楔体破坏是岩质边坡最常见的破坏形式之一，它主要受控于岩体内部大量发育的不连续结构面^[1-2].传统的楔体稳定性评价方法主要有均值安全系数法、数值分析法等，如极限平衡法^[1-2]、Low和Einstein法^[4]、有限元法^[5]、离散元法^[6]，但是此类方法在楔体稳定性分析过程中，块体中的各参数均被看作确定值，忽略了边坡岩土体参数如重度、内摩擦角、黏聚力等指标的多种不确定性，如模糊性、随机性、灰性、未确知性^[7-8]等，将不确定性问题作为确定性问题考虑，然而，确定性定值分析方法难以反映影响楔体稳定性的各种因素的随机特性，不能全面表征楔体的实际安全状态.

目前，针对边坡岩土体参数的模糊性、随机性、灰性、未确知性，可以分别采用模糊数学、数理统计、灰色数学和未确知数学来分析处理^[7]，对于考虑岩土体参数不确定性的楔体稳定性研究已取得一些研究成果，但都只是考虑了一种或者两种不确定性.如赵奎等^[9]提出了块体稳定性的模糊随机可靠度分析方法，建立了块体稳定性的模糊概率测度计算公式；孙树林等^[10]将随机概率模型引入到块体理论中，考虑楔体在几何参数和力学参数的随机分布下的破坏概率；孙立川等^[11]研究了可靠度理论在岩质边坡楔体破坏反分析中的应用；王宇等^[12]考虑了岩土体参数的随机性与模糊性，并提出了楔形体随机可靠分析改进的模糊点估计法.

盲数理论可以同时考虑参数的多种不确定性，基于此，本文将盲数理论和Fisher最优分割方法和运用于楔体稳定性分析之中，综合考虑楔体稳定性评价过程中岩土体参数的多种不确定性，建立了基于Fisher最优分割的不确定性楔体稳定性盲数评价模型，在此基础上，通过数值算例，并与传统方法以及相对精确的蒙特卡洛抽样方法(MCS)相对比，验证该模型的可靠性和高效性.

1 楔体稳定性盲数评价模型

盲数是未确知数学中用于表达和处理同时具有两种或者两种以上不确定性信息的数学工具^{[8, 13-14]}，通过盲数理论在处理不确定性问题时，在确定各盲数的概率分布密度函数时，需要人为的对有序排列的可能值序列进行聚类分割，具有很强的主观性.Fisher最优分割法^[15-16]是一种对有序样本进行分割的方法，目标是让样本总体的离差平方和最小，原则上是让各类间的差异最大，各类内部的差异最小，可以在很大的程度上解决人为因素对可能值序列分组的问题.

1.1 模型构建

采用均值安全系数或数值方法评价楔体稳定性时，参与计算的参数均为定值，忽略了计算公式中的各参数受地质条件、测量误差和施工人员素质等诸多因素影响的不确定性.为了克服传统确定性模型的缺陷，将盲数理论与Fisher最优分割法引入到楔体稳定性评价之中，构建基于Fisher最优分割法的不确定性楔体稳定性盲数评价模型，并进行楔体失稳概率分析.楔体评价模型构建的步骤见图 1.

1.2 楔体稳定性评价数学计算模型

楔体是由两组结构面和临空面切割而成.如图 2所示，该楔体由结构面A和B、坡顶面、坡面组成^[17]，其中，H为边坡高度，h为楔体高度，楔体上的作用力主要包括：楔体重力W，结构面A上的法向应力N₁以及水压力U₁，摩擦力F₁，结构面B上的法向应力N₂以及水压力U₂，摩擦力F₂.楔体常见的破坏形式有4种^[17-18]：单面破坏(A面与B面)、双面破坏、漂浮破坏，其中漂浮破坏常出现在高孔隙水压力或高地应力地区.本文着重对单面破坏模式和双面破坏模式进行讨论.

