升力式再入飞行器飞行距离远、机动能力强，可在短时间内实现对全球任意目标的精确打击，具有重要的军事意义，正受到世界各军事大国的关注.升力式再入飞行器由助推火箭助推至一定高度后分离，然后在大气层内进行滑翔飞行至目标点附近，最后下压以一定的弹道倾角对目标实行精确打击.在整个飞行全过程中，由于大气的存在，其环境极其复杂，要保证飞行器安全地到达目标上空，并实行对目标的精确打击，具有较大的难度和挑战性.为此，开展升力式再入飞行器全程三维自主制导方法具有重要意义和应用价值，其主要涉及再入段制导、下压段制导以及两段间的平稳过渡等.

目前航天飞机的再入段制导是反复经过工程实践检验，较为成熟的升力式再入制导方法^[1]，同时阿依华州立大学^[2-4]和加利福尼亚大学^[5-7]研究的再入制导方法也引起了众多学者的研究兴趣.对于下压段制导，自从1973年Kim等^[8]首次在机动弹头的末端制导中引入落角约束以来，国内外的学者针对不同的应用背景，应用最优控制^[9]、滑模控制^[10]、自适应控制等控制理论提出了多种具有终端角度约束的导引律^[11-15]，而对于升力式再入飞行器全程制导方法至今没有出现过完整的研究文献.本文研究了一种能够满足再入约束、射程和航向角要求，以一定弹道倾角对目标实施精确打击的升力式再入飞行器全程三维自主制导方法，该方法由再入段制导、下压段制导以及两段间平滑过渡方式组成.

1 以能量为自变量的归一化再入运动数学模型

升力式再入飞行器在再入过程中所具有能量不断减少，同时由于再入的起始和末端状态为给定的要求值，其对应的能量就为已知值，相比飞行时间为未知而言，能量是一个很好的自变量，在无需精确获得飞行时间的情况下就可积分再入运动方程.取再入过程中的能量E的表达式如下:

式中：V为再入飞行器相对于地球大气的速度；r为飞行器质心到地心的距离；μ为地球引力常数.

为了提高再入制导相关算法迭代计算的收敛性，需对再入飞行器的运动模型进行相应的归一化.

能量归一化的形式E为

式中：V为相对地球的归一化速度，r为归一化的地心距离.

在忽略地球自转和扁率的情况下，将E对归一化的时间τ求导可得

(1)

式中D为归一化的阻力加速度.

根据式(1)再结合归一化的再入动力学模型，将对时间的导数变成对归一化能量的导数，最终得到数学模型为：

(2)

式中：为归一化的引力加速度沿地心矢径方向的分量；为归一化的引力加速度沿地球自转角速度方向的分量；γ为飞行路径角；φ为地心纬度；θ为经度；ψ为航向角，是速度矢量沿当地水平面的分量与正北的夹角；L为归一化的升力加速度；σ为倾侧角；为归一化的地球自转角速度.同时式(2)中左边状态变量的导数都是对归一化能量的导数.

2 约束模型

再入飞行器全程飞行过程中需要满足过程约束、控制约束以及相关的末端约束.

2.1 过程约束

过程约束主要包括动压、法向过载、驻点热流约束以及拟平衡滑翔条件，对应的归一化模型分别为：

式中：q为归一化的动压；为归一化的法向过载；为驻点热流；ρ为大气密度；q_max为给定的动压约束；n_max为给定的法向过载约束；为给定的最大驻点热流约束；μ为地球引力常量；r_e为再入点的地心距；g_e为再入点的引力加速度；N为归一化的法向加速度；k_s为热流系数.

2.2 控制约束

控制约束为：

式中：α为攻角；α_max、σ_max分别为最大攻角、最大倾侧角.

2.3 末端约束

末端约束主要有再入段末端约束和下压段末端约束，其中再入段末端约束为：

式中：h_f、V_f、s_th分别为再入段末端高度、速度以及距目标点的距离；h_fc、V_fc、s_c分别为要求的再入末端高度、速度以及距目标点距离的约束值；Δh、ΔV、Δs分别为再入末端高度误差、速度误差以及距目标点距离误差的允许值；Δψ为末端航向角偏差; C为其允许值.

下压段末端约束为：

式中：h_z、s_z、γ_z分别为下压段末端高度、与目标点的距离、飞行路径角；h_t为目标点高度；γ_t为要求的弹道倾角值.

3 再入段制导方法 3.1 轨迹规划方法

轨迹规划基于阻力加速度剖面设计，阻力加速度剖面采用再入走廊上下边界内插得到，如图 1所示.

阻力加速度剖面的具体设计形式为

(3)

式中：D₀、D_f分别为归一化的起始和末端的阻力加速度；E₀、E_f分别为归一化的起始和末端的能量；为归一化的能量，且有；D₁、E₁分别为0.9处的归一化的阻力加速度和能量；D₂、E₂分别为处的归一化的阻力加速度和能量；D_max为阻力加速度上边界；D_min为阻力加速度下边界；E为当前的归一化能量；p_x为内插系数，为阻力加速度剖面调节系数，0≤p_x≤1.

