香农在有噪信道编码理论^[1]中指出，存在达到香农极限的码字. 2009年，Erdal Arikan引入信道极化理论^[2]，根据组合信道在码长变得足够大时发生的极化现象，将实际的概率性信道转化为并行的确定性比特信道，提出了Polar编码方案^[3]. Polar码选用无噪声比特信道来传输重要的信息比特，而全噪声比特信道则传输约定信息或不传信息.这种传输方式可以实现信道传输的最高传输速率并保证一定的传输可靠性.同时，由于Polar码是第一个被证明的可在BDMC上达到香农极限的信道编码方式，且译码算法的复杂度较低、时延较小，具有优良的性能^[4-6]，故在信源编码、协作中继以及干扰融合等各类通信领域中都具有重要的应用前景^[7-9].

针对有线网络，为提高系统资源利用率和网络吞吐量而提出的网络编码NC (network coding) ^[10]无法直接应用于具有广播传输特性的无线信道中这一问题，文献[11]通过将无线信道中叠加的信号直接映射为相应数字比特流异或的方法，将干扰变成了网络编码算法的一部分，提出了物理层网络编码PNC (physical network coding).文献[12]在双向中继信道模型中将信道编码和网络编码相结合，提出Turbo网络编码方案，大大提高了PNC在无线通信系统中的可靠性.文献[13]提出采用重复累计码RA (repeat accumulate)的PNC系统，通过RA避免解出跟PNC无关的信息，在保证一定可靠性的基础上，降低了译码复杂度.文献[14]通过对信道编码、编码调制和物理层网络编码三者的联合设计，提出一种应用网格编码调制TCM (trellis coded modulation)的PNC设计方案，提高了编码序列的自由距离和信息传输速率，获得了更高的编码增益.同时，对卷积Turbo码CTC (convolutional turbo code) ^[15]和LDPC码^[16]与网络编码联合设计系统的相继研究也表明，联合设计系统可在保证较强纠错性能的同时，提升系统的吞吐量.

这些研究大大提高了无线通信系统的误比特性能和吞吐量，但同时也引入了较大的系统实现复杂度.为解决这一问题，本文针对双向中继信道设计了一种联合Polar信道编码与PNC的中继转发策略，利用Polar码是编译码算法较为简单的编码方式，不仅提高了对无线通信系统信道估计模块的利用率，降低了系统复杂度，且由于Polar编码具有在大数据块传输时的低误比特率优点，采用高阶调制，所提方案还可为未来数据传输速率要求较高的无线通信系统物理层网络编码的联合设计提供借鉴.

1 双向中继信道模型

最简单的双向中继系统由2个信源节点A，B和1个中继节点R组成.信源节点A和B通过中继节点R来交换信息，其信道模型如图 1所示.

图 1所示的两信源节点双向中继信道的通信过程分为两个阶段.第一个阶段是多址接入阶段，即信源节点A和B同时向中继节点R发送各自的信息序列u_A和u_B.假设系统完全同步，信号发射功率相等，且等效多址接入信道是服从高斯分布N(0, σ_R²)的加性高斯白噪声信道AWGN(additive white gaussian noise)，则中继节点R收到两路信源信息并混合AWGN噪声后的多址接入信道输出序列可表示为y_R=x_A+x_B+n_R，其中，x_A和x_B是对信源节点A和B的消息序列u_A和u_B进行编码和调制处理后的序列.

第二个阶段是中继节点R对多址接入信号进行处理和广播的阶段.在这一阶段，中继节点R先对收到的多址接入信道输出信号y_R进行软解调解列再对该网络编码估值序列u_R进行码，直接得到网络编码序列u_R=u_A⊕u_B的估值序信道编码和调制，并将调制后的发送符号序列x_R广播到信源节点A和B.其中，符号⊕是比特异或运算符.

