非均匀多采样率系统是工业控制中很重要的一类系统，受各种条件的限制，例如，时基抖动、人工采样、数据丢失或传输延迟等，系统的输入信号和输出信号分别采用不同的非均匀采样频率.在实际系统中，如果输入信号采用了快速刷新周期信号，输出信号采用了慢速周期采样信号，且输出信号采样周期等于输入信号刷新更新周期(框架周期)的系统，这类特殊的非均匀采样系统，属于多采样率系统的一种.

针对非均匀周期采样的离散线性系统，文献[1-3]针对含有白噪声和有色噪声的非均匀采样线性系统，分别采用辅助模型和提升技术，解决了其辨识问题，并对算法的收敛性进行了研究；文献[4]基于递阶辨识原理，利用非均匀周期采样系统的输入输出数据，解决了输入信号为多变量的非均匀采样线性系统建模问题；文献[5]使用提升方法构造了多率系统的模型，并参考了文献[6-7]子空间辨识建模方法.此外，针对非均匀采样线性系统，一些研究者还在网络控制系统辨识^[8]，系统状态估计^[9]，广义预测控制^[10-11], 信号处理^[12-13], 故障诊断^[14]等领域给出了新的研究结果.

本文从模糊模型出发，研究非线性系统在非均匀采样条件下的辨识问题.首先，在非均匀采样情况下，描述了非线性系统和线性系统的离散模型，建立了非线性系统和线性系统之间的联系; 其次，在上述关系的基础上，将提升变量作为模糊模型的输入变量，建立非均匀多采样率非线性系统的模糊模型；然后，利用竞争学习和递推梯度下降算法进行结构辨识和参数辨识.通过定理证明，输入信号在遍历和持续激励条件下，模糊模型参数能够一致收敛；化工pH中和过程是一个非常复杂的非线性过程，采用现场的非均匀采样数据对其进行模糊建模，证明了所提方法是有效的.

1 模糊模型的建立 1.1 问题描述

假设x(t)∈Rⁿ, y(t)∈R^l, u(t)∈R^l.考虑连续的非线性函数

式中的控制量满足如下关系

式中：非均匀刷新时间间隔为τ_i，为采样前一时刻t_i－1和后一时刻t_i的差，即τ_i=t_i－t_i－1，t_i=τ₁+τ₂+…+τ_i(设t₀=0, t_p=T)，T=τ₁+τ₂+…+τ_p=t_p称为更新周期(帧周期)；控制量u在第k个更新周期[kT, kT+T)，k=0, 1, 2, …，以t=kT+t_i，i=1, 2, …, p非均匀刷新p次；输出量y以T为周期均匀采样，即在[kT, kT+T)内，y(t)=y(kT).此时，x(kT+T)是以x(kT)为初值的微分方程的解，即

利用提升技术，构造提升向量为

此时，可将原系统转换如下离散系统，即

(1)

1.2 线性模型与非线性模型的关系

首先，考虑S_c是线性系统的情况，即

(2)

式中：x(t)∈Rⁿ为状态向量；u(t)∈R¹为控制输入；y(t)∈R¹为系统输出；A_c、B_c、C分别为适当维数的矩阵.由问题描述可知，量测的采样数据分别为u(kT+t_i), i=0, 1, 2, …, p－1和y(kT).在一个帧周期T内对式(2)进行离散化为

(3)

式中：.若S_c可测，则的秩为n.

引入后移算子z^－1，满足z^-1u(kT+t_i)=u(kT+t_i-T), 或前移算子z，满足zx(kT)=x(kT+T)，由式(3)可得

(4)

式中I_n为n阶单位矩阵，式(4)也可以表示为有理分式的形式：

其中

对于式(1)，它与线性系统式(3)的关系是：非线性系统可以看作其有多个平衡点，多个平衡点的非线性特性可以用局部线性模型式(3)来近似，那么整个非线性系统模型可以用局部线性模型式(3)经过多个非线性加权函数的组合来表示，即

(5)

其中

(6)

f_l[φ(kT)]为第l个非线性加权函数；g_l[φ(kT)]为非线性系统在第l个平衡点处局部线性模型.对于式(5)而言，神经网络模型、模糊模型、支持向量机模型等都可以拓展成类似的形式.

1.3 模糊模型的确定

对于非线性系统式(1)，在进行非均匀采样后，其模糊模型为

R^l:if φ(kT)属于F_l(F_l的隶属函数为μ_l[φ(kT)])，

(7)

式中:F_l为第l条规则下的模糊集合; μ_l[φ(kT)]为F_l模糊集合的隶属度函数；c为采用模糊规则的总数；φ(kT)为第kT时刻采样样本；满足

对于模糊模型式(7)，还可以表示为如下形式：

R^l:if φ(kT)属于F_l，then

(8)

最后，模型总输出为

(9)

2 模糊模型的辨识 2.1 基于竞争学习的结构辨识

竞争学习也是一种聚类方法，在文献[15]中给予了介绍，该算法表示如下.

