在采用能量变分法进行箱梁剪力滞分析时，多数研究者是在假定剪滞翘曲位移函数形式的基础上建立控制微分方程并求解的. Reissner早期研究矩形双轴对称箱梁剪力滞问题时，假定剪滞翘曲位移函数为二次抛物线型式^[1].文献[2-5]分别采用三次抛物线、四次抛物线、五次和六次抛物线等.采用不同的剪滞翘曲位移函数进行剪力滞分析，主要存在如下两个问题：1) 由于在采用变分法建立控制微分方程时，仍然假定截面中性轴通过截面形心，而实际上由于剪力滞效应的存在，截面的中性轴位置与截面形心发生了偏离，则截面中性轴仍通过截面形心的假设将导致分析中包含附加轴力的影响^[6]；2) 由于控制微分方程的建立是基于具体剪滞翘曲位移函数的，其分析精度明显地受剪滞翘曲函数的影响.

针对附加轴力问题，文献[7]通过引入轴力平衡条件来考虑截面中性轴和形心轴重合所产生的附加轴力影响.文献[6]通过对典型的简支梁、悬臂梁和连续梁在集中力和均布荷载作用下的附加轴向应力比进行分析，结果表明，附加轴向应力相对较小，对抛物线型翘曲位移函数进行考虑轴力平衡的修正是没有必要的.

针对剪滞翘曲位移函数的选取问题，以往采用变分法对剪力滞的研究，大多都是基于具体的剪滞翘曲函数开展的.然而，剪力滞的分布规律显著地受结构形式、截面刚度分布及荷载作用形式和位置的影响^[8-11]；针对不同的情况，剪滞翘曲位移函数的形式不是通用的，且通常采用不同的形式会带来较大的误差.为此，本文通过对采用变分法建立的剪力滞控制微分方程的分析，从微分方程通解的形式出发构造出了一种剪力滞解析分析方法.通过与矩形试验梁在集中荷载作用下剪力滞系数的对比，及带翼缘箱梁在均布荷载作用下的板壳有限元分析结果对比，验证了本文提出的解析法的合理性.

1 剪滞翘曲位移函数及其影响

变分法求解剪力滞问题的核心是剪滞翘曲位移函数的选取.对于薄壁矩形双轴对称箱梁而言，在顶底板厚度相同的情况下，引起剪力滞效应的翼缘板横向剪切变形也具有双对称性.因此，不加修正的二次抛物线型剪滞翘曲位移函数对于不带翼缘的矩形箱梁剪力滞分析是十分精确的.然而，对于带悬臂板的箱梁而言，由于上下对称性的缺失，使得截面中性轴与形心不再重合.文献[12-13]引入仅与截面几何参数有关的修正系数，分别构造了底板和悬臂板的剪滞翘曲位移函数，并引入附加轴向位移来考虑由于中性轴和形心不重合而引起的附加轴力影响.

文献[14]基于竖向弯曲荷载作用下箱梁截面的剪力流分布规律，定义了一种符合箱梁各翼缘板剪切变形规律的剪力滞翘曲位移函数，修正了带悬臂板箱梁的剪滞翘曲位移函数.修正后的剪滞位移函数为

$f\left( y,z \right)=\left\{ \begin{align} & -{{Z}_{s}}\left( 1-\frac{{{y}^{3}}}{b_{1}^{3}} \right)\ ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 顶板 \right); \\ & -{{Z}_{s}}\left[ 1-\frac{{{\left( {{b}_{1}}+{{b}_{2}}-y \right)}^{3}}}{b_{2}^{3}} \right]\frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}},\left( 悬臂板 \right); \\ & {{Z}_{x}}\left( 1-\frac{{{y}^{3}}}{b_{3}^{3}} \right)\frac{{{Z}_{x}}{{A}_{x}}}{{{Z}_{s}}{{A}_{s}}},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 底板 \right); \\ \end{align} \right.$

式中：Z_s、Z_x分别为顶、底板中心距中性轴的距离；b₁、b₂、b₃分别为顶板 (不含悬臂部分) 宽度、臂板宽度及底板宽度的1/2；A₂/A₁为悬臂板与内侧顶板面积的比值；A_s、A_x分别为顶板和底板的面积；y为横桥向坐标，z为纵桥向坐标.