在广播阶段的接收端，信源节点A和B分别对接收到的广播序列y_A=x_R+n_A和y_B=x_R+n_B进行独立的软解调解码，得到网络编码的译码估值序列和后，再由信源节点A和B通过比特异或运算和获得对方节点的信息序列，完成信源节点A和B之间的信息交换.其中，n_A和n_B分别是广播阶段中中继节点R到信源节点A和B的高斯信道噪声.

2 联合Polar码与物理层网络编码的中继转发系统

图 2所示的是在双向中继信道模型中，一种联合Polar码与物理层网络编码的中继转发系统框图.记AWGN信道W: X→Y，其中X和Y分别是信道的输入和输出符号变量，则对应的信道转移概率可定义为W(y|x), x∈X, y∈Y，且X中的x服从均匀分布，即符号的发送是等概率的.因此，信道W的后验概率可表示为.

根据信道极化理论，对N=2ⁿ个独立信道W进行信道组合和信道分解后，可得到N个连续的二进制输入子信道W_N⁽ⁱ⁾, i=1, 2, …, N. Polar编码选择其中较为可靠的子信道来传输信源发出的信息比特，较不可靠的子信道用于传输冻结比特.其中，冻结比特是具有固定值的比特，一般为0比特.记传送信息比特的子信道下标组成的集合为A，传送冻结比特的子信道下标组成的集合为A^c，则Polar编码可描述为

式中：u₁^N, c₁^N∈{0, 1}^N分别是待编码比特序列和码字比特序列，且待编码比特序列u₁^N包含了信源发出的信息比特序列u_A和具有固定值的冻结比特序列u_A^c；G_N=R_N(F⊗G_N/2)是生成矩阵，其中，G₂=F= ，符号⊗代表Kronecker乘积，R_N是实现元素a_{b0b1…bn－1}→a_{bn－1bn－2…b0}的比特翻转矩阵.

记信源节点A和B需要发送的信息序列分别为u_A和u_B, 那么，对信息序列u_A和u_B进行相同码率R=k/N的Polar编码后，k和N分别为信息比特数和码字比特数，可分别得到对应节点的Polar码码字序列c_A和c_B.调制器将这两个码字序列分别调制成适合在信道上传输的发送符号序列x_A和x_B后，由AWGN信道同时发送到中继节点R.假设中继节点R的接收完全同步，则得到接收符号序列y_R=x_A+x_B+n_R, 其中，n_R是服从N(0, σ_R²)分布的等效多址接入信道噪声.这一阶段就是Polar码与物理层网络编码联合设计系统的多址接入阶段.

在图 2所示的Polar码与物理层网络编码联合设计系统的第二阶段，即广播阶段中，中继节点R首先对多址接入信道输出符号y_R进行软解调.由于Polar编码和异或网络编码都符合线性运算法则，当信息序列u_A和u_B分别编成Polar码字序列c_A和c_B后，对信息序列经异或运算得到的网络编码信息序列u_R=u_A⊕u_B进行Polar编码，得到的Polar网络编码码字c_R可表示为c_R=c_A⊕c_B.因此，软解调模块可直接通过以下后验概率公式得到长度为N的Polar网络编码码字c_R的初始比特对数似然比LLR(log likelihood ratio)序列：

(1)

接下来，中继节点R处的连续消除SC (successive cancelation)译码器对该初始LLR序列进行译码.根据Polar码信道的组合和拆分理论可知，SC译码的路径度量与已知y_R时的后验概率P_N⁽ⁱ⁾(u₁ⁱ|y₁^N), y₁^N∈y_R有关.同信道组合对应的信道转移概率的表达式一样，后验概率也可以通过迭代计算得到.假设u_{1, o}ⁱ和u_{1, e}ⁱ分别代表子向量u₁ⁱ(1≤i≤N)中奇数下标和偶数下标的元素，那么对任意n≥0，可得由后验概率表示的Polar码SC迭代译码的路径度度量为

(2)

(3)

