海底控制网对于水下固定目标监测和运动目标的定位和导航具有重要的作用.控制网点布设完成后，需要借助声学交会方法确定各网点的坐标^[1].传统方法采用两步法确定控制点坐标，即基于三维空间距离交会、采用双三角锥法确定控制点的平面坐标^[2]，采用三叶法或四叶法确定控制点垂直坐标.两步法需多艘测量船同步作业，费时费力，且受潮位、风浪等因素影响较大，控制点垂直解精度不高^[3].近年来，国外一些学者提出了一种圆走航方法，即利用测量船在水面围绕水下控制点绕圆航行，借助每个时刻GPS提供的船位、船载换能器到水下控制点间的测距值，交会得到海底控制点坐标^[4-5].该方法充分利用了距离观测值的冗余度和对称性，实现水下控制点平面坐标的高精度确定，但因船舶观测点在垂直方向上对海底控制点非对称分布，常出现垂直解质量不高甚至不稳定问题.圆走航方法解决了坐标从水面到海底的传递问题，但存在费时费力等不足.近年，随着应答器间相互测距功能的实现，基于海底应答器间观测距离，结合圆走航提供的部分控制点绝对坐标，借助约束平差，可以快速、高精度地实现海底所有控制网点的二维平面坐标的确定^[6-8]，但该方法不足的是，由于声速误差对测距的影响无法消除以及海底控制网点在垂直方向分布的不均匀性问题在实际布网时无法很好解决，海底控制网点的垂直解精度不高和不稳定问题仍然存在.由于水下控制点是后续水下导航定位平面和垂直解确定的参考，若上述问题存在，必然会给后续水下导航定位解的成果精度带来较大影响.基于此，本文借助水下应答器内置压力传感器提供的深度信息，提出了融合深度差的二维约束平差方法和附加深度的三维约束平差方法，以期解决上述问题，实现海底控制网点三维坐标的高精度、稳健确定.

1 约束平差模型 1.1 三维约束平差

欲将海底三维自由网约束在绝对坐标框架内，须为其提供1个三维绝对坐标基准及3个方位基准，即至少需要3个已知坐标的控制点^[9-10].假设水下控制网由m个控制点组成，其中m₁个为已知控制点，m₂个为待求控制点.则观测边总个数为C=C_m²- C_m1²，必要观测数为3(m-m₁)，多余观测数为r = C_m² - C_m1²-3(m-m₁)^[11-12].

设第i条观测边的两端点分别为A_i和B_i，声波在两端的应答器间的单程传播时间为t_i，由于应答器在海底的深度近似相等，传播过程中速度v可近似认为相等，则观测斜距S_i=vt_i；若两端点应答器的初始坐标分别为x_Ai和x_Bi，则观测方程为

$~{{S}_{i}}=f({{x}_{Ai}},{{x}_{Bi}})+\delta {{S}_{vi}}+\delta {{S}_{ti}}+{{\varepsilon }_{i}}.$

式中：f(x_Ai,x_Bi)=‖x_Ai-x_Bi‖²，为两端点应答器间几何距离，由两端点应答器坐标反算得到；δS_vi、δS_ti分别为声速等效误差和时延等效误差；ε_i为随机误差.

由于两端点应答器基本处于同温层，声线传播速度基本不变^[13-14]，δS_vi可忽略，δS_ti经过外部设备改正后，观测边的误差方程为

${{v}_{i}}=\frac{\partial f}{\partial {{x}_{Ai}}}d{{x}_{Ai}}+\frac{\partial f}{\partial {{x}_{Bi}}}d{{x}_{Bi}}-[{{S}_{i}}-f({{x}_{Ai}},{{x}_{Bi}})].$

(1)

