2016, Vol. 48
西安科技大学 建筑与土木工程学院，西安 710054
School of Architecture and Civil Engineering,Xi’an University of Science and Technology,Xi’an 710054,China
多塔悬索桥以其强大的跨越能力成为跨越宽阔水域的理想桥型，但目前为止，世界上已建成的多塔悬索桥屈指可数. 制约多塔悬索桥发展的主要因素是“中塔效应”. 多塔悬索桥的中塔需具有一定的抗推刚度来抵抗活载引起的主缆水平力增量，减小加劲梁的下挠，但若中塔刚度过大则会造成活载作用下塔顶两侧主缆内力相差较大，从而导致主缆滑动，因此多塔悬索桥在活载作用下的主缆抗滑安全系数是多塔悬索桥设计的关键指标之一[1]. 目前针对多塔悬索桥主缆抗滑特性的研究主要分为两类：一类是研究主缆与鞍座间的摩擦系数. 文献[2-3]针对主缆与鞍座间摩擦特性的试验模型设计、测试方法、测点布置以及主缆与鞍座间滑移时刻的判别依据等关键问题进行了研究，并研究了主缆与鞍座间摩擦力的组成机理；文献[4-5]测定了主缆与鞍座间的摩擦系数；文献[6]研究了碳纤维增强塑料主缆在鞍座处的摩擦学性能，对主缆与鞍座间的摩擦接触特征进行了理论分析和静力试验. 文献[7-8]研究了提高主缆抗滑安全系数的方法. 另一类是研究各主要构件以及设计荷载等参数对主缆抗滑特性的影响. 文献[9]研究了悬索桥主鞍座的几何位移特征及与总体布置的关系；文献[10]研究了多塔悬索桥主缆滑动失稳的临界跨径. 由上可见，针对多塔悬索桥主缆抗滑特性的研究已取得了一定成果，然而对于多塔悬索桥主缆抗滑的简化计算方法研究尚不多见. 由于多塔悬索桥的力学行为较为复杂，目前多塔悬索桥的设计及分析主要依赖于数值方法. 多塔悬索桥的设计参数较多，初步设计阶段采用数值模拟来优化设计参数需要进行大量计算，降低了工作效率，通过解析方法对结构进行简化计算，既可以使设计者更好地了解其力学特性又可以提高工作效率. 因此，研究多塔悬索桥的简化计算方法十分必要[11-12]. 本文在已有研究成果基础上，提出三塔悬索桥主缆抗滑安全系数解析计算方法，推导主缆抗滑安全系数解析公式；建立有限元模型验证本文解析公式的有效性；分析主要设计参数对多跨悬索桥主缆抗滑稳定性的影响.
1 理论分析采用如下假定进行分析：1)恒载沿跨长为均布荷载，主缆线形为抛物线[13-15]；2)由于边跨主缆对边塔的纵向约束作用较大，边塔塔顶位移较小，假定边塔塔顶位移为0；3)采用全漂浮体系，塔梁之间未设置纵向约束；4)主缆等效弹簧刚度与垂跨比、恒载有关[16]，由于活载引起的主缆线形改变较小，假定主缆纵向约束刚度为定值.
1.1 主缆抗滑安全系数鞍槽内主缆抗滑安全系数计算图式,如图 1所示，相应的计算公式为[7]
|
图 1 主缆抗滑安全系数计算图式 Figure 1 Schematic for calculating sliding-resistance safety coefficient of main cable |
| $K=\frac{\mu {{a}_{s}}}{ln({{F}_{\text{ct}}}/{{F}_{\text{cl}}})}.$ | (1) |
式中: μ为主缆与槽底或隔板间的摩擦系数，一般取μ=0.15或经试验测定；αs为主缆与鞍槽的包角,αs=θcl+θct，其中θcl、θct分别为塔顶处两侧主缆与水平线的夹角；Fct为塔顶处加载跨主缆拉力，Hct为塔顶处加载跨主缆水平力，Fct=Hct/cosθct；Fcl为塔顶处非加载跨主缆拉力，Fcl=Hcl/cos θcl，其中Hcl为塔顶处非加载跨主缆水平力. 由此可见，主缆抗滑安全系数K可以通过求解Hcl、Hct以及θcl、θct得到. 下标cl、ct分别表示非加载跨、加载跨.
