并联机构比串联机构具有更高的刚度、精度和承载能力，使其在航空航天、工业机床、机器人操作手等方面得到广泛应用.随着科学技术的迅速发展，具有多个工作构态、多功能的集成化设备的需求与日俱增，促使人们研制出一种存在多种工作模式的可重组并联机构，即变胞并联机构.变胞并联机构能在不改变机构结构基础上，从一种工作模式转换到另外一种模式，优化了并联机构的性能.

变胞的概念是在1998年第25届ASME机构学与机器人学双年会上提出的^[1]，将变胞的思想应用于并联机构得到变胞并联机构，满足工业生产中对机器高精度、高刚度和功能集成化的要求，引起了国内外机构学专家的关注，并对此进行了深入的研究. Gan等^[2]提出一种可重组运动副—rT胡克铰链，并运用rT胡克铰链构造了3R-2R1T变胞并联机构. Kong^[3]利用一种特殊的5R支链构造变胞并联机构，并运用四元数的思想分析了机构的15种构态. Zhang等^[4]通过对L型折纸的研究，提出一种可以在球副、万向节和转动副之间转化的运动副，并将其应用到并联机构，构造出具有多种构态的变胞并联机构. Qu等^[5]提出了具有3种构态的可重组串并混联机构，利用机构的运动奇异点，通过杆件的合并改变约束的数目，实现机构自由度分别为0、1、2的构态转换. Ye等^[6]通过研究空间五杆机构的特点，得到一系列带空间闭环的可重组支链构型，采用激活不同运动副的方式进行变胞并联机构的设计.

综上所述，现阶段变胞并联机构的研究主要集中于构型的创新设计，提出新型变胞并联机构，而较少研究变胞并联机构设计方法.对于构型各异的变胞并联机构^[7-10]，其构型之间是否存在一定的联系，这些机构实现变胞的原理是什么，是否存在一种通用的变胞并联机构综合方法，既可以构造出新型的变胞并联机构，又能够对现在已存在的变胞并联机构的构造思想作出解释，这都是有待于研究的问题.

本文将首先运用相逆螺旋的性质构造并联机构的基本支链构型，分析变胞并联机构的变胞方式，针对每一种变胞方式，通过分析基本支链构型之间的相似性和差异性及支链约束螺旋的方向特点，构造相应的变胞支链，并在此基础上提出基于基本支链构型的变胞并联机构设计方法.

1 基本支链构型综合

动平台的约束螺旋系是并联机构各支链约束螺旋系的并集^[11]，影响着并联机构的运动输出.本节从约束螺旋的角度出发，构造约束螺旋为线矢力或力偶的基本支链，使得约束螺旋和支链构型联系起来，为变胞支链的创建与转化提供构型基础.

为了叙述方便，本文将约束螺旋为线矢力的支链称为线矢力支链，约束螺旋为力偶的支链称为力偶支链.

1.1 线矢力基本支链的构造

在螺旋理论中，刚体的瞬时转动和作用在刚体上的力螺旋分别对应一个线矢量，刚体的瞬时移动和作用在刚体上的力偶分别对应一个偶量.对于并联机构，其支链中运动副的运动螺旋构成支链的运动螺旋系，与支链每一个运动螺旋都相逆的螺旋为该支链的约束螺旋(约束力螺旋或者力偶螺旋)，相逆螺旋具有如下性质^[12]：

1) 与螺旋系相逆的线矢量必须与该螺旋系中所有偶量相垂直并且与所有线矢量相交或平行；2)与螺旋系相逆的偶量必须与该螺旋系中所有线矢量垂直.

由相逆螺旋的性质可以得到两条推论：

1) 支链的约束力螺旋必须与所有转动副轴线相交或平行，并且与所有移动副导路方向相垂直；2)支链的约束力偶螺旋必须与支链中所有转动副轴线相垂直.

现利用相逆螺旋第1条推论构造约束螺旋为线矢力的并联机构支链.本节构造自由度为5，约束螺旋数目为1的线矢力基本支链.