三维约束平差模型中的观测方程总个数为C=C₁+C₂，其中：

$\begin{align} & {{C}_{1}}=C_{{{m}_{2}}}^{2}, \\ & {{C}_{2}}=C-{{C}_{1}}=C_{m}^{2}-C_{{{m}_{1}}}^{2}-C_{{{m}_{2}}}^{2}. \\ \end{align}$

式中：C₁为两端点A_i和B_i均为待求控制点的观测边个数，则第i条边的误差方程如式(1)所示；C₂为只有一端A_i为待求控制点的观测边个数，则根据式(1)其误差方程为

${{v}_{i}}=\frac{\partial f}{\partial {{x}_{Ai}}}d{{x}_{Ai}}-[{{S}_{i}}-f({{x}_{Ai}})].$

(2)

综合上述两种情况可建立C个误差方程，其矩阵形式如

$V=Bdx-l$

(3)

式中：B为系数矩阵；V为观测值改正数向量；l为观测值与反算距离的差向量.

根据V^TPV=min，水下控制点坐标可确定为

$Q={{\left( {{B}^{T}}PB \right)}^{-1}}$

(4)

$dx=Q{{B}^{T}}Pl,$

(5)

$x={{x}_{0}}+dx.$

(6)

式中：P为观测值权阵，Q为待求坐标的协因数阵.

多次迭代直至‖dx‖²小于设定限差eps，即可获得其余应答器的高质量定位解.

第j个水下应答器的内符合精度可用下式来评估：

$\sigma _{0}^{2}=\frac{{{V}^{T}}PV}{r},$

(7)

${{\sigma }_{j}}={{\sigma }_{0}}\sqrt{Q\left( 3j-2,3j-2 \right)+Q\left( 3j-1,3j-1 \right)+Q\left( 3j,3j \right)}.$

(8)

1.2 融合深度差的二维约束平差

基于上述三维约束平差模型确定水下控制网点时，存在如下两个方面的不足^[15-16]：

1) 假设海底控制点间高差较小，认为声速近似相同，采用常声速或平均声速计算海底控制网点间空间距离^[17].该假设对于深海是非常有效的，因为深海等温层声速变化非常小；但对于布设在浅水或温跃层的控制网，由于点间传播声速变化显著，即使控制点间深度差较小，上述假设也会给点间距离计算带来较大偏差^[18].

2) 上述约束平差中，已知的控制点坐标由圆走航法确定.圆走航法借助三维距离交会确定海底控制点坐标，如GPS定位一样，在垂直方向上，水面船舶观测点只位于海底控制点的一侧，这种定位方式必将导致平面解精度高，垂直解精度较低，甚至出现不稳定情况.

为此，本文给出一种融合深度差的海底控制网点坐标二维约束平差方法.

海底控制点上的应答器均内置压力传感器，可提供0.1%水深精度的深度Z，远高于测距精度.借助两控制点间的深度差ΔZ，可将观测斜距S改正为平距^[19-20]，则以上三维约束平差问题则可转换为二维约束平差问题，不但可以简化海底控制网点坐标确定的数据处理流程，且能够提高三维点位的确定精度.如图 1所示，两控制点间的观测平距为

${{D}_{i}}=S_{i}^{2}-\Delta Z_{{{A}_{i}}{{B}_{i}}}^{2}$

欲将二维自由网约束在绝对框架内，须为其提供一个二维坐标基准及一个方位基准，即至少需要两个已知坐标的控制点.已知坐标的控制点二维坐标仍由圆走航法来提供.观测方程总个数为C=C_m² -C_m1² ，必要观测数为2(m-m₁)，多余观测数为r=C_m²-C_m1²- 2(m-m₁).二维约束平差模型中的观测方程总个数仍为C=C₁+C₂，其中C₁是两端点A_i和B_i均为待求控制点的观测边个数，C₂是只有一端A_i为待求控制点的观测边个数.