三塔悬索桥主缆抗滑最不利加载工况为单跨满布、跨中加力[17](见图 2). 基于假定2)，边塔塔顶视为固定端. 单跨满布均布力p、跨中施加集中力Q后，中塔塔顶产生纵向位移δL，加载跨与非加载跨的主缆垂度改变分别为δfct、δfcl.
|
图 2 三塔悬索桥变形简化示意 Figure 2 Deformation of three-tower suspension bridge |
恒载作用下，各跨主缆水平力H0为
| ${{H}_{0}}=\frac{w{{L}^{2}}}{8f}.$ | (2) |
式中:L为跨径，f为主缆垂度，w为恒载集度.
均布力p和集中力Q作用后，非加载跨主缆线形发生改变，主缆水平力Hcl为
| ${{H}_{\text{cl}}}=\frac{w{{\left( L+\delta L \right)}^{2}}}{8\left( f\delta {{f}_{\text{cl}}} \right)}.~$ | (3) |
非加载跨主缆水平力增量δHcl为
| $\delta {{H}_{\text{cl}}}={{H}_{\text{cl}}}{{H}_{{}}}0.$ | (4) |
将式(2)、(3)代入式(4)，得
| $\delta {{H}_{\text{cl}}}=\frac{w{{\left( L+\delta L \right)}^{2}}}{8\left( f\delta {{f}_{\text{cl}}} \right)}\frac{w{{L}^{2}}}{8f}.$ | (5) |
中塔受到的不平衡水平力Ht为
| ${{H}_{\text{t}}}={{K}_{\text{t}}}\delta L.$ | (6) |
式中Kt为桥塔纵向抗推刚度. 根据纵向受力平衡，加载跨水平力增量δHct等于非加载跨水平力增量与桥塔所受不平衡水平力之和，即
| $\delta {{H}_{\text{ct}}}=\delta {{H}_{\text{cl}}}+{{H}_{\text{t}}}.\text{ }$ | (7) |
将式(5)、(6)代入式(7)，得
| $\delta {{H}_{\text{ct}}}=\frac{w{{\left( L+\delta L \right)}^{2}}}{8\left( f\delta {{f}_{\text{cl}}} \right)}\frac{w{{L}^{2}}}{8f}+{{K}_{\text{t}}}\delta L.$ | (8) |
均布力p和集中力Q作用后加载跨主缆水平力Hct为
| ${{H}_{\text{ct}}}={{H}_{0}}+\delta {{H}_{\text{ct}}}.$ | (9) |
将式(2)、(8)代入式(9)，得到加载跨主缆水平力Hct为
| ${{H}_{\text{ct}}}=\frac{w{{\left( L+\delta L \right)}^{2}}}{8\left( f\delta {{f}_{\text{cl}}} \right)}+{{K}_{\text{t}}}\delta L.\text{ }$ | (10) |
中塔塔顶两侧主缆拉力的竖向分力Vcl、Vct分别为
| ${{V}_{\text{cl}}}=\frac{wL}{2},$ | (11) |
| ${{V}_{\text{ct}}}=\frac{w+pL+Q}{2}.\text{ }$ | (12) |
因为
| ${{\theta }_{\text{cl}}}=\arctan \left( {{V}_{\text{cl}}}/{{H}_{\text{cl}}} \right)$ | (13) |
| ${{\theta }_{\text{ct}}}=\arctan \left( {{V}_{\text{ct}}}/{{H}_{\text{ct}}} \right).$ | (14) |
将式(3)、(11)代入式(13)，式(10)、(12)代入式(14)，即可求得θcl、θct表达式.