1.1.1 含有5个转动副的线矢力基本支链的构造

构造支链时，要保证支链的5个运动螺旋线性无关.由Grass线几何和螺旋相关性可知，相交的转轴不能超过3个，且3条相交转轴不能共面；同理相互平行的转轴也不能超过3个，且3条平行转轴不能共面.根据以上条件，分3种情况讨论(R、P表示运动副时, 代表转动副和移动副; 表示运动时, 代表转动和移动; 表示位置关系时, 代表转动副的轴线方向和移动副的导路方向)：

1) 如图 1(a)所示，转动副R₁、R₂、R₃轴线相交于O₁，转动副R₄、R₅轴线相交于O₂.此时，约束反力F_r由O₁指向O₂.

2) 如图 1(b)所示，转动副R₁、R₂、R₃轴线相交于O，转动副R₄、R₅轴线平行.此时，约束反力F_r经过转动副交点O，与平行转动副轴线方向一致，即F_r//(R₄//R₅).

3) 如图 1(c)所示，转动副R₁、R₂轴线相交于O，转动副R₃、R₄、R₅轴线平行.此时，约束反力F_r经过转动副交点O，与平行转动副轴线方向一致，即F_r//(R₃//R₄//R₅).

若5个转动副轴线任意布置且相交于一条直线，并联机构在运动过程中稳定性难以保证，故不予考虑.

1.1.2 含有4个转动副和1个移动副的线矢力基本支链的构造

构造支链时, 要保证约束反力与不相交的转动副轴线平行的同时与移动副导路方向相垂直，所以移动副导路方向要垂直于平行转动副轴线方向.共有两种情况，可看作是图 1(b)构型和图 1(c)构型的变型:

1) 如图 1(d)所示，将图 1(b)构型中的转动副R₄替换成移动副P₄，且令P₄⊥R₅.此时约束反力F_r经过转动副R₁、R₂、R₃轴线的交点O，且与转动副R₅轴线方向一致，即F_r//R₅.

2) 如图 1(e)所示，将图 1(c)中的转动副R₃替换成移动副P₃，且令P₃⊥(R₄//R₅).此时，约束反力F_r经过转动副R₁、R₂轴线的交点O，与平行转动副轴线方向一致，即F_r//((R₄//R₅).

1.1.3 含有3个转动副和2个移动副的线矢力基本支链的构造

支链的约束反力方向必须与支链中所有移动副导路方向垂直，则要保证存在一条与移动副公法线方向一致的线矢量与所有的转动副轴线相交，有两种情况：

1) 如图 1(f)所示，转动副R₁、R₂、R₃的轴线相交于O，此时约束反力F_r经过转动副交点O，沿移动副P₄、P₅公法线方向.

2) 如图 1(g)所示，转动副R₁、R₂的轴线相交于O，转动副R₃轴线方向与移动副P₄、P₅的公法线方向一致，此时约束反力F_r经过转动副交点O，沿R₃轴线方向.

1.2 力偶基本支链的构造

图 1所示的7种支链构型的约束螺旋是线矢力，但如果支链只能产生约束力并不能实现动平台所有的运动情形，因此，本节利用相逆螺旋第2条推论构造自由度为5，约束螺旋数目为1的力偶基本支链.

力偶基本支链的约束螺旋为一个力偶，转动自由度的维数为2，则支链中转动副轴线位于平行平面内.理论上空间中位于平行平面、无公法线且线性无关的线矢最多有5条，但考虑到5条转轴位于平行平面内的支链在运动过程中平行关系不容易保持，所以本节只考虑转动副轴线最多平行于两个方向的支链.由相逆螺旋第2条推论可知，支链的约束力偶垂直于支链中所有转动副的轴线，本节在此基础上进行力偶支链构型的综合，可构造出5种构型，如图 2所示.

力偶支链构型存在二维的转动，所以构造支链时可首先确定实现此二维转动的两个转动副的轴线方向(两个转动副记为R₁和R₂)，其余转动副轴线与R₁、R₂轴线平行.由螺旋相关性可知，两平行线矢量与其构成平面的法向偶量线性相关，因此，构造支链时要保证移动副导路方向不能与平行转动副轴线构成的平面垂直.