分别建立C₁个类似式(1)的误差方程、C₂个类似式(2)的误差方程，不同的是其中的x_Ai和x_Bi均为二维平面坐标.待求点的平面坐标x仍可借助式(4)~(6)确定，对于第j个水下控制点，其平面坐标精度可用下式来评估，垂直坐标精度可由压力传感器精度来提供.

${{\sigma }_{j}}={{\sigma }_{0}}\sqrt{Q\left( 2j-1,2j-1 \right)+Q\left( 2j,2j \right)}.$

(9)

1.3 附加深度的三维约束平差

控制点上应答器内置压力传感器尽管可以提供具有较高精度的深度，但根据其测量原理，实测深度为瞬时海面到应答器中心之间的垂直距离，波浪影响必然夹杂在其中^[20].因此，应答器提供的深度Z实则为包含误差的观测量.若海面相对平静，则两点观测深度包含的误差较小，即点间深度差ΔZ较小，可将其视为已知量，采用如上所述的二维约束平差模型处理观测边；反之，若海面不平静，ΔZ较大，内含有深度相关误差，不能视为已知量，上述融合深度约束的二维约束平差结果必然不准确.为此，本文给出一种附加深度的三维约束平差方法.其基本思想是，将应答器提供的深度作为新的观测量，与应答器测距观测量联合建立误差方程，构建附加深度的三维约束平差模型.

欲将此模型约束在绝对框架内，至少需要2个已知坐标的控制点.

设观测方程总个数为C=C_m²-C_m1²+(m-m₁)，必要观测数为3(m-m₁)，多余观测数为r = C_m²-C_m1²-2(m-m₁).其中C=C₁+C₂+(m-m₁)，分别根据式(1)建立C₁个误差方程，式(2)建立C₂个误差方程，对于第j个未知控制点，将其深度值作为观测量建立m-m₁误差方程：

${{v}_{j}}=d{{Z}_{j}}-({{Z}_{j}}-Z_{j}^{0})$

式中：Z_j为第j个未知控制点的深度观测值，Z_j⁰为其深度初始值.

水下应答器的坐标x仍可借助式(4)~(6)确定，第j个水下应答器的内符合精度仍可用式(7)~(8)评估.

2 实验及分析

为了比较和验证上述平差模型，在松花湖开展了水下控制网布设和施测实验.松花湖实验水域平均水深约为60 m，试验水域大小为150 m × 110 m.分别将C2、C4、C5、C6 和C8应答器(控制点)布设在水下.水底地形相对平坦，应答器深度差较小.应答器布设位置如图 2(a)所示，实验水域声速剖面SVP结构如图 2(b)所示.在水下控制网测量前，严格测定了长基线水下定位系统(long baseline，LBL)的船载换能器、GPS RTK天线中心在船体坐标系下的坐标；此外，所有水下应答器时延误差均借助外部设备进行了有效改正.完成上述准备工作后，开展水下控制网测量.

2.1 水下控制网测量

为了将绝对坐标基准从水面引入水下以及检验上述3种模型确定水下控制网点坐标的有效性，首先开展圆走航测量.采用一艘测量船，围绕不同水下应答器以半径30 m的圆周测距.在圆周上每个航迹点，获取船载换能器的GPS坐标及船载换能器到水下应答器之间距离，并利用压力传感器获得船载换能器的在航深度和水下应答器的深度.将船载换能器与水下应答器的深度差作为附加约束，采用距离交会定位原理确定每个控制点的三维坐标.完成上述测量后，借助水下控制点上应答器，开展应答器间相互测距，获得控制点间的三维距离观测值.获得所有观测信息后，将开展水下控制网点的坐标确定.

2.2 水下控制网点坐标确定

基于以上控制点间距离S、各控制点上的深度观测值Z，以及圆走航提供的部分水下已知坐标，分别采用本文给出的3种数据处理方法，计算水下控制网点坐标.在数据处理中，测量船投放应答器时RTK提供的平面坐标及水下地形图提供的深度坐标用作各待求点的初始坐标或近似坐标.