为方便计算，采用后验概率对数似然比来代替式(2)和式(3)中的后验概率，并将接收符号对应的初始比特LLR序列记作第(n+1)层LLR序列{λ₁⁽ⁿ⁺¹⁾, λ₂⁽ⁿ⁺¹⁾, …, λ_N⁽ⁿ⁺¹⁾}，则式(2)和式(3)可简化为

(4)

(5)

式中：λ_o^(l)和λ_e^(l)分别代表第l(1≤l≤n)层LLR序列中奇数位置和偶数位置上的元素值，表示第l层译码比特输出序列中偶数位置上的译码比特估值.由式(4)和式(5)可知，一个长度为N的Polar码SC译码是通过2个长度为N/2的Polar码SC译码实现的，这种逐比特译码的方法在迭代结束时便可顺次得到Polar码的译码输出序列.在译码过程中，若第i个比特是冻结比特，即i∈A^c时，则译码，否则当第i个比特是信息比特，即i∈A时，有

这样经过Polar码的SC译码后，中继节点R就获得了网络编码信息序列的估值，并对该估值序列进行与多址接入阶段码率相同的Polar编码，得到Polar网络编码，进而经调制器调制成发送符号序列x_R，由AWGN信道广播到信源节点A和B.

最后，信源节点A和B分别对接收到的广播信息y_A=x_R+n_A和y_B=x_R+n_B进行独立解调和解码，n_A和n_B是信源节点A和B在接收中继节点R广播消息时叠加的高斯信道噪声.以信源节点A为例，当A收到中继节点R广播的消息y_A=x_R+n_A后，软解调器将对y_A进行软解调，并将得到的Polar网络编码的初始比特LLR序列LLR_A送入SC译码器，在SC译码算法结束时，就可得到在信源节点A端网络编码的译码估值序列.最后通过与已知的信息序列u_A的异或运算，得到信源节点B的信息估值序列.在信源节点B端，重复同样的过程，可得信源节点A的信息估值序列u_B，完成了信源节点A和B之间的信息交换.

3 仿真分析

为了验证所提出的Polar码与物理层网络编码联合设计系统性能的有效性和可靠性，在系统接收完全同步和信号等功率发送的条件下，对采用二进制相移键控BPSK (binary phase shift keying)调制的系统，在AWGN信道传输时的BER性能进行了仿真.仿真中不同信道编码均采用相同的码率R=0.5.

当图 2中所有的调制器均为BPSK调制时，信源节点A和B端的BPSK映射规则为，因此，在多址接入阶段，中继节点R计算网络编码c_R=c_A⊕c_B每比特LLR的公式(1)就可进一步推导为

其中，y_i∈y_R.

在广播阶段，中继节点R处的BPSK映射规则为，因此信源节点A收到y_A=x_R+n_A，计算网络编码每比特LLR的计算式可简化为

(6)

其中，y_i∈y_A.信源节点B端网络编码每比特LLR的计算公式同式(6)一样，但y_i∈y_B.

3.1 不同网络编码联合系统性能对比

基于上述分析和推导，文中提出的联合Polar编码与网络编码的中继转发系统BER仿真曲线如图 3所示，其中Polar码的码长分别为N=2ⁿ, n=10, 11, 12.作为对比，相同系统参数下，采用Polar码的直接网络编码系统DS (direct system)的BER性能由曲线DS给出. DS方案与联合编码方案的区别在中继节点R处，对收到的2个信源节点的两路接收信号分别进行译码，得到对信源节点A和B的两路信息估值序列后，再对两路信息序列进行异或运算得到未进行信道编码的网络编码序列.

由图 3可知，对不同码长的联合Polar编码与网络编码的中继转发系统，随着Polar码码长的增加，系统BER曲线之间的差距越来越小，即在联合编码系统中，较小长度的Polar码就可以获得较好的BER性能.同时，与采用了Polar码的直接网络编码方案相比，所提方案在BER小于10^-2的高信噪比R_SN(signal to noise ratio)区域上有更大的下降速度.