为研究不同的剪滞翘曲位移函数对剪力滞求解结果的影响，以文献[15]中的试验梁为例，分别给出基于不同剪滞翘曲位移函数的分析结果与实测值的对比.试验简支梁跨径为0.8 m，采用集中荷载对称地施加在跨中截面，荷载总量为0.272 2 kN，材料弹模为E=3 000 MPa，泊松比0.385，板中面的应变取上、下测点的平均值.试验梁截面尺寸及测点布置示意如图 1所示.

采用不同的剪力滞位移函数形式，求解得到的箱梁正应力分布如图 2所示，图中横轴y/b_u为测点到顶板中心距与顶板半宽之比.

显然，从图 2可见，基于不同的剪滞翘曲位移函数形式求解得到的正应力分布存在较大的差异.从本例看，在悬臂端部，二次抛物线形式和余弦函数形式与实测值对比较好；但在顶板中部，却是三次和四次抛物线形式更接近实测结果.由此可见，对于采用何种位移函数能够更为合理地描述剪力滞的分布规律，值得研究.

2 剪力滞解析求解思路

如前所述，在采用变分法求解剪力滞问题时，分析的精度显著地受剪滞翘曲位移函数的影响.因而，如何选取合适的剪滞翘曲位移函数的形式成为变分法求解剪力滞问题的关键.本节将从控制方程的形式出发构造更为合理的剪滞翘曲位移函数.为此，采用抽象函数作为剪滞翘曲函数，利用能量变分法导出控制微分方程及边界条件分别为

$ \begin{array}{l} E{u_{xx}}\left( {x,y} \right) + G{u_{yy}}\left( {x,y} \right) = \\ \;\;\;\;\;\;\;\frac{{E{I_{\rm{s}}}}}{{2Ib}}\int_{ - b}^b {{u_{xx}}\left( {x,y} \right){\rm{d}}y} + \frac{{Q\left( x \right)}}{I} = f\left( x \right), \end{array} $

(1)

$ u\left( {x,y} \right)\left| {_{y = b}} \right. = u\left( {x,y} \right)\left| {_{y = - b}} \right. = 0. $

(2)

为便于解析求解，采用文献[16]级数展开的思路，首先假定剪力以沿桥纵向呈余弦分布，即

$ Q\left( x \right) = {q_n}\cos {\alpha _n}x. $

(3)

从式 (1) 可知，由于右端项仅为x的函数，则左端两个偏微分项Eu_xx(x, y)、Gu_yy(x, y) 关于y的项一定是被约掉了.由于Eu_xx(x, y) 没有对y进行求导，而Gu_yy(x, y) 对y进行了两次求导，因而需要构造的u(x, y) 含y的项，需要满足其二阶导等同于它本身.则，u(x, y) 一定含有e^y项，同时由于要满足u(x, y)|_y=b=u(x, y)|_y=-b，即u(x, y) 为偶函数，所以u(x, y) 的形式一定含有cosh $Ay=\frac{{{e}^{Ay}}+{{e}^{-Ay}}}{2}$项，即

$ u\left( {x,y} \right) = \varphi \left( x \right) \cdot \cosh Ay. $

(4)

文献[17]根据微分方程的形式导出了纵向位移函数的形式为

$ {u_n}\left( {x,y} \right) = {C_n} \cdot \cos {\alpha _n}x \cdot \left( {\cosh {A_n}y - \cosh {A_n}b} \right). $

(5)

式中：${{\alpha }_{n}}=\frac{n\pi }{L}, {{A}_{\text{n}}}\sqrt{\frac{E}{G}}{{\alpha }_{n}}$，L为跨径，E为弹性模量，G为剪切模量，b为顶板宽度的1/2；${{C}_{n}}=\frac{1}{E{{I}_{s}}}\cdot \frac{1}{\alpha _{n}^{2}}\cdot $$\frac{1}{\tan {{A}_{n}}b+\left( \frac{I}{{{I}_{s}}-1}-1 \right)\cdot \left( {{A}_{n}}b \right)}\cdot \frac{{{A}_{n}}b}{\cosh {{A}_{n}}b}\cdot {{q}_{n}}$，其中I、I_s分别为截面惯性矩和顶、底板惯性矩之和.

在沿桥纵向剪力Q(x)=q_ncosα_nx分布下，同时考虑到g(y)|_y=b=g(y)|_y=-b=0，g(y)|_y=0=1，故而本文构造如下形式的剪滞翘曲位移函数，即

$ g\left( y \right) = \frac{{\cosh {A_n}y - \cosh {A_n}b}}{{1 - \cosh {A_n}b}}. $

(6)

基于以上分析，本文提出如下的解析求解思路：

1) 根据外荷载q的分布形式，求出剪力Q(x) 的分布形式.