由于轨迹规划采用阻力加速度剖面设计，阻力加速度剖面又由再入走廊上下边界内插得到，所以阻力加速度剖面一定在再入走廊内，可以有效满足再入过程中的过程约束.同时再入段末端的阻力加速度和能量能够有效保证末端的速度和高度，因此再入段末端还需满足到目标点距离以及航向角约束.满足两个约束至少需要两个可以调节的参数，内插值系数p_x可以作为一个调节参数，为此倾侧角至少需要进行一次反转，将反转点归一化的能量作为一个调节的参数.但如果倾侧角只进行一次反转，当倾侧角反转完成后，能够调节的参数仅剩内插值系数p_x，无法再同时满足到目标点距离以及末端航向角两约束的要求，参考轨迹不能较好地进行更新.为此倾侧角进行两次反转，将两次反转点归一化的能量作为可以调节参数，为靠近末端的反转点.当飞行器没有飞过第1个反转点时，固定，调节p_x和更新轨迹；当飞行器飞过第1个反转点时，调节p_x和更新轨迹；当飞过第2个反转点时，不再更新轨迹.不失一般性，以p_x和更新为例，给出具体的更新方法如下.

1) 给出的初值为

2) p_x⁰给定后，由式(3)确定阻力加速度剖面，也即不同的E对应的D_ref值唯一确定，而E和D_ref又由r和V决定，为此采用迭代法求得r、V，获得不同E对应的r后采用差分法可以求得r对E的导数，再采用式(4)获得飞行路径角γ的值为

(4)

同理，将不同E对应的γ采用差分法获得γ对E的导数，采用式(5)获得倾侧角σ的大小|σ|为

(5)

3) 确定倾侧角符号：段倾侧角符号使飞行器的航向角与再入点至目标点的球面方位角的偏差值增大；段的倾侧角与反号；段的倾侧角与段反号.

4) 获得不同E下的D_ref、r、V、γ以及σ后，积分求得末端点的经纬度和航向角为:

(6)

5) 根据求得的末端点航向角和经纬度，可以得到航向角偏差和与目标点的距离，再结合相应的约束，采用牛顿迭代法可以迭代求解获得满足约束的值.

3.2 轨迹跟踪方法

由轨迹规划可以获得攻角和倾侧角指令，但由于在轨迹规划时存在一定的假设和简化，如果飞行器按照轨迹规划中的攻角和倾侧角指令进行飞行，则跟踪不上规划出的轨迹剖面，有可能使飞行器不满足过程约束和终端约束，为此需要对攻角指令和倾侧角指令进行修正.为了使跟踪方法简单容易实现，攻角采用给定的攻角剖面值，只对倾侧角指令进行修正.

攻角指令α_cmd为

式中：α₁、α₂、V₁、V₂分别为根据轨迹分析所取得定值.

倾侧角指令σ_cmd为

且有:

式中：sgn(σ_ref)为由轨迹规划获得的倾侧角的符号；k_p、k_d、k_i分别为常数；分别为轨迹规划获得的倾侧角、与地心距离的变化率以及阻力加速度；分别为当前到地心距离的变化率以及阻力加速度. 先由式(7)求得，再通过式(6)中的ψ求得

(7)

式中：k₁、k₂分别为常数；分别为由轨迹规划得到的航向角和航向角变化率；ψ为当前航向角.

4 下压段制导方法 4.1 下压段制导问题描述

下压段制导的目的主要是导引飞行器以一定的弹道倾角对目标进行精确打击，并且不过多地依赖于目标的信息.为了较好地对问题进行描述，如图 2所示在目标点建立固连坐标系o_tx_ty_tz_t.坐标原点o_t为目标点，o_tx_t、o_ty_t轴均在水平面内，分别指向东向和北向，o_tz_t轴与o_tx_t、o_ty_t轴组成右手坐标系.

图 2中r_mt为再入飞行器到目标点的距离, s为再入飞行器在o_tx_ty_t面上的投影到目标点的距离, θ_t为再入飞行器与目标点的方位角，与o_tx_t轴逆时针方向的角度为正，取值范围为－π≤θ_t＜π, e_t为再入飞行器与目标点的高低角，在o_tx_ty_t平面上方为正，下方为负，取值范围为－π/2≤e_t≤π/2.

若飞行器要以一定的弹道倾角精确命中目标，则需满足：

式中：x_f、y_f、z_f分别为飞行器在弹道终端相对目标点固连坐标系o_tx_ty_tz_t上3个方向的分量; Γ_f为给定的弹道倾角约束.

则根据飞行器当前点的经度λ、纬度φ和地心距r可以得到飞行器在目标点固连坐标系的坐标x、y、z为

式中：φ_t为目标点纬度；Δλ=λ－λ_t；R_t为目标点处的地心距.

