量子密钥分配^[1](quantum key distribution, QKD)允许合法用户Alice和Bob之间共享绝对安全的密钥，已成为近年来的研究热点^[2-6].基于量子力学基本原理，QKD具有传统密码学所无法企及的完美安全性，并早已得到理论上的严格证明^[7-9].然而，实际QKD系统中使用的各类仪器设备存在非完美性，导致系统出现很多安全漏洞^[10-13].例如，实际系统常采用衰减的激光脉冲来替代理想的单光子光源，这必然会使发送脉冲中含有多个光子，从而引起光子数分离攻击^[13](photon number splitting, PNS)，使窃听者得到合法用户的共享信息而不被发现.为了有效克服PNS，Hwang ^[14]提出了诱骗态方案，该方案通过发送端Alice随机调制光脉冲到不同强度来制备诱骗态，并随信号态一同发送给接收端Bob，双方利用检测到的诱骗态来估计系统的单光子计数率下界和误码率上界，以此来判定此次通信是否安全.此方案不仅现实可行，而且能显著提高实际QKD系统的安全性能^[15-16].

目前，研究者们^[16-23]提出许多不同的方案来实现诱骗态QKD.其中大多数使用的是3强度诱骗态^[16-19]，也有一些采用2强度^[20-21]或被动诱骗态^[22](单一强度)，虽然它们实现起来较为简单，但其性能却远不如无穷诱骗态.为获得更好的性能，Zhou等^[23]提出了一种4强度诱骗态方案，该方案虽然原则上能显著提高系统密钥率和安全传输距离，但在实际实现中却面临着许多技术困难，并且会造成强度调制过程中的不确定性，带来更多的光源误码.

为避免上述问题，在降低系统实现难度的同时优化系统性能，本文提出一种新的基于双模态光源的被动诱骗态(BB84)量子密钥分配方案，给出改进后双模态光源对应的光子数分布通用公式.并结合预报单光子源(heralded single-photon source, HSPS)和标记配对相干态光源(heralded pair coherent state, HPCS)对此方案进行了详细地性能分析，讨论了发端不同探测效率的影响.同时考虑到实际码长有限，对本方案进行了统计波动分析.

1 理论与模型 1.1 基于双模态光源的QKD改进方案

提出新的QKD方案是在传统BB84协议的基础上对发送端(Alice)进行了相应的改造.由于双模态光源制备纠缠光子对来得到双模光场，两者具有相同的特性，在光子数上是完全关联的.所以将其中之一作为信号态来进行密钥分配，另一模式作为标记态，由发送端(Alice)的探测器探测吸收，以此来预报信号态中光子数分布.该方案利用这一优点，在发送端采用双模态光源，由信号态(S模态)来完成编码传输，标记态(T模态)则对信号态进行预报探测，标记态被Alice端的分束器分离成两态，再分别经过各自路径上的衰减器后被Alice端的探测器检测，由此获得4类探测结果.据此可将信号态分成4个非空集合，从而利用这4类非零脉冲来实现系统的参数估计和密钥提取.由此可知，本方案无需改变光强，只需采用单一强度的信号态就能以4强度诱骗态的形式实现有效且更精确的参数估计.

QKD改进方案模型见图 1. Alice端发射光脉冲产生双模态，其中T模态由Alice进行分束和探测，S模态则发送给Bob. Alice端改造的具体过程：

1) 生成双模态后，T模态经由分束器(beam splitter, BS)分离，直接通过透射和反射得到频率相同的两束出射光，将其记为a₁和a₂态.

2) a₁和a₂分别通过衰减器A₁和A₂后被发送到单光子探测器D_j(j=1, 2);此处的衰减器实际上分别表示a₁和a₂态所在路径上的总的传输、探测和耦合效率η₁、η₂，且其也可用分束器模型来表示，将其称为虚拟分束器，具体如图 1中的放大图所示.所以，衰减器A₁和A₂分别等效为透射率为η₁和η₂的虚拟分束器，此后，a₁和a₂的反射光被丢弃，透射光则被发送到Alice端的单光子探测器D₁和D₂中进行检测.