由图 3还可以看到，在Polar码码长为2¹⁰时，DS方案在1.7 dB时可以实现10^－1的误比特率，而达到10^-1的误比特率，联合网络编码方案需要3 dB.可见，实现10^－1的误比特率，联合设计方案相比DS方案有1.3 dB的性能损失.而在达到10^－4的误比特率时，DS方案和联合编码方案分别需要3.3和4.4 dB，此时性能只下降约1.1 dB.这说明，随着R_SN的增加，联合编码方案和DS方案之间的信噪比损失也在缩小.

同时，由于DS方案应用到无线通信系统的物理层中时需要避开信源节点间信息的干扰叠加，故需2个时隙分别发送A和B的信息序列，此时完成A和B之间的信息交换需要3个时隙，而联合编码方案只需要2个时隙，因此，所提方案的信息交换速率比DS方案提高了50%.另外，由于联合编码方案在中继节点只需要1个译码器，相比DS方案可节省一半的设备成本，因此更适用于对时延要求短的无线通信系统中.

3.2 不同信道编码与网络编码联合设计系统性能比较

图 4比较了不同信道编码方式与网络编码联合设计系统的BER性能.仿真中，码长为1824的LDPC码，采用近似下三角矩阵高斯消去法获得其生成矩阵，在经置信传播BP (belief propagation)译码算法最大迭代20次后，得到的LDPC码与网络编码联合设计系统的BER如曲线LDPC所示^[15].曲线CC是码长为1024的(5, 7)卷积码CC (convolutional code)，在维特比译码算法VA (viterbi algorithm)下相应系统的BER曲线^[17].文中所提的Polar码与网络编码的联合设计系统在Polar码码长为1024时，经SC译码算法得到的系统BER曲线，则由曲线Polar表示.

由图 4可以看到，在BER大于10^-4的低信噪比区域，Polar码与网络编码联合设计系统的BER要高于采用CC码的联合设计系统BER，而在BER低于10^-4的高信噪比区域，Polar码与网络编码联合设计系统BER的下降速度远大于采用CC码的联合设计系统BER.这主要是因为，在高信噪比时，仿真中基于比特信道熵选出的Polar码信息比特位置更符合实际的信道质量状态，从而大大降低了信息传输的错误率.而采用Polar码与采用LDPC码的联合网络编码系统的BER曲线具有相似的下降速度，但采用LDPC码的系统在全信噪比区域上都比Polar码有约1 dB的信噪比增益.这主要是因为当前的Polar码译码采用的是SC逐比特译码算法，存在错误传递.如果对码长为1 024，码率为0.5的Polar码采用列表长度为L=8的列表连续消除SCL (successive cancelation list)译码算法，可比相同参数下的SC译码算法有0.5~0.7 dB的信噪比增益^[18]，这也使得联合Polar码与网络编码的中继转发系统BER与采用了LDPC码的联合系统BER间的差距缩小到0.3~0.5 dB，同时这种差距还会随着Polar码码长和SCL译码列表长度L的增加而进一步减小.同时，无论Polar码采用SC译码算法还是SCL译码算法，其算法的复杂度ο(Nlog N)和ο(LNlog N)都比LDPC码的BP多次迭代译码算法复杂度低.

4 结论

1) 联合Polar编码与网络编码的中继转发机制利用Polar码和异或网络编码的线性性质，直接估计出中继节点的网络编码信息序列，可比有线网络中采用的直接网络编码设计方案节省一半的中继节点硬件设备复杂度和信源节点间的信息交换时间.

2) 与采用LDPC码和CC码的PNC联合设计系统相比，所提方案可在一定条件下获得更好或相近的BER性能的同时，大大降低了系统编译码算法的复杂度和硬件设备复杂度.

3) 由于Polar码基于信道极化理论，具有在大数据块传输时的低误比特率性能，因此采用高阶调制时，可使该机制在保证系统高可靠性和低复杂度的同时，又为高速率的数据传输提供了一种解决途径，在未来的无线通信系统中具有广阔的应用前景.