共存在5种情况：

1) 若支链中具有3个不相关的移动副，即为图 2(a)所示的构型.

2) 若支链中含有两个移动副，即为图 2(b)所示的构型，此时R₂//R₃，移动副P₄、P₅导路方向不能与转动副R₂、R₃轴线构成的平面垂直.

3) 若支链中含有一个移动副，如果另外两个转动副R₄、R₅轴线相交，即为图 2(c)所示的构型，此时R₁//R₅，R₂//R₄，即转动副R₁、R₂轴线构成的平面和转动副R₄、R₅轴线构成的平面平行，同时移动副P₃导路方向不能和这两个平行平面的公法线垂直(确保移动副P₃导路方向在两平行平面公法线上有分量).

4) 若支链中含有一个移动副，如果另外两个转动副R₃、R₄轴线平行，即为图 2(d)构型，此时R₂//R₃//R₄，且移动副P₅导路方向不能和转动副R₂、R₃、R₄轴线垂直(确保P₅导路方向在R₂、R₃、R₄轴线方向有分量).

5) 若支链中全为转动副，即为图 2(e)构型，此时R₁//R₅，R₂//R₃//R₄.

图 1、图 2所示为基本支链构型，可以通过改变运动副的空间布置，组合运动副或者改变运动副数目的方式进行支链构型的拓展，得到更多的并联机构支链构型，实现并联机构的综合.

2 变胞并联机构综合设计方法

综合现阶段已经构造出的变胞并联机构，可以发现变胞的实现主要有两种方式：

1) 改变支链约束螺旋性质，即支链的约束螺旋可在线矢力和力偶之间转变.本节通过锁住运动副的方式实现^[13].

2) 改变支链约束反力方向，即支链约束反力方向可绕某轴线旋转.本节通过可变运动副方式实现^[14].

本节根据并联机构的两种变胞实现方式，构造相应的变胞支链，并将变胞支链进行变型和组合，实现并联机构的变胞设计.

2.1 可锁住运动副方式变胞 2.1.1 变胞支链的构建

线矢力和力偶基本支链都是5自由度支链，存在一个约束螺旋，并且可以发现这两类支链的运动副布置相似.如图 1(c)所示的线矢力支链构型3和图 2(e)所示的力偶支链构型5都存在3个相互平行的转动副，两者的区别是线矢力支链构型3的其余两个转动副轴线相交于一点，而力偶支链构型5的其余两个转动副轴线相互平行.本节利用这一性质构造并联机构的变胞支链，实现变胞支链在线矢力支链和力偶支链之间进行转化.

同样以线矢力支链构型3和力偶支链构型5为例，构型6自由度支链，如图 3(a)所示，支链中含有6个转动副R₁、R₂、R₃、R₄、R₅¹和R₅².令转动副R₂、R₃和R₄轴线方向相互平行，转动副R₅¹和R₁轴线方向相互平行，转动副R₅²和R₁轴线相交于一点，此时锁住转动副R₅¹，支链转变为线矢力支链构型3，提供一个约束力螺旋；锁住转动副R₅²，支链转变为力偶支链构型5，提供一个约束力偶螺旋，即通过锁住不同运动副的方式实现变胞支链在线矢力支链和力偶支链之间转化.与此类似，采用同样的方法可构造出其他形式的变胞支链，由于图 1(a)、(b)、(d)所示的3种线矢力基本支链含有4个及以上线性无关的转动副，当锁住一个转动副后仍存在3个线性无关的转动副，无法创建约束反螺旋为力偶的支链，因此不能构造此种类型的变胞支链，所以不同形式的变胞支链共有4种，构型如图 3所示.