3) 记录T模态的探测器D₁和D₂所有响应结果(4种)，并可将其分成4类探测事件，分别记为X_i(i=1, 2, 3, 4)，即X₁：两个探测器D₁、D₂都不响应，X₂：D₁响应但D₂不响应，X₃：D₂响应但D₁不响应，X₄：D₁和D₂都响应.由此，标记态可依据这4类探测事件分成4个脉冲集合.同时由双模态光源的特性可知，两个模式在光子数上完全关联，则S模态同样被分成了4个不同的光脉冲集合，再经过极化旋转器(polarization rotator, PR)完成极化编码后，发送至Bob处进行测量.最后双方根据Bob公布的测量基执行基对比等操作以提取安全密钥.

由于探测器D₁(D₂)的探测效率被考虑到衰减器A₁(A₂)中，故此处的D₁(D₂)可看成是一个探测效率为100%的探测器.所以，在Alice置信区域内如果探测器的入射脉冲为非真空态即含有光子，那么探测器D_j必定响应; 反之，若其投影到真空态，D_j的响应概率为d_j(即该探测器的暗计数率)，不响应概率则为(1－d_j).参考文献[24]给出的被动HSPS光源概率公式，可得到本方案的光子数分布通用式(1)~(6).

假设探测器的入射脉冲为|r₁r₂〉，则此时事件X_i发生的概率P_Xi|r1r2为

$ \begin{array}{l} {P_{{X_1}\left| {{r_1}{r_2}} \right.}} = \left\{ \begin{array}{l} \left( {1 - {d_1}} \right)\left( {1 - {d_2}} \right);\exists {r_1} = 0,{r_2} = 0,\\ 0;\exists {r_1} \ne 0\;{\rm{or}}\;{r_2} \ne 0, \end{array} \right.\\ {P_{{X_2}\left| {{r_1}{r_2}} \right.}} = \left\{ \begin{array}{l} {d_1}\left( {1 - {d_2}} \right);\exists {r_1} = 0,{r_2} = 0,\\ \left( {1 - {d_2}} \right);\exists {r_1} \ne 0{\rm{,}}\;{r_2} = 0,\\ 0;\exists {r_1}{r_2} \ne 0{\rm{,}} \end{array} \right.\\ {P_{{X_3}\left| {{r_1}{r_2}} \right.}} = \left\{ \begin{array}{l} {d_2}\left( {1 - {d_1}} \right);\exists {r_1} = 0,{r_2} = 0,\\ \left( {1 - {d_1}} \right);\exists {r_1} = 0,{r_2} \ne 0,\\ 0;\exists {r_1}{r_2} \ne 0{\rm{,}} \end{array} \right.\\ {P_{{X_4}\left| {{r_1}{r_2}} \right.}} = \left\{ \begin{array}{l} {d_1}{d_2};\exists {r_1} = 0,{r_2} = 0,\\ {d_1};\exists {r_1} = 0,{r_2} \ne 0,\\ {d_2};\exists {r_1} \ne 0,{r_2} = 0,\\ 0;\exists {r_1}{r_2} \ne 0. \end{array} \right. \end{array} $

(1)

假设T模态下的任意n光子态(即Alice的发射脉冲)均以P_Xi|n概率获得事件X_i，且当X_i发生时，S模态将被投影到$\rho = \sum {P_n}{P_{{X_i}|{\rm{n}}}}|\left. n \right\rangle $ 〈n|，其中P_n表示原始S模态的光子数分布.将n光子态投影到|r₁r₂〉态的概率记为P_r1r2|n，则有

$ {P_{{X_i}\left| {\rm{n}} \right.}} = \sum\limits_{{r_1},{r_2}} {{P_{{X_i}\left| {{r_1}{r_2}} \right.}}{P_{{r_1}{r_2}\left| n \right.}}} . $

(2)

事件X_i对应的信号态为

$ \rho = \sum\limits_{n,{r_1},{r_2}} {{P_n}{P_{{X_i}\left| {{r_1}{r_2}} \right.}}{P_{{r_1}{r_2}\left| n \right.}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|} , $

(3)

式中P_Xi|r1r2已由式(1)给出，下面对P_r1r2|n进行计算.