由Fcl=Hcl/cos θcl，Fct=Hct/cos θct，得
| $\frac{{{F}_{\text{ct}}}}{{{F}_{\text{cl}}}}=\frac{{{H}_{\text{ct}}}\cos ~{{\theta }_{\text{cl}}}}{{{H}_{\text{cl}}}\cos ~{{\theta }_{\text{ct}}}}.$ | (15) |
将式(3)、(10)代入式(15)，得
| $\frac{{{F}_{\text{ct}}}}{{{F}_{\text{cl}}}}=\frac{\cos ~{{\theta }_{\text{cl}}}}{\cos ~{{\theta }_{\text{ct}}}}+\frac{8{{K}_{\text{t}}}\delta L\left( f\delta {{f}_{\text{cl}}} \right)\cos ~{{\theta }_{\text{cl}}}}{w{{\left( L+\delta L \right)}^{2}}\cos ~{{\theta }_{\text{c}}}}.\text{ }$ | (16) |
将αs=θcl+θct以及式(16)代入式(1)，得到主缆抗滑安全系数K表达式，即
| $K=\frac{\mu \left( {{\theta }_{\text{cl}}}+{{\theta }_{\text{ct}}} \right)}{\ln \left[ \frac{\cos ~{{\theta }_{\text{cl}}}}{\cos ~{{\theta }_{\text{ct}}}}+\frac{8{{K}_{\text{t}}}\delta L\left( f\delta {{f}_{\text{cl}}} \right)\cos ~{{\theta }_{\text{cl}}}}{w{{\left( L+\delta L \right)}^{2}}\cos ~{{\theta }_{\text{ct}}}} \right]}.$ | (17) |
由式(17)可以看出，δL、δfcl为未知量，求解主缆抗滑安全系数需求出δL、δfcl.下面求解活载作用下的塔顶位移δL以及非加载跨主缆垂度改变δfcl.
1.1.1 均布力作用下塔、缆变形令均布力p引起的中塔塔顶位移为δLp，加载跨主缆与非加载跨主缆垂度改变分别为δfct,p、δfcl,p，下标p表示均布力p引起的主缆缆力或位移，下标Q表示集中力Q引起的主缆缆力或位移. 由此得到均布力p引起的加载跨主缆水平力增量δHct,p为
| $\delta {{H}_{\text{ct},p}}=\frac{\left( w+p \right){{(L\delta {{L}_{p}})}^{2}}}{8(f+\delta {{f}_{\text{ct},p}})}\frac{w{{L}^{2}}}{8f}.\text{ }$ | (18) |
根据加载跨与非加载跨主缆水平力平衡，δHct,p又可以表示为
| $\delta {{H}_{\text{ct},p}}=\left( {{K}_{\text{t}}}+{{K}_{\text{c}}} \right)\delta {{L}_{p}}.$ | (19) |
式中：Kc为主缆等效弹簧刚度[16]；n为主缆垂跨比；Kt为桥塔纵向抗推刚度.
由式(18)、(19)，得
| $\frac{\left( w+p \right){{(L\delta {{L}_{p}})}^{2}}}{8(f+\delta {{f}_{\text{ct},p}})}\frac{w{{L}^{2}}}{8f}=\left( {{K}_{\text{t}}}+{{K}_{\text{c}}} \right)\delta {{L}_{p}}.$ | (20) |
式(20)中加载跨主缆垂度改变δfct,p由两部分构成：一部分是由塔顶位移δLp引起的主缆垂度改变δft,p；另一部分是由均布力p导致主缆伸长引起的垂度改变δfe,p，故δfct,p可表示为
| $\delta {{f}_{\text{ct},p}}=\delta {{f}_{t,p}}+\delta {{f}_{\text{e},p}}$ | (21) |
根据塔顶位移与主缆垂度改变的关系[18]，得
| $\delta {{f}_{\text{t},p}}=\frac{38{{n}^{2}}}{16n}\delta {{L}_{p}}.\text{ }$ | (22) |
基于假定1)，选取如图 2所示坐标系，主缆线形可表示为
| $y=\frac{4f}{{{L}^{2}}}x\left( Lx \right).\text{ }$ | (23) |
均布力p作用后，加载跨主缆水平力增加引起的主缆弹性伸长δSct,p为
| $\delta {{S}_{\text{ct},p}}=\frac{\delta {{H}_{\text{ct},p}}{{\int }^{L}}_{0}(1+{{y}^{\prime }}^{2})dx}{{{E}_{\text{c}}}{{A}_{\text{c}}}}=\frac{\delta {{H}_{ct,p}}L\left( 1+\frac{16}{3}{{n}^{2}} \right)}{{{E}_{\text{c}}}{{A}_{\text{c}}}}.\text{ }$ | (24) |
式中Ec、Ac分别为主缆弹性模量及主缆截面积.