图 3(b)所示的变胞支链，转动副R₅¹和R₁轴线相交于一点，转动副R₅²和R₁轴线相互平行，锁住转动副R₅¹，变胞支链转化为图 2(c)所示的力偶支链；锁住转动副R₅²时，变胞支链转化为图 1(e)所示的线矢力支链；图 3(c)所示的变胞支链，转动副R₅¹和R₁轴线方向相互平行，转动副R₅²轴线方向垂直于移动副P₃、P₄导路方向，锁住转动副R₅¹，变胞支链转化为图 1(g)所示的线矢力支链，锁住转动副R₅²时，变胞支链转化为图 2(b)所示的力偶支链；图 3(d)所示的变胞支链，转动副R₅¹和R₁轴线方向相互平行，转动副R₁、R₂和R₅²轴线相交于一点，锁住转动副R₅¹，变胞支链转化为图 1(f)所示的线矢力支链，锁住转动副R₅²时，变胞支链转化为图 2(b)所示的力偶基本支链.

2.1.2 利用图 3所示变胞支链构造变胞并联机构

【例】构造变胞并联机构，其动平台存在两种构态：

1) 构态1：水平面内的二维转动和竖直方向的移动，即2R1T并联机构.

2) 构态2：空间三维的移动和轴线绕竖直方向的转动，即3T1R型并联机构.

以动平台平面为XOY平面，竖直方向为Z轴方向建立坐标系，机构处于两种构态时动平台受力状态如图 4所示：

由图 4可看出，并联机构处于不同的构态时，约束螺旋性质会发生改变，2R1T并联机构动平台的约束为3个共面不共点的线矢力，3T1R并联机构动平台的约束为两个水平面内的力偶，即构态转换时要实现并联机构的约束由线矢力螺旋向力偶螺旋的转变，即约束螺旋性质发生了改变，可通过锁住运动副的方式实现.

选择如图 3(d)所示的变胞支链进行变胞并联机构的构造，采用三条支链.布置并联机构支链时，将移动副P₄的导路布置在定平台上，移动副P₃导路方向与移动副P₄导路方向垂直，转动副R₂轴线方向竖直向上，与移动副P₃合成一个柱面副，转动副R₁、R₂和R₅²轴线相交于O，转动副R₅¹和R₁轴线相互平行.三条支链构型相同，对称布置，三条支链转动副交点O不重合(线矢力作用点不重合)，构型如图 5所示.

构态转化时，锁住变胞支链的转动副R₅¹，则变胞支链转化为图 1(f)构型，为线矢力支链构型，为动平台提供一个垂直于移动副P₃、P₄导路方向的线矢力，由于3条支链中移动副P₃、P₄导路方向构成的平面都垂直于定平台，所以3条支链提供的线矢力共面且不共点，即为构态1；锁住变胞支链的转动副R₅²，则变胞支链转化为图 2(b)构型，为力偶支链构型，为动平台提供一个垂直转动副R₁、R₂轴线的力偶，由于转动副R₂轴线方向竖直向上，则由转动副R₁、R₂轴线构成平面垂直于定平台，即3条支链提供的力偶平行于定平台，约束水平面内的二维转动，即为构态2.

自由度全周性分析：锁住R₅¹时，支链约束反螺旋为垂直所有移动副导路方向的线矢力，由于两个移动副导路方向不变，所以约束线矢力方向始终不变，运动具有全周性.锁住R₅²时，由于转动副R₂轴线方向竖直向上，由几何关系知3个力偶始终平行于定平台，机构的运动具有全周性.

2.2 可变运动副方式变胞 2.2.1 变胞支链的创建

以图 1(d)所示的线矢力支链构型为例，支链约束反螺旋为通过转动副交点，方向沿转动副R₅轴线的线矢力，如果此时改变转动副R₅轴线的方向，约束线矢力的方向就会随着改变，就可以形成不同的约束形式.为了实现转动副R₅轴线方向的改变，在转动副R₅前面设置一个转动副R′，通过转动副R′的旋转实现转动副R₅轴线的方向的改变，变胞支链构型如图 6(a)所示.