1) 当楔体仅沿结构面A或者结构面B滑动时，其破坏模式为单面破坏，楔体的稳定性安全系数为

${F_{\rm{s}}} = \frac{{cA + N{\rm{tan}}\varphi }}{T},$

(1)

式中：c、A、φ分别为结构面的黏聚力、面积和内摩擦角，F_s为楔体的稳定性安全系数，$N = \left| {\overrightarrow R \cdot \overrightarrow n } \right|,T = \left| {\overrightarrow R \times \overrightarrow n } \right|,\overrightarrow R $为包含重力在内的合外力，${\overrightarrow n }$ 为结构面的法线方向.

2) 当楔体滑动的过程中与两结构面均保持接触时，其破坏模式为双面破坏，楔体的稳定性安全系数为

${F_{\rm{s}}} = \frac{{{c_1}{A_1} + {c_2}{A_2} + {N_1}{\rm{tan}}{\varphi _1} + {N_2}{\rm{tan}}{\varphi _2}}}{S},$

(2)

$S = \left| {\overrightarrow R \cdot (\overrightarrow {{n_1}} \times \overrightarrow {{n_2}} )} \right|/\left| {(\overrightarrow {{n_1}} \times \overrightarrow {{n_2}} )} \right|.$

(3)

式中：c₁、c₂分别是结构面A与结构面B的黏聚力，A₁、A₂分别是结构面A与结构面B的面积，φ₁、φ₂分别是结构面A与结构面B的内摩擦角.

1.3 楔体稳定性盲数评价模型

考虑边坡岩土体黏聚力c，内摩擦角φ均具有不确定性，故将这些参数用盲数进行表达，分别设为${\tilde c}$, ${\tilde \varphi }$，并通过Fisher最优分割法得到各盲数的概率密度函数，它们可以用盲数分别表示为

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\tilde c = \{ [{c_{{\rm{min}}}},{c_{{\rm{max}}}}],{f_1}\left( c \right)\} ,}\\ {\tilde \varphi = \{ [{\varphi _{{\rm{min}}}},{\varphi _{{\rm{max}}}}],{f_2}\left( \varphi \right)\} .} \end{array}} \right.$

(4)

式中：c_min、c_max分别为黏聚力c的下限和上限，f₁(c)为c的盲数，φ_min、φ_max分别为φ的下限和上限，f₂(φ)为φ的盲数.

1) 楔体单面破坏盲数计算模型为

${F_{\rm{s}}} = \frac{{\{ [{c_{{\rm{min}}}},{c_{{\rm{max}}}}],{f_1}\left( c \right)\} A + N{\rm{tan}}\{ [{\varphi _{{\rm{min}}}},{\varphi _{{\rm{max}}}}],{f_2}\left( \varphi \right)\} }}{T}.$

(5)

2) 楔体双面破坏盲数计算模型为

$\begin{array}{l} {F_{\rm{s}}} = (\{ [{c_{1{\rm{min}}}},{c_{1{\rm{max}}}}],{f_{11}}({c_1})\} {A_1} + \{ [{c_{2{\rm{min}}}},{c_{2{\rm{max}}}}],\\ \quad \quad {f_{12}}({c_2})\} {A_2} + {N_1}{\rm{tan}}\{ [{\varphi _{1{\rm{min}}}},{\varphi _{1{\rm{max}}}}],{f_{21}}({\varphi _1})\} + \\ \quad \quad {N_2}{\rm{tan}}\{ [{\varphi _{2{\rm{min}}}},{\varphi _{2{\rm{max}}}}],{f_{22}}({\varphi _2})\} )/S. \end{array}$

(6)

式中：f₁₁(c₁)与f₁₂(c₂)分别是结构面A与结构面B的c的盲数，f₂₁(φ₁)与f₂₂(φ₂)分别是结构面A与结构面B的φ的盲数.

2 算法验证

为了验证本文方法的合理性以及有效性，选取了一个经典的岩质边坡楔体进行稳定性概率分析，该楔体首先为Hoek和Bray^[18-19]所采用，通过对比本文模型计算结果与蒙特卡洛方法(MCS)、传统的均值安全系数方法，以及swedge数值分析的结果，来验证该方法的可靠性.