T模态下的n光子态在经过Alice端的BS后将转变为

$ \frac{1}{{\sqrt {n!} }}{\left( {Ta_1^\mathit{\dagger } + Ra_2^\mathit{\dagger }} \right)^n}\left| 0 \right\rangle = \frac{1}{{\sqrt {n!} }}\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{R^{n - k}}{T^k}a{{_1^\mathit{\dagger }}^k}a{{_2^\mathit{\dagger }}^{n - k}}\left| 0 \right\rangle } . $

(4)

式中：T²=t为BS的传输率，R²=1－t为BS的反射率，t∈[0, 1/2].

为便于计算，用η_i(i=1, 2)表示衰减器A₁、A₂内部虚构的BS的总传输效率(如图 1所示)，且经过该BS后，只有部分透射光a₁(a₂)被发送至探测器D₁(D₂).因此，通过A₁和A₂后上述光子态转变为

$ \begin{array}{l} \left| \Phi \right\rangle = \frac{1}{{\sqrt {n!} }}\sum\limits_{k = 0}^n {\sum\limits_{{r_2} = 0}^{n - k} {\sum\limits_{{r_1} = 0}^k {C_n^k{T^k}{R^{n - k}}C_k^{{r_1}}T_1^{{r_1}}R_1^{k - {r_1}}} } } \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;C_{n - k}^{{r_2}}T_2^{{r_2}}R_2^{n - k - {r_2}}a{_1^\mathit{\dagger {{r_1}}}}a{_2^\mathit{\dagger {{r_2}}}}c_1^{\mathit{\dagger }k - {{r_1}}}{}c{_2^{\mathit{\dagger n} - k - {{r_2}}}}\left| 0 \right\rangle . \end{array} $

(5)

式中$|{T_i}{|^2} = {\eta _i}, {\rm{ |}}{R_i}{|^2} = 1 - {\eta _i} $.

可得出P_r1r2|n的表达式为

$ \begin{array}{l} {P_{{r_1}{r_2}\left| n \right.}} = \frac{1}{{n!}}\sum\limits_{k = 0}^n {\sum\limits_{{r_2} = 0}^{n - k} {\sum\limits_{{r_1} = 0}^k {\left| {C_n^kC_k^{{r_1}}C_{n - k}^{{r_2}}{T^k}{R^{n - k}}T_1^{{r_1}}R_1^{k - {r_1}} \times } \right.} } } \\ \;\;\;\;{\left. {T_2^{{r_2}}R_2^{n - k - {r_2}}} \right|^2}{r_1}!{r_2}!\left( {k - {r_1}} \right)!\left( {n - k - {r_2}} \right)! = \\ \;\;\;\;\sum\limits_{k = 0}^n {\sum\limits_{{r_2} = 0}^{n - k} {\sum\limits_{{r_1} = 0}^k {\frac{{n!}}{{{r_1}!{r_2}!\left( {k - {r_1}} \right)!\left( {n - k - {r_2}} \right)!}}{t^k}} } } \times \\ \;\;\;\;{\left( {1 - t} \right)^{n - k}}\eta _1^{{r_1}}\eta _2^{{r_2}}{\left( {1 - {\eta _1}} \right)^{k - {r_1}}}{\left( {1 - {\eta _2}} \right)^{n - k - {r_2}}}!. \end{array} $

(6)

根据式(1)~(6)，若已知原始双模态光源的光子数分布P_n，则可得到探测事件X_i对应的信号态(S模态)光子数分布的具体表达式.

1.2 基于HSPS和HPCS的QKD改进方案

实际上，本方案只要求光源能产生光子数分布概率相关的两路信号，并未规定其具体形式，因此后续将结合常见的HSPS和HPCS光源，对方案性能进行详细分析.