以转动副交点为原点，转动副R₅轴线方向为Z轴方向，水平面为XOY平面，建立如图 6(a)所示的坐标系，则添加转动副R′后支链的运动螺旋系为

$ \begin{array}{l} {\mathit{\$ }_1} = \left( {{a_1}, {a_2}, {a_3};0, 0, 0} \right), \\ {\mathit{\$ }_2} = \left( {{b_1}, {b_2}, {b_3};0, 0, 0} \right), \\ {\mathit{\$ }_3} = \left( {{c_1}, {c_2}, {c_3};0, 0, 0} \right), \\ {\mathit{\$ }_4} = \left( {0, 0, 1;{d_1}, {d_2}, 0} \right), \\ {\mathit{\$ }_5} = \left( {0, 0, 0;1, 0, 0} \right), \\ {\mathit{\$ }_6} = (1, 0, 0;0, {e_1}, {e_2}). \end{array} $

支链运动螺旋系秩为6，则基本支链构型添加转动副R′后转化为无约束支链.

结合图 1所示的7种基本支链构型，通过在平行转动副前添加转动副的方式，可得到多种变胞支链，不同类型的变胞支链共有5种，如图 6所示：

图 3和图 6所示的变胞支链构型是基本构型，将运动副进行组合(如将3个不共面转动副合成一个球副，两个轴线相互垂直转动副合成一个万向节)，改变运动副的布置方式可得到多种变胞支链，实现变胞并联机构的构型综合.

2.2.2 利用图 6所示变胞支链构造变胞并联机构

【例】构造变胞并联机构，其动平台存在3种构态：

1) XOZ平面内的平面运动，即2T1R并联机构.

2) 水平面内的二维转动和竖直方向的移动，即2R1T并联机构.

3) 空间6维任意运动.

动平台处于不同构态的受力状态如图 7所示.机构处于构态1时，动平台的约束螺旋为X、Z方向的力偶和Y方向的线矢力，可由3个不在同一平面上、方向沿Y轴的线矢力实现，如图 7(a)所示；构态2时，动平台的约束螺旋为Z方向的力偶和X、Y方向的线矢力，可由3个共面不共点的线矢力实现，如图 7(b)所示；构态3时，动平台不受任何约束.本节采用图 6(a)所示的变胞支链进行变胞并联机构的构造.

变胞并联机构构型如图 8所示，每条支链中转动副R₁、R₂和R₃轴线相交于一点，3条支链转动副交点不重合(线矢力作用点不重合)，且起始状态时移动副P₄的位移量不同，3条支链转动副交点不位于同一平面上.移动副P₄通过R′和转动副R₅连接，且移动副P₄的导路方向与转动副R₅的轴线方向垂直.转动副R₅位于圆环形滑道中，实现其轴线方向绕转动副R′的连续转动，从而改变约束反力的方向实现机构的变胞.

当进行构态转换时，旋转转动副R′，令3条支链转动副R₅的轴线都平行于Y轴方向，则并联机构的约束为3个沿Y方向、作用点不重合且不共面的线矢力，满足图 7(a)所示的受力状态，即为构态1；旋转转动副R′，令3条支链转动副R₅的轴线两两相交，则并联机构约束为3个平行于水平面且不共点的线矢力，满足图 7(b)的受力状态，即为构态2；解锁三条支链的转动副R′，3条支链为无约束支链，不提供任何约束，即为构态3.

自由度全周性分析：机构处于构态2和构态3时，约束力方向始终平行于R₅轴线方向，且运动过程中R₅轴线方向不变，全周性可保证.机构处于构态1时，旋转R′可转换到构态2和构态3，且构态2和构态3运动螺旋的并集为构态1的运动螺旋，所以机构处于构态1时也具有全周性.

3 新型变胞并联机构设计

由2.1节可知，线矢力支链和力偶支链构型相似，区别是两种类型支链中两个转动副轴线的位置关系不同(相交和平行的位置关系)，本节采用一种三重对称的六杆机构——Bricard机构来实现这种位置关系的变化，从而实现由线矢力支链向力偶支链的转化.