2.1 典型楔体

楔体由结构面1与结构面2以及临空面切割而成，结构面及临空面描述见表 1，赤平投影见图 3.由于在天然状态下，结构面强度指标多数情况是服从正态分布的，所以利用计算机模拟了100组正态分布的结构面强度指标，即黏聚力c及内摩擦角φ.对岩土体c、φ数据进行统计分析，其统计特征值见表 2.图 4为两组节理面的黏聚力c以及内摩擦角φ分布直方图及其频数曲线，c₁、c₂、φ₁、φ₂均服从正态分布.

2.2 基于Fisher最优分割的楔体盲数评价模型的构建

1) 按照上文提到的模型构建方法构建楔体稳定性盲数评价模型，首先是判断其失稳类型，$\overrightarrow {{s_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} \le 0,\overrightarrow {{s_2}} \cdot \overrightarrow {{n_1}} \le 0$，其中，$\overrightarrow {{s_1}} = \left( {\overrightarrow {{n_1}} \times R} \right) \times \overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{s_2}} = \left( {\overrightarrow {{n_2}} \times R} \right) \times \overrightarrow {{n_2}} $故楔体可能的破坏模式为双面破坏，此时，该楔体的安全系数可表示为

${F_{\rm{s}}} = \frac{{{c_1}{A_1} + {c_2}{A_2} + {N_1}{\rm{tan}}{\varphi _1} + {N_2}{\rm{tan}}{\varphi _2}}}{S}.$

(7)

2) 运用盲数理论将表 2中的岩土体参数值定义为盲数，即为${{\tilde c}_1}$={[13.7, 32.1], f₁₁(c₁)}，${{\tilde c}_2}$={[38.9, 58.9], f₁₂(c₂)}， ${{\tilde \varphi }_1}$ ={[9.4, 31.2], f₂₁(φ₁)}， ${{\tilde \varphi }_1}$ ={[19.7, 40.9], f₂₂(φ₂)}，其中各盲数的概率函数f₁₁(c₁)、f₁₂(c₂)、f₂₁(φ₁)、f₂₂(φ₂)的确定是解决实际问题的关键.本文将Fisher最优分割法引入到岩土体参数的分组中，并计算其概率分布.

3) 基于数学模型的盲数模型的建立，将强度参数的盲数表达式代入到式(7)中，即可得到该楔体的稳定性盲数评价模型，通过盲数运算法则和区间数运算法则得到该楔体的安全系数概率分布.得到的安全系数频率分布见图 5.

2.3 对比分析

同时，对此楔体进行了另外3种传统方法的对比验算，其分别为均值安全系数法、swedge数值方法、蒙特卡洛抽样法.如图 6所示，为蒙特卡洛抽样方法进行10⁷次抽样的结果，在此基础上，得到了盲数楔体评价模型、蒙特卡洛抽样方法累计频率分布图，如图 7所示.

如表 3所示，对比几种方法可以发现，均值安全系数法和swedge模拟均只能给出一个固定的安全系数，准确度较低，基于Fisher最优分割法和盲数理论的楔体稳定性分析方法安全系数累计频率与公认比较准确的蒙特卡洛抽样方法几乎重合，同时，计算简单、快捷，验证了本文方法的可靠性与有效性.

3 工程应用

研究楔体位于辽宁省兴城市，是一个废弃的采石场边坡，岩性主要为长城系大红裕组厚层石英砂岩，测量得楔体高45 m.由于该楔体为吉林大学等一大批高校的工程地质实习野外观测点，一旦发生楔体失稳，必然会造成无法挽回的损失.

2015年3月，在楔体现场进行了详细的工程地质调查并通过风钻、人工凿挖取样，结构面数据见表 4，通过蜡封法测定了岩石的密度，采用XJ-1型便携式剪切仪，系统地开展了室内的结构面直剪试验，测定的岩土体参数见表 5.由于岩土体参数的固有不确定性和试验数据样本有限引起的统计不确定性导致岩土体参数同时具有多种不确定性，对岩土体参数进行统计分析，通过KS检验，参数c₁、c₂、φ₁、φ₂均满足正态分布，其统计特征值见表 6.