HSPS是指光脉冲经过非退化的参量下转换过程^[25](parametric down-conversion, PDC)，同时生成一个特性相同的双模态^[26]，用其中一个模式进行编码，作为信号态来传输，另一模式则由发送端的探测器探测来预报信号态的到达，即

$ {\left| \mathit{\Psi } \right\rangle _{TS}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\sqrt {{P_n}} {{\left| n \right\rangle }_T}{{\left| n \right\rangle }_S}} , $

(7)

其中，

$ {P_n}\left( \mu \right) = \frac{{{\mu ^n}}}{{n!}}{e^{ - \mu }}\left( {\Delta {t_c} \ll \Delta t} \right), $

(8)

$ {P_n}\left( \mu \right) = \frac{{{\mu ^n}}}{{{{\left( {1 + \mu } \right)}^{n + 1}}}}\left( {\Delta {t_c} \gg \Delta t} \right). $

(9)

式中：|n〉为n光子态，P_n为其对应的光子数分布概率，μ为平均光强，Δt_c为发射的相干时间，Δt则为泵浦脉冲的持续时间.通过改变文献[27-28]中所述的实验条件(如改变Δt)可得到两种分布类型，即式(8)的泊松分布和式(9)的热分布.

HPCS则是指由激光源产生配对相干态^[29](pair coherent state，PCS)，生成两个相互对称的模式，与HSPS光源类似，模式之一作为信号态，另一则为标记态，且两者的光子数分布都服从亚泊松分布

$ {P_n}\left( \mu \right) = \frac{1}{{{I_0}\left( {2\mu } \right)}}\frac{{{\mu ^{2n}}}}{{{{\left( {n!} \right)}^2}}}. $

(10)

式中I₀(x)为修正的第一类贝塞尔函数.

在利用上述两类光源分析本方案的性能之前，必须要先估算出其单光子计数率Y₁下界和单光子误码率e₁上界.传统QKD方案通常是随机改变光强制备诱骗态来估计参数，而本方案仅需Alice发射一个平均光强为μ的光脉冲，再利用Alice端得到的4类探测事件X_i(i=1, 2, 3, 4)就可完成相对精确的参数估计.由于文献[23]中推导的Y₁和e₁的界限是目前常用且较精确的，其中使用了3个非零强度的光源进行估算，因此本文选取3个事件X_i(如X₁、X₂、X₃，概率分布为$ {P_{{X_1}|{\rm{n}}}}、{P_{{X_2}|{\rm{n}}}}、{P_{{X_3}|{\rm{n}}}}$)对应的信号脉冲来估计参数，并将其分别记为x、y和z态.假设Alice端量子态为${\rho _l} = {\sum _n}f_n^l\left| {n\left. {} \right\rangle \left\langle {} \right.n} \right|(l = x, y, z) $，则光子数分布为$f_n^x = {P_{{X_1}|{\rm{n}}}}{P_n}\left( \mu \right)、f_n^y = {P_{{X_2}|{\rm{n}}}}{P_n}\left( \mu \right)、f_n^z = {P_{{X_3}|{\rm{n}}}}{P_n}(\mu ) $.

式(8)~(10)给出原始HSPS和HPCS光源光子数分布P_n(μ)的3种形式，结合2.1节的式(1)~(6)，可求出改进后本方案采用HSPS或HPCS光源所对应的光子数分布表达式$ f_n^l(f = a, b, c, {\rm{ }}l = x, y, z)$，具体如下.

1) 采用泊松分布的HSPS光源时，光子数分布$ a_n^l\left( {l = x, y, z} \right)$为

$ \begin{array}{l} a_n^x = {\left( {1 - {d_A}} \right)^2}{\left( {1 - {\eta _A}} \right)^n}\frac{{{\mu ^n}}}{{n!}}{e^{ - \mu }},\\ a_n^y = \left( {1 - {d_A}} \right){\left( {1 - {\eta _A}} \right)^n}\left[ {{{\left( {1 - \frac{{t{\eta _A}}}{{1 - {\eta _A}}}} \right)}^n} + {d_A} - 1} \right]\frac{{{\mu ^n}}}{{n!}}{e^{ - \mu }},\\ a_n^z = \left( {1 - {d_A}} \right){\left( {1 - {\eta _A}} \right)^n}\left[ {{{\left( {\frac{{1 - t{\eta _A}}}{{1 - {\eta _A}}}} \right)}^n} + {d_A} - 1} \right]\frac{{{\mu ^n}}}{{n!}}{e^{ - \mu }}. \end{array} $

(11)

式中：t∈[0, 1/2]，Alice端探测器的探测效率η_A∈[0, 1]，暗计数率d_A $ \ll $ 1.