1) 方法1(三维约束平差).采用三维约束平差方法，以已知点坐标为约束，利用点间观测距离S，借助水下控制网测量所述方法，计算各待求点坐标并对其进行精度评估.开展2个试验：(1-A)C2、C4和 C5为已知点，C6和C8为待求点；(1-B)C5、C6和C8为已知点，C2和C4为待求点.

2) 方法2(融合深度差的二维约束平差).采用融合深度差的二维约束平差方法，利用各水下控制点的深度观测值Z，借助式(8)将控制点间空间观测距离S转换为水平距离D，以部分已知点平面坐标为约束，在二维空间构建观测方程及误差模型，基于融合深度差的二维约束平差所述的融合深度差的二维约束平差模型，计算其余应答器的坐标.开展2个试验：(2-A)C2和 C4为已知点，C5、C6和C8为待求点；(2-B)C6和 C8为已知点，C2、C4和C5为待求点.

3) 方法3(附加深度的三维约束平差).采用附加深度的三维约束平差方法，方法1的基础上，将各控制点的深度作为观测量，增加式(9)所示观测方程，以部分已知点平面坐标为约束，在三维空间开展待求点坐标的确定.开展2个试验：(3-A)C2和C4为已知点，C5，C6和C8为待求点；(3-B)C6和C8为已知点，待求点为C2，C4和C5.本文给出的3种方法的处理结果见表 1.

2.3 比较及分析

由于圆走航方法具有较多的冗余边观测量，其空间交会确定的平面坐标准确可靠；此外，为避免测量点与被测量点几何分布导致的垂直解精度不高和不稳定问题，基于控制点上应答器提供的深度信息和圆走航船载换能器提供的深度信息，将其深度差作为附加约束，最终可获得高精度的水下控制点垂直解.以圆走航方法获得的各水下控制点坐标为参考点，各数据处理方法所得结果与之比较，可得各点的外符合精度如表 1所示，尽管低于借助协方差传播律计算得到的内符合精度^[21]，但更能客观地评价本文方法.由表 1可以看出：

1) 3种方法的平面定位精度均较高，为厘米级；相对方法1，方法2,3的平面定位精度略高，但不显著.

2) 3种方法所得控制点垂直解精度差异较大.方法1垂直解误差大于0.23 m，小于0.47 m，定位精度为分米级，进一步验证了交会定位存在的垂直解精度不高问题；相对方法1，方法2，3无论是平面和垂直解，精度均在厘米级，定位精度一致且稳定，表明本文提出的基于深度约束的水下控制网点确定方法是正确的.

3) 从各点的垂直定位精度来看，方法2，3的垂直解误差最大为0.12 m，最小为0.07 m，2种方法的定位精度基本一致.分析认为，由于试验在湖上进行，风浪相对海上小的多，波浪因素对深度观测量的影响非常小，无论是每个控制点上的深度观测值还是控制点间的深度差观测值，精度均比较高，因此基于深度差的二维约束平差方法与附加深度的三维约束平差方法几乎是等价的.尽管前者具有简单、方便和易于实施等优点，但考虑海上作业实际，建议采用附加深度的三维约束平差方法.

3 结 论

1) 本文提出的2种基于深度约束的海底控制网点坐标确定方法，有效地解决现有数据处理方法的不足，实现了海底控制网点三维坐标，尤其是垂直解的高精度、稳健确定，并在松花湖实验中得到了检验和验证.

2) 无论是提出的融合深度差的二维约束平差方法还是附加深度的三维约束平差方法，均将三维约束平差解的精度提高2~5倍，且实现了平面解与垂直解精度的同量级；考虑海上实际，建议在数据处理中采用附加深度的三维约束平差方法，即将深度值作为附有误差的观测量，与测边观测量一并平差，可有效消除波浪误差的影响，提高海底控制点三维解的精度的同时，增强本文方法的适用性.