2) 将剪力Q(x) 进行三角级数展开，即

$ Q\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{Q_n}\left( x \right)} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{q_n}\cos {\alpha _n}x} , $

(7)

$ {q_n} = \frac{2}{L}\int_0^L {Q\left( x \right)} \cos {a_n}x \cdot {\rm{d}}x. $

(8)

3) 针对不同的Q_n(x)，采用式 (6) 所构造的剪滞翘曲位移函数进行正应力求解.

4) 叠加步骤3) 所求解的所有正应力，并求解剪力滞系数.

对于沿简支梁桥纵向作用均匀布载或者集中荷载的情况，Q(x) 的分布如图 3所示.

根据式 (8) 可分别导出简支梁受均布荷载q_n为

$ {q_n} = \frac{{4qL}}{{{{\left( {n\pi } \right)}^2}}},n = 1,3,5 \cdots . $

(9)

简支梁跨中受集中荷载q_n为

$ {q_n} = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{2F}}{{n\pi }},\\ - \frac{{2F}}{{\left( {n + 1} \right)\pi }}. \end{array} \right.\left( {n = 2i - 1,i = 1,2,3 \cdots } \right) $

(10)

3 基于任意剪滞翘曲位移函数的分析 3.1 剪力滞控制微分方程推导

鉴于求解不同的剪力分布Q_n(x) 的剪力滞问题时，需要采用不同的剪滞翘曲位移函数，见式 (6)，因而推导基于抽象剪滞位移函数的剪力滞控制微分方程及有关公式是有重要意义的，这将极大地方便本文解析法的数值求解.为此，本节将给出采用抽象函数作为剪滞翘曲位移函数推导的有关公式.

首先，引入如下3个位移函数，即梁的竖向挠度w(x) 和纵向位移u_u(x, y)，u_b(x, y)，分别为

$ w = w\left( x \right), $

(11)

$ {u_u}\left( {x,y} \right) = {h_u}\left[ {\frac{{{\rm{d}}w}}{{{\rm{d}}x}} + {g_u}\left( y \right)u\left( x \right)} \right], $

(12)

$ {u_b}\left( {x,y} \right) = {h_b}\left[ {\frac{{{\rm{d}}w}}{{{\rm{d}}x}} + {g_b}\left( y \right)u\left( x \right)} \right]. $

(13)

式中：u_u(x, y) 为顶板纵向位移；u_b(x, y) 为底板纵向位移；u(x) 为截面上沿横向不同位置各点剪切转角的最大差值；g_u(y)、g_b(y) 分别为u(x) 在y方向上的分布函数，反应纵向位移沿横向的不均匀分布.其他符号含义如图 4所示.

其次，基于最小势能原理对总势能变分可建立如下的控制微分方程 (推导过程从略)：

$ \left\{ \begin{array}{l} u'' - {k^2}u = \frac{{{\alpha _2}nQ\left( x \right)}}{{2EI}},\\ w''' - {k^2}w'' = \frac{{{k^2}M\left( x \right)}}{{EI}} - \frac{{{\alpha _3}nM''\left( x \right)}}{{EI}}. \end{array} \right. $

(14)

式中：$n=\frac{1}{{{\alpha }_{3}}-\frac{\alpha _{2}^{2}}{4}\frac{{{I}_{s}}}{I}}, k=\sqrt{\frac{{{\alpha }_{4}}Gn}{E}}, {{\alpha }_{i}}=\frac{{{I}_{ui}}+{{I}_{bi}}}{{{I}_{u1}}+{{I}_{b1}}}$(i=2, 3, 4)，I_j1=∫t_jh_j²dy，I_j2=∫2t_jh_j²f_jdy，I_j3=∫t_jh_j²f_j²dy，I_j4=∫t_jh_j²(f′_j)²dy (j为u代表顶板，j为b代表底板).

经验证，本文所推导的控制方程，不显含剪滞翘曲位移函数，但当代入具体的剪滞翘曲位移函数形式时，其形式等同于直接采用该型剪滞翘曲位移函数进行变分推导的结果.

方程 (14) 的一般解可写为

$ u\left( x \right) = {C_1}\sinh kx + {C_2}\cosh kx + {u^ * }, $

(15)

式中：C₁、C₂为待定常数，与边界条件有关，u*为仅与剪力Q(x) 相关的特解.