1) 选择聚类数c(2≤c≤N/2，N为样本总数)，初始中心向量φ_l(l=1, 2, …, c).

2) 每一采样样本其隶属度计算为

式中：μ_l(kT)为在第kT时刻φ(kT)在第l类的隶属度，即μ_l(kT)为μ_l[φ(kT)]简写形式；φ_l为第l类的聚类中心向量(l=1, 2, …, c)；φ(kT)表示第k次采样的样本.

3) 修正聚类中心向量φ_l(l=1, 2, …, c)为

其中η是学习系数.

4) 若，停止；否则，t=t+1，转步骤2).

2.2 模糊模型的参数辨识

对于式(9)，辨识目的是根据采样数据{u(kT+t_i－1), y(kT)}，(i=1, 2, …, p; k=1, 2, …, N)，确定模糊模型参数a_lj和b_lij.为此，首先定义如下参数向量：

模糊模型的输入向量为：

这样，式(9)可以写成线性回归形式，由于系统总是含有噪声的，因此模糊模型最后输出可以表示为

(10)

式中：；v(kT)为模型中噪声，是方差为σ², 均值为零的白噪声.

通过竞争学习得到聚类中心和隶属度函数.模糊模型的后件参数可以采用随机梯度算法来确定，算法如下：

(11)

(12)

(13)

式中: 为第kT时刻参数向量的估计值；为很小的实向量；矩阵X的范数定义为

2.3 性能分析

为了说明算法的性能，对一些数学记号说明如下：分别为矩阵X的最大和最小特征值；为矩阵X的行列式；为矩阵的迹；f(t)=O(g(t))表示，表示当t足够时，f(t)≤δ₁g(t)^[13].

为了说明式(11)~(13)算法的收敛性，给出如下引理.

引理1^[16] 设函数f(t)≥0，g(t)≥0，，级数发散，级数收敛，即，则有f=0.

引理2 设D∈R^m×n, E∈R^n×m, 则等式|I_m+EF|=|I_n+FE|成立.

证明 参见文献[11, 16]，此处略.

引理3 下列不等式成立:

根据式(13)的r(kT)定义，并且r(kT)是递增的，很容易证明上述引理.

定理1 对于式(10)，假定噪声信号v(kT)是定义在概率空间(Ω, F, P)上的鞅差序列，对于递增σ代数序列{F_kT, k∈N}，其在kT时刻可观测到，并满足条件：

令，如果模糊模型的输入信号是遍历和持续激励的，并有存在，则式(11)~(12)给出的参数估计误差一致收敛到零，即k→∞，

证明 由于论文篇幅的限制，此处略.

3 仿真实例

为了验证本文方法的有效性，对化工非线性对象pH的中和过程进行研究.pH控制系统的中和反应过程，如图 1所示^[17].

图 1中，酸液、缓冲液、碱液在反映池内发生中和反应，其溶液为：酸液HNO₃；缓冲液NaHCO₃；碱液NaOH，碱液NaHCO₃.q₁、q₂、q₃分别是酸液、缓冲液、碱液化学液剂的流量；q₄是输出液的流量；pH₄是输出液pH的测量值; W_a1、W_a2、W_a3、W_a4分别是这些化学液剂的电荷平衡因子；W_b1、W_b2、W_b3、W_b4分别是这些化学液剂的物料平衡因子.

用碱流q₃作为控制量u，p=2，t₁=τ₁=1.0 min，τ₂=1.5 min，T=τ₁+τ₂=2.5 min.输出液pH测量值作为输出量y.选y(kT－T)、y(kT－2T)、u(kT－T)、u(kT－2T)、u(kT+t₁－T)和u(kT+t₁－2T)构成向量φ(kT).取模糊模型的规则数c=6，模糊模型具体形式如下：

R^l:if φ(kT)属于F_l，then

从现场得到60个数据进行竞争学习，建立pH控制系统的中和反应过程的模糊模型.仿真结果如下：图 2给出了模糊模型的输出和实际输出结果的比较；图 3为误差比较曲线，均方差为0.155，显然模糊模型能够很好反映pH控制系统的中和反应非线性非均匀采样过程，具有计算简便、建模方便、高效的特点.

4 结论

1) 利用竞争学习确定模糊模型的前件结构；通过随机梯度算法确定模糊模型的后件参数；通过定理和引理证明了模糊辨识算法的收敛性能.通过化工过程pH中和非均匀采样过程研究，证明了所提出方法有效性.

2) 对于含有框架周期，输入信号的刷新时间不确定、随机的、非均匀采样的非线性系统的辨识(这种情况在网络控制系统，工业系统中，也是经常出现的)仍是困难的，主要困难表现在，由于输入信号的刷新时间不确定，使得系统离散模型难于建立，因此不能采用基于离散模型的方法辨识.