三重对称的Bricard机构是一种单自由度闭环机构，(如图 9)，存在3个对称面，正是由于这种对称性，机构运动时转动副轴线始终位于3个对称面上^[15].构造变胞并联机构时，将刚性的动平台替换为可进行单自由度运动的Bricard机构，且令Bricard机构的3个不相邻的转动副作为并联机构支链的末端运动副.所以，在构造并联机构支链时，要确保支链末端能实现平面运动，保证Bricard机构能够实现本身的单自由度运动.

【例】利用Bricard机构构造变胞并联机构.

并联机构轴线布置如图 10(a)所示，转动副R₂、R₃和移动副P₄可看作一个平面副，R₁可看作是运动链R₂、R₃和P₄的末端执行器，即R₁可在某一平面上任意运动(设此平面为平面α)，令平面α和Bricard机构的对称面重合，保证Bricard机构的单自由度运动可以实现.初始位置时将转动副R₁和R₅轴线布置在平面α上，同时可知R₁在平面α上运动，使得机构在运动过程中转动副R₁和R₅轴线始终位于平面α中.通过Bricard的自运动来实现转动副R₁轴线在平面α中的运动，改变转动副R₁和R₅轴线相交和平行的位置关系.

变胞并联机构构型如图 10(b)所示，调整Bricard机构的自运动，可得到并联机构多种构态：

1) 当转动副R₁和R₅轴线平行时，并联机构3条支链转化为图 2(c)所示的力偶支链，提供3个线性无关的力偶，动平台的运动为三维的移动.若转动副R₁和R₅轴线由平行变为重合，支链的运动螺旋系的秩为4，机构处于奇异位置，机构运动时要尽量避开这一位置.

2) 当转动副R₁和R₅轴线相交时，并联机构3条支链转化为图 1(e)所示的线矢力支链，此时，

① 当3条支链转动副R₁和R₅轴线的交点不重合时，可分为两种情况：

a) 若3条支链的平行转动副R₂和R₃的轴线方向平行于水平面且不相交于一点时(平面线性无关)，动平台的运动为水平面内二维转动和竖直方向的移动；

b) 若3条支链的平行转动副R₂和R₃的轴线方向平行于水平面且相交于一点时(平面线性相关)，动平台的运动为三维的转动和竖直方向的移动.

② 当3条支链转动副R₁和R₅轴线的交点重合且3条支链的平行转动副R₂和R₃的轴线方向空间线性无关时，动平台的运动为三维的转动.

通过Bricard的自运动，改变支链运动副轴线的位置关系，当满足所需的轴线位置关系后，将Bricard机构锁住，完成并联机构的构态转化，实现并联机构的变胞.

图 3(a)、(c)所示的变胞支链都存在可等效为平面运动的运动副，当动平台替换为Bricard机构时，都可实现Bricard机构本身的单自由度运动，从而改变支链轴线的位置关系，实现并联机构的变胞设计.

并联机构处于每一构态时，Bricard机构被锁住而不能进行自身单自由度运动，相当于一个刚性动平台，可在其不与并联机构支链连接的转动副上添加操作工具，如机械手爪.利用变胞并联机构的运动改变机械手爪的位置，利用机械手爪的运动改变其自身的姿态，可实现变胞混联机构的构造.且采用Bricard机构作为并联机构的动平台，通过控制Bricard机构的单自由度运动来调整并联机构3条支链轴线的位置关系，可简化构态转化的过程，提高机构的工作效率，具有很好的应用前景.

4 结论

1) 从并联机构所受的约束出发，应用螺旋理论中相逆螺旋的性质，构造约束螺旋分别为线矢力或力偶的两类基本支链，将约束和支链构型联系起来，为变胞支链的创建与转化提供构型基础.

2) 提出基于基本支链构型的变胞并联机构设计方法.根据基本支链构型的特点构造约束性质可变和约束方向可变的变胞支链，并将变胞支链进行组合和变型，实现变胞并联机构的综合.

3) 结合所提出的变胞设计方法，将并联机构的刚性动平台替换为Bricard机构，利用Bricard机构的单自由度运动实现并联机构支链中转动副轴线相对位置关系的改变，实现并联机构的变胞设计，简化了构态转化的过程.