要施加控制消除越障偏移误差；在考虑了控制器输入饱和的基础上，应用反步法设计了抗饱和控制器.

2) 数值仿真分析表明，在无控制输入的情况下，当车辆初始运动有微小偏差时，运动偏移误差趋于发散，随着时间的增加，车辆的实际运动路径和期望路径的偏离越来越大.

3) 在采用抗饱和控制算法后，前后车体夹角、后车体进方向的偏角和后车体偏移误差均收敛至0，车辆沿期望的路径运动.

4) 计算了在偏移控制过程中液压转向执行机构的净输出力矩.分析表明, 设计的抗饱和控制器能有效消除越障偏移误差，实现车辆的直线运动控制.