3.2 余弦荷载作用下的解的形式

由于本文分析剪力滞的思路，需要首先将剪力分布按照级数进行展开，如式 (9)、(10).针对任一余弦剪力分布Q_n(x)=q_ncos α_nx，控制微分方程式 (14) 变为

$ u'' - {k^2}u = m{Q_n}\left( x \right), $

(16)

式中$m=\frac{{{\alpha }_{n}}n}{2EI}$，方程 (16) 的解可表示为u(x)=u₀+u^*，其中u*为特解.

可构造如下形式的特解

$ {u^ * } = - m\frac{{{q_n}}}{{\alpha _n^2 + {k^2}}}\cos {\alpha _n}x. $

(17)

将式 (17) 代入式 (15)，可以得到

$ u = {C_1}\sinh kx + {C_2}\cosh kx - m\frac{{{q_n}}}{{\alpha _n^2 + {k^2}}}\cos {\alpha _n}x, $

(18)

$ u' = {C_1}k\cosh kx + {C_2}k\sinh kx + m{\alpha _n}\frac{{{q_n}}}{{\alpha _n^2 + {k^2}}}\sin {\alpha _n}x. $

(19)

由边界条件u′|_x=0=0, u′|_x=l=0可以导出

$ \left\{ \begin{array}{l} {C_1} = 0,\\ {C_2} = \frac{{ - m{\alpha _n}{q_n}}}{{\alpha _n^2 + {k^2}}} \cdot \frac{{\sin {\alpha _n}l}}{{l\sinh kl}}. \end{array} \right. $

(20)

最后，可根据如下表达式计算正应力的数值：

$ {\sigma _x} = E\frac{{\partial {u_u}\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}} = E{h_u}\left[ {w''\left( x \right) + {g_u}\left( y \right)u{{\left( x \right)}^\prime }} \right]. $

(21)

4 算例分析 4.1 集中荷载下的剪力滞分析

为验证本文思路的正确性，选取弹模为E=304 GPa，泊松比为0.3，计算跨径为1 000 mm的简支箱梁 (如图 5所示)，在跨中作用集中荷载P=6 kN，进行剪力滞分析^[17].将分析结果与文献[18]的试验结果等进行对比，如图 6所示.

需要说明的是，图 6中实测数据仅1~4号点是由真实试验测得的，5号点是通过1~4号点外推得到的，这主要是考虑到5号点位于腹板位置处，通常该位置是剪力滞系数最为显著的位置.从图 6可见，本文基于解析位移函数的剪力滞分析结果同文献[17]的分析结果基本一致，且与实测值吻合较好；同时，三次、四次函数的分析结果也较好，但采用二次函数的求解结果较差，腹板内侧 (靠近顶板中线) 的分析结果明显偏小. 表 1列出了关键位置处的剪力滞系数分析结果对比.

4.2 均布荷载下的剪力滞分析

接下来，对带有悬臂板的箱梁受均布荷载的情况作进一步的算例验证.选取的算例及有限元分析结果参考的是文献[11]，其中弹性模量为E=30 GPa，计算跨径为4.0 m，泊松比为0.2，作用均布荷载为q=2 000 N/m，其他截面参数如图 7所示.

采用不同剪滞翘曲位移函数进行剪力滞分析，对比不同位置 (位置编号见图 7) 的剪力滞系数的分布，如图 8所示.

对图 8中所示的关键位置处的剪力滞系数列表对比，如表 2所示.

由图 8及表 2可见，在均布荷载对称作用下，本文解析结果更为接近文献[11]的有限元分析结果，且三次、四次函数的分析结果差于二次函数的分析结果，这一点与集中荷载情况下的分析结果不同.因而，仅从本文所涉及的两个算例来看，本文提出的解析法对集中荷载和均布荷载作用具有更好的适应性.

5 结论

1) 从剪力滞控制微分方程解的形式出发，构造了针对余弦剪力分布的剪滞翘曲位移函数，并以此为基础，通过对任意剪力分布进行级数展开来求解任意剪力分布的剪力滞问题.

2) 分别以不带悬臂的矩形箱梁受集中荷载作用及带悬臂箱梁受均布荷载作用为例，通过分析对比，发现本文解析方法对各种情况下的剪力滞问题适应性均较好；仅就文中的算例而言，三次及四次函数对集中荷载作用情况下的剪力滞分析效果较好，而二次函数分析效果较差；针对均布荷载，则二次函数分析效果较好，三次、四次函数分析效果较差.

3) 由于本文采用的是级数展开的思想，因而适用于任意剪力分布情况下的剪力滞分布计算.