将式(19)代入式(24)，得
| $\delta {{S}_{\text{ct},p}}=\frac{{{K}_{\text{c}}}+{{K}_{\text{t}}}L}{{{E}_{\text{c}}}{{A}_{\text{c}}}}\left( 1+\frac{16}{3}{{n}^{2}} \right)\delta {{L}_{p}}.$ | (25) |
主缆弹性伸长引起的主缆垂度改变δfe,p为[18]
| $\delta {{f}_{\text{e},p}}=\frac{3}{16}\frac{L}{f}\delta {{S}_{\text{ct},p}}.$ | (26) |
将式(25)代入式(26)，得
| $\delta {{f}_{\text{e},p}}=\frac{3}{16}\frac{{{L}^{2}}}{f}\frac{\left( {{K}_{\text{c}}}+{{K}_{\text{t}}} \right)}{{{E}_{\text{c}}}{{A}_{\text{c}}}}(1+\frac{16}{3}{{n}^{2}})\delta {{L}_{p}}.$ | (27) |
将式(22)、(27)代入式(21)，得
| $\delta {{f}_{\text{ct},p}}={{\alpha }_{\text{ct},p}}\delta {{L}_{p}}.$ | (28) |
${{\alpha }_{\text{ct},p}}=\frac{38{{n}^{2}}}{16n}+\frac{wL{{\left( 3+16n \right)}^{2}}}{16n{{E}_{\text{c}}}{{A}_{\text{c}}}}\left( 1+\frac{{{K}_{\text{t}}}}{{{K}_{\text{c}}}} \right)\left( \frac{3+32{{n}^{2}}}{128{{n}^{3}}} \right).$
将式(28)代入式(20)，得
| $A{{(\delta L)}^{2}}_{p}+B\delta {{L}_{p}}+C=0.$ | (29) |
$\begin{align} & A=w\left[ \left( 1+\frac{p}{w} \right)\frac{8{{\alpha }_{\text{ct},p}}{{\left( 3+32n \right)}^{2}}}{128{{n}^{3}}}\left( 1+\frac{{{K}_{\text{t}}}}{{{K}_{\text{c}}}} \right) \right] \\ & B=wL\left[ 2\left( 1+\frac{p}{w} \right)+\frac{8n{{\left( 3+32n \right)}^{2}}}{128{{n}^{3}}}\left( 1+\frac{{{K}_{\text{t}}}}{{{K}_{\text{c}}}} \right)+\frac{{{\alpha }_{\text{ct},p}}}{n} \right] \\ & C=p{{L}^{2}}. \\ \end{align}$
式(29)是关于δLp的一元二次方程，求解式(29)并舍去负值得δLp表达式为
| $\delta {{L}_{p}}=\frac{B\sqrt{{{B}^{2}}4AC}}{2A}.$ | (30) |
非加载跨主缆垂度改变δfcl,p主要是由塔顶位移引起，根据塔顶位移与主缆垂度改变关系[18]，得
| $\begin{align} & \delta {{f}_{\text{cl},p}}=\frac{{{\left( 38n \right)}^{2}}\delta {{L}_{p}}}{16n}= \\ & \frac{{{\left( 38n \right)}^{2}}\left( B\sqrt{{{B}^{2}}4AC} \right)}{32An}. \\ \end{align}$ | (31) |
令集中力Q引起的中塔塔顶位移为δLQ，加载跨与非加载跨的主缆垂度改变分别为δfct,Q、δfcl,Q. 若不考虑集中力Q引起的塔顶位移，加载跨主缆水平力增量δHQ为[15]
| $\delta {{H}_{Q}}=\frac{6\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\left( 1+\frac{Q}{wL} \right)\frac{Q}{wL}}{1+3\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{Q}{qL}}\frac{w{{L}^{2}}}{8f}=\frac{3QL\left( wL+Q \right)}{4f\left( 4wL+3Q \right)}.$ | (32) |