则飞行器相对目标点固连坐标系的位置变化率为

式中V为飞行器相对地球的速度，且有

则飞行器在目标点固连坐标系上的方位角θ_t可通过以下方法求得：

1) 当x＞0时，；

2) 当x＜0时，；

3) 当x=0时，如果y＞0，θ_t=π/2;如果y＜0，θ_t=－π/2.通过上述步骤后，若θ_t≥π，则θ_t=θ_t－2π.

对于方位角θ_t的导数，有

式中.则飞行器在目标点东北天坐标系上的高低角e_t(－π/2~π/2)通过式(8)求得

(8)

对于高低角e_t的导数，有

4.2 自适应制导算法

取如下制导指令:

式中：λ₁、λ₂分别为制导参数.通过理论分析得到：

1) 对于任意的V，若λ₁＞1和λ₂＞1同时成立，则必有；

2) 对于任意的V，若λ₁＞2与λ₂＞2成立，则飞行器最终将以直线形式不断逼近目标，并且末端满足θ_t+ψ=－π/2和e_t+γ=0.

通过上述分析可以得到相应的制导流程如图 3所示.

图 3中δψ可计算为

ε为给定的小量.

λ₂的初值、更新计算公式为：

式中κ₂为给定参数.

当获得后，可以通过以下步骤获得α_com、σ_com.

1) 由式(9)计算L_com为

(9)

式中：为取的符号; g为飞行器当前位置的引力加速度.

2) 由式(10)计算得到C_Lcom为

(10)

式中S为飞行器的参考面积.

3) 得到C_Lcom，根据气动参数，利用牛顿迭代即可得到α_com，当α_com达到极值限制时，就取相应的极值.

4) 通过式(11)获得σ_com，当σ_com达到极值限制时，就取相应的极值为

(11)

5 再入段和下压段平稳过渡方法

通过再入段制导方法可以获得再入段的攻角和倾侧角指令，从而导引飞行器在满足动压、过载、气动热、射程等约束的基础上顺利到达目标点上空；通过下压段制导方法可以获得下压段的攻角和倾侧角指令，从而导引飞行器以一定的弹道倾角精确命中目标.但由于再入段和下压段的环境、制导需求以及制导方法不同，必然导致再入段和下压段衔接点处各自生成的攻角和倾侧角指令不一致，为此为保证飞行器再入段和下压段的平稳过渡，需要以再入段和下压段衔接点为起点对下压段的攻角和倾侧角进行平稳过渡.

通过自适应制导算法可以看出：下压段初期需要使δψ≤ε，为此可以采用最大升阻比攻角使飞行器有较大的机动能力，来尽快满足δψ≤ε，但对倾侧角没有特殊要求，其直接由指令式(11)生成.为此，再入段和下压段平稳过渡的主要问题就是，使再入段末端时刻的攻角α₀和倾侧角σ₀，分别平稳过渡为最大升阻比攻角α^*和下压段产生的倾侧角指令σ_com·α_trans、σ_trans分别采用式(12)、(13)进行平稳过渡：

(12)

(13)

式中：t为下压段的飞行时间，下压段开始时刻t=0；T为末制导的时间常数，为一给定值.

从式(12)、(13)可以看出：在下压段开始时刻攻角和倾侧角分别为α₀和σ₀，与再入段末端相同，不会出现跳点；同时随着时间的增加e^－t/T接近于零，攻角和倾侧角逐渐过渡为α^*和σ_com.

6 仿真分析

为了验证本文研究的再入飞行器全程三维自主制导方法的适应性和制导精度，取表 1中的初始条件、表 2中的约束条件、表 3中的干扰进行蒙特卡洛打靶仿真，仿真过程中当飞行器未飞过第1个反转点时每100 s重新规划一次轨迹，当飞过第1个反转点后每20 s重新规划一次轨迹.相应的仿真结果如图 4~9所示.

从图 4中可以看出再入段末端高度在30 km左右，最大偏差为2 km，满足再入段末端高度约束；从图 5中可以看出再入段末端速度在900 m左右，最大偏差为100 m，满足再入段末端速度约束；从图 6中可以看出再入段末端距目标点的距离为30 km左右，最大偏差为4 km，满足再入段末端距离约束；从图 7中可以看出再入段末端航向角的最大误差为4°，满足再入段末端航向角约束；从图 8中可以看出，该制导方法对目标打击的偏差均小于10 m；从图 9中可以看出打击的弹道倾角在85°左右，最大偏差为1.3°.

7 结论

1) 本文给出的再入段制导方法，基于再入走廊设计，最多只需调节两个参数即可获得满足再入和末端约束的再入轨迹，轨迹规划运算量少，可以实现在线规划，满足自主制导要求.

2) 本文研究的下压段制导，基于传统的比例导引形式，但实时更新制导参数，能够满足以规定的弹道倾角对目标实施精确打击.

3) 通过再入段和下压段控制指令间的平滑过渡实现了再入飞行器全程三维自主制导方法，其打击偏差小于10 m，弹道倾角偏差小于1.3°.