2) 采用热分布的HSPS光源时，光子数分布$b_n^l(l = x, y, z) $为

$ \begin{array}{l} b_n^x = {\left( {1 - {d_A}} \right)^2}{\left( {1 - {\eta _A}} \right)^n}\frac{{{\mu ^n}}}{{{{\left( {1 + \mu } \right)}^{n + 1}}}},\\ b_n^y = \left( {1 - {d_A}} \right){\left( {1 - {\eta _A}} \right)^n}\left[ {{{\left( {1 - \frac{{t{\eta _A}}}{{1 - {\eta _A}}}} \right)}^n} + } \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\left. {{d_A} - 1} \right]\frac{{{\mu ^n}}}{{{{\left( {1 + \mu } \right)}^{n + 1}}}},\\ b_n^z = \left( {1 - {d_A}} \right){\left( {1 - {\eta _A}} \right)^n}\left[ {{{\left( {\frac{{1 - t{\eta _A}}}{{1 - {\eta _A}}}} \right)}^n} + } \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\left. {{d_A} - 1} \right]\frac{{{\mu ^n}}}{{{{\left( {1 + \mu } \right)}^{n + 1}}}}. \end{array} $

(12)

3) 采用亚泊松分布的HPCS光源时，光子数分布$ c_n^l(l = x, y, z)$为

$ \begin{array}{l} c_n^x = {\left( {1 - {d_A}} \right)^2}{\left( {1 - {\eta _A}} \right)^n}\frac{1}{{{I_0}\left( {2\mu } \right)}}\frac{{{\mu ^{2n}}}}{{{{\left( {n!} \right)}^2}}},\\ c_n^y = \left( {1 - {d_A}} \right){\left( {1 - {\eta _A}} \right)^n}\left[ {{{\left( {1 - \frac{{t{\eta _A}}}{{1 - {\eta _A}}}} \right)}^n} + } \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\left. {{d_A} - 1} \right]\frac{1}{{{I_0}\left( {2\mu } \right)}}\frac{{{\mu ^{2n}}}}{{{{\left( {n!} \right)}^2}}},\\ c_n^z = \left( {1 - {d_A}} \right){\left( {1 - {\eta _A}} \right)^n}\left[ {{{\left( {\frac{{1 - t{\eta _A}}}{{1 - {\eta _A}}}} \right)}^n} + } \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\left. {{d_A} - 1} \right]\frac{1}{{{I_0}\left( {2\mu } \right)}}\frac{{{\mu ^{2n}}}}{{{{\left( {n!} \right)}^2}}}. \end{array} $

(13)

1.3 密钥生成率计算

当Alice发送ρ_l量子态脉冲时，系统的总计数率和误码可表示为

$ {S_l} = \sum\limits_{k \ge 0} {f_k^l{Y_k}} ,\left( {l = x,y,z} \right), $

(14)

$ {T_l} = \sum\limits_{k \ge 0} {f_k^l{t_k}} ,\left( {l = x,y,z} \right). $

(15)

式中：${T_l} = {E_l}{S_l}, {t_k} = {e_k}{Y_k}, {E_l} $为总误码率，e_k为k光子对应的误码率.

易证明上述所用的HSPS和HPCS改进光源满足如下条件

$ \frac{{f_n^z}}{{f_n^y}} \ge \frac{{f_2^z}}{{f_2^y}} \ge \frac{{f_1^z}}{{f_1^y}},\frac{{f_n^y}}{{f_n^x}} \ge \frac{{f_2^y}}{{f_2^x}} \ge \frac{{f_1^y}}{{f_1^x}},\left( {n \ge 2,f = a,b,c} \right). $

(16)

故参考文献[23]可得出单光子计数率Y₁下界的通用公式为

$ {\underline Y _1}\left( {x,y} \right) = \frac{{f_2^y{S_x} - f_2^x{S_y} + \left( {f_2^xf_0^y - f_2^yf_0^x} \right){Y_0}}}{{f_1^xf_2^y - f_1^yf_2^x}}. $

(17)