实际上，塔顶位移δLQ使加载跨主缆水平力增量减小. 考虑塔顶位移后，δHQ可近似表示为
| $\delta {{H}_{Q}}=\frac{3QL\left( wL+Q \right)}{4f\left( 4wL+3Q \right)}{{K}_{\text{c}}}\delta {{L}_{Q}}$ | (33) |
根据加载跨与非加载跨主缆水平力平衡，δHQ又可以表示为
| $\delta {{H}_{Q}}=\left( {{K}_{\text{c}}}+{{K}_{\text{t}}} \right)\delta {{L}_{Q}}.$ | (34) |
由式(33)、(34)可得塔顶位移δLQ表达式，即
| $\delta {{L}_{Q}}=\frac{3QL\left( L+\frac{Q}{w} \right)}{4f{{K}_{\text{c}}}\left( 4L+\frac{3Q}{w} \right)\left( 2+\frac{{{K}_{\text{t}}}}{{{K}_{\text{c}}}} \right)}.\text{ }$ | (35) |
非加载跨主缆垂度改变δfcl,Q主要由塔顶位移引起，根据塔顶位移与主缆垂度改变关系，得
| $\delta {{f}_{\text{cl},Q}}=\frac{38{{n}^{2}}}{16n}\delta {{L}_{Q}}=\frac{3Q{{L}^{2}}\left( L+\frac{Q}{w} \right)\left( 38{{n}^{2}} \right)}{64f{{K}_{\text{c}}}\left( 4L+\frac{3Q}{w} \right)\left( 2+\frac{{{K}_{\text{t}}}}{{{K}_{\text{c}}}} \right)}.\text{ }$ | (36) |
均布力与集中力引起的塔顶位移为
| $\delta L=\delta {{L}_{p}}+\delta {{L}_{Q}}.\text{ }$ | (37) |
式中δLp与δLQ分别由式(32)、(37)求得.
均布力与集中力引起的非加载跨主缆垂度改变为
| $\delta {{f}_{\text{cl}}}=\delta {{f}_{\text{cl},p}}+\delta {{f}_{\text{cl},Q}}.$ | (38) |
式中δfcl,p、δfcl,Q分别由式(31)、(36)求得.
将式(37)、(38)代入式(19)即可求得主缆抗滑安全系数K, 计算流程如图 3所示.
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图 3 计算流程 Figure 3 Calculation flow |
为了验证本文公式有效性，拟定三塔四跨悬索桥和三塔两跨悬索桥(见图 4)，采用全漂浮体系，主跨跨径均为1 000 m，边跨跨径为300 m，桥塔高度为170 m，主缆垂跨比取1/12~1/8，模型其他主要参数见表 1. 采用有限元分析软件Midas/Civil建立空间有限元模型，其中，主缆线形通过软件找形获得. 主缆采用索单元模拟，吊杆采用桁架单元模拟，桥塔及加劲梁采用梁单元模拟. 加载工况如图 4所示，参照公路桥涵设计通用规范[19]规定，单个车道均布荷载取10.5 kN·m-1，集中荷载为360 kN，按8车道加载，考虑多车道横向折减，采用解析公式和有限元法分别计算主缆抗滑安全系数K.
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图 4 三塔悬索桥立面示意 Figure 4 Three-tower suspension bridge |
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表 1 主要构件参数 Table 1 Structural properties |
桥面恒载集度取230 kN/m，按照恒载作用下跨中主缆应力为620 MPa原则确定主缆面积Ac. 求得桥塔纵向抗推刚度为10 526 kN·m-1，计算主缆等效弹簧刚度Kc，结果见表 2. 主缆与鞍座间摩擦系数μ取0.2，根据图 3流程计算主缆抗滑安全系数K.
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表 2 主缆等效弹簧刚度 Table 2 Cable equivalent spring stiffness |
根据有限元计算获得活载作用下中塔塔顶处两侧主缆内力以及中塔塔顶位移，从而求得主缆与鞍座的包角αs，并将αs以及鞍座两侧主缆内力代入式(1)求得主缆抗滑安全系数K，作为有限元计算结果. 理论值与有限元值如图 5所示.