依据试验情况以及Fisher最优分割法对结构面的强度参数进行盲数表达为：

${{{\tilde{c}}}_{1}}=\left\{ \left[ 14,62 \right],{{f}_{11}}\left( {{c}_{1}} \right) \right\},{{{\tilde{c}}}_{2}}=\left\{ \left[ 25,88 \right],{{f}_{12}}\left( {{c}_{2}} \right) \right\},$

${{{\tilde{\varphi }}}_{1}}=\left\{ \left[ 16.2,31.2 \right],{{f}_{21}}\left( {{\varphi }_{1}} \right) \right\},{{{\tilde{\varphi }}}_{2}}=\left\{ \left[ 26.6,34.1 \right],{{f}_{22}}({{\varphi }_{2}}) \right\}.$

其中：

${f_{11}}({c_1}) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.23} & {\left( {x \in \left[ {14 \sim 19} \right]} \right)}\\ {0.54} & {\left( {x \in \left[ {31 \sim 53} \right]} \right)}\\ {0.23} & {\left( {x \in \left[ {61 \sim 62} \right]} \right)}\\ 0 & {(x \in {\rm{others}})} \end{array}} \right.$

${f_{12}}({c_2}) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.15} & {\left( {x \in \left[ {25 \sim 29} \right]} \right)}\\ {0.70} & {\left( {x \in \left[ {42 \sim 75} \right]} \right)}\\ {0.15} & {\left( {x \in \left[ {85 \sim 88} \right]} \right)}\\ 0 & {(x \in {\rm{others}})} \end{array}} \right.$

${f_{21}}({\varphi _1}) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.15} & {\left( {x \in \left[ {16.2 \sim 18.2} \right]} \right)}\\ {0.70} & {\left( {x \in \left[ {23.2 \sim 29.5} \right]} \right)}\\ {0.15} & {\left( {x \in \left[ {31.1 \sim 31.2} \right]} \right)}\\ 0 & {(x \in {\rm{others}})} \end{array}} \right.$

${f_{22}}({\varphi _2}) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.31} & {\left( {x \in \left[ {26.6 \sim 27.9} \right]} \right)}\\ {0.54} & {\left( {x \in \left[ {28.8 \sim 32.2} \right]} \right)}\\ {0.15} & {\left( {x \in \left[ {32.9 \sim 34.1} \right]} \right)}\\ 0 & {(x \in {\rm{others}})} \end{array}} \right.$

按文中所述方法构造不确定性楔体稳定性评价模型，并计算其安全系数盲数解，图 8为安全系数频率分布直方图.

由图 8可知，该楔体安全系数低于1的概率为85.6%，低于1.2的概率为100%，失稳的可能性较大这一点与实际情况相吻合，在2015年6月，该楔体发生失稳，表明基于Fisher最优分割和盲数理论的楔体稳定性评价模型的可靠性与准确性.

4 结论

1) 本文提出了一种基于Fisher最优分割的不确定性楔体稳定性盲数评价模型，该模型考虑了边坡岩土体参数的多种不确定性，克服了边坡岩土体参数多种不确定对于楔体稳定性分析影响，并且首次将Fisher最优分割法运用于盲数分组中，克服了人为因素的影响，能够更加客观全面地反映楔体的真实状态.

2) 算例表明，基于Fisher最优分割法与盲数理论的楔体稳定性概率分析方法计算结果与公认比较准确的蒙特卡洛方法相似，验证了本文方法的有效性与可靠性.

3) 以兴城某楔体作为研究对象，通过建立不确定性楔体稳定评价模型对楔体稳定性做出评价，为楔体的防治工程提供数据支撑.后续观测结果表明，该方法能够准确地评判楔体的稳定性.采用Fisher最优分割方法和盲数理论分析楔体的稳定性为岩土体稳定性分析提供了一个新的思路.