估算出单光子误码率e₁上界.为简化计算，先定义如下表达式

$ \begin{array}{l} G\left( {i,j,k} \right) = \left( {g_i^x - g_j^x} \right)\left( {g_j^y - g_k^y} \right) - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {g_i^y - g_j^y} \right)\left( {g_j^x - g_k^x} \right), \end{array} $

(18)

其中，

$ g_m^l = \frac{{f_m^l}}{{f_m^z}},\left( {m \ge 1,l = x,y,z,f = a,b,c} \right). $

(19)

由于本方案的HSPS和HPCS改进光源已满足条件(16)，故易证明只要k－j≥j－i≥0，则有

$ G\left( {i,j,k} \right) \ge 0. $

(20)

对于单光子误码率e₁来说，以往的估计中，基本是将所有误码都简单看成由单光子脉冲造成，从而得到一个比较粗略的e₁上界.而本方案使用的原始双模态光源虽只产生一个强度的光脉冲，但经改造后得到了4个非零量子态，所以根据文献[23]，利用其中3个态(x、y、z态)就能推导出更精确的e₁上界.

首先，利用式(15)消除变量可得

$ {t_1} = {{\bar t}_1} + \sum\limits_{k \ge 4} {{h_{{t_1}}}\left( k \right){t_k}} , $

(21)

其中，

$ \begin{array}{l} {{\bar t}_1} = \frac{{\left( {f_2^yf_3^z - f_2^zf_3^y} \right){T_x} - \left( {f_2^xf_3^z - f_2^zf_3^x} \right){T_y}}}{{f_1^zf_2^zf_3^zG\left( {1,2,3} \right)}} + \\ \;\;\;\;\;\;\frac{{\left( {f_2^xf_3^y - f_2^yf_3^x} \right){T_z} + \left( {f_2^xf_3^z - f_2^zf_3^x} \right)f_0^y{Y_0}{e_0}}}{{f_1^zf_2^zf_3^zG\left( {1,2,3} \right)}} + \\ \;\;\;\;\;\;\frac{{\left( {f_2^zf_3^y - f_2^yf_3^z} \right)f_0^x + \left( {f_2^xf_3^y - f_2^yf_3^x} \right)}}{{f_1^zf_2^zf_3^zG\left( {1,2,3} \right)}}{Y_0}{e_0}, \end{array} $

(22)

$ {h_{{t_1}}}\left( k \right) = - \frac{{G\left( {2,3,k} \right)}}{{G\left( {1,2,3} \right)}},\left( {k \ge 4} \right). $

(23)

结合式(20)可知，对于所有k≥4，均满足h_t1(k)≤0，由此可得式(22)即为t₁的上界，故e₁上界可表示为

$ {{\bar e}_1} = \frac{{{{\bar t}_1}}}{{{{\underline Y }_1}}}. $

(24)

最后，由文献[22]的密钥生成率公式计算出该系统的最终密钥生成率为

$ R \ge a_1^z\underline Y _1^Z\left[ {1 - H\left( {\bar e_1^X} \right)} \right] - {S^z}fH\left( {{E^z}} \right). $

(25)

式中：上标$ {\bar Z}$、X分别表示Z基和X基，由于它们是相互独立的，因此在前文推导过程中并未额外标明. S^z和E^z为Alice端选择z态时对应的总计数率和总误码率，均可由实验测得^[30]. f表示实际纠错算法效率，H₂(x)表示二进制香农熵函数，且${H_2}\left( x \right){\rm{ }} = - x{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( x \right){\rm{ }} - {\rm{ }}\left( {1 - x} \right){\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {1 - x} \right){\rm{ }}. $为简化运算，此处仅用z态来提取密钥，但事实上所有探测事件X_i(i=1, 2, 3, 4)对应的信号脉冲都可用来提取密钥，从而使系统性能得到更大程度地提升.

2 仿真结果与分析

对最终密钥生成率进行数值计算，并通过数值仿真比较分析本文方案与已有的传统诱骗态QKD方案性能，同时讨论本方案密钥率与发送端探测器效率之间的关系.

参考文献[20, 24]中的线性模型，可估算出观测到的系统计数率和误码率：

$ {Y_n} = 1 - \left( {1 - {Y_0}} \right){\left( {1 - \eta } \right)^n}, $

(26)

$ {e_n} = \frac{{{e_0}