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图 5 主缆抗滑安全系数 Figure 5 Sliding-resistance safety coefficient of main cable |
由图 5可以看出，主缆抗滑安全系数的理论值与有限元值误差较小. 误差主要来自边塔塔顶的0位移假定. 虽然边跨主缆约束作用较强，但边塔仍会发生微小位移，三塔四跨悬索桥的边跨主缆约束作用小于三塔两跨悬索桥边跨主缆的纵向约束作用，故三塔四跨悬索桥的计算误差比三塔两跨悬索桥的计算误差大.
2 影响因素及分析由解析公式可以看出，三塔悬索桥的主缆抗滑安全系数主要与跨径、垂跨比、恒活载比值、塔缆刚度比等参数有关，下面采用图 4三塔悬索桥研究各参数对主缆抗滑安全系数的影响.
2.1 塔缆刚度比、垂跨比垂跨比取1/12~1/8，改变桥塔刚度改变塔缆刚度比，其余参数保持不变，计算结果如图 6所示.
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图 6 主缆抗滑安全系数与塔缆刚度比的关系 Figure 6 Influence of the ratio of tower stiffness to sliding-resistance safety coefficient of main cable |
由图 6可以看出: 1)主缆抗滑安全系数随着塔缆刚度比增大而减小，塔缆刚度比较小(Kt/Kc＜3)时，随着Kt/Kc增大，主缆抗滑安全系数迅速减小；塔缆刚度比较大(Kt/Kc≥3)时，主缆抗滑安全系数对塔缆刚度比的敏感度下降. 2)桥塔刚度较小时，垂跨比越大，主缆抗滑安全系数越小；桥塔刚度较大时，随着垂跨比的增大，主缆抗滑安全系数增大.
2.2 恒活载比值改变恒载会导致主缆纵向约束刚度改变，从而导致塔缆刚度比改变，为了消除塔缆刚度比影响，保持恒载不变. 引入活载系数a，令图 4中活载p、Q同时乘以活载系数a，活载系数a分别取0.4~2，计算结果如图 7所示. 可以看出，主缆抗滑安全系数随着活载系数a增大(恒活载比值减小)而减小. 活载较小时，主缆抗滑安全系数随着活载增长下降较快；继续增大活载，主缆抗滑安全系数的下降曲线趋于平缓. 也就是说，活载越小，活载变化对主缆抗滑安全系数影响越明显.
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图 7 主缆抗滑安全系数与恒活载比的关系 Figure 7 Influence of the ratio of dead load and live load to sliding resistance safety coefficient of main cable |
取L=0.5~5 km，其余参数保持不变，主缆抗滑安全系数计算结果如图 8所示. 可以看出，主缆抗滑安全系数随着跨径增大而增大，当跨径增大到一定程度后(约3 km)，主缆抗滑安全系数随着跨径增大迅速增大，这主要是因为随着跨径增大，恒活载比值不断增大.
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图 8 主缆抗滑安全系数与跨径的关系 Figure 8 Influence of span length |
1) 提出了三塔悬索桥主缆抗滑安全系数的解析计算方法，推导了中塔处主缆抗滑安全系数解析公式，通过与有限元计算结果对比发现，该公式可用于三塔悬索桥的初步设计.
2) 主缆抗滑安全系数主要与跨径、垂跨比、恒活载比值、塔缆刚度比等参数有关. 主缆抗滑安全系数随着塔缆刚度比增大而减小，塔缆刚度比较小(Kt/Kc＜3)时，主缆抗滑安全系数对塔缆刚度比值敏感；塔缆刚度比较大(Kt/Kc≥3)时，塔缆刚度比对主缆抗滑安全系数影响较小. 桥塔刚度较小时，垂跨比越大，主缆抗滑安全系数越小；桥塔刚度较大时，随着垂跨比的增大，主缆抗滑安全系数增大.
3) 主缆抗滑安全系数随着恒活载比值增大不断增大. 活载越小，活载变化对抗滑安全系数影响越明显；随着活载不断增大，抗滑系数的下降曲线趋于平缓. 主缆抗滑安全系数随着跨径增大逐渐增大，当跨径增大到一定程度后(约3 000 m)，主缆抗滑安全系数随着跨径增大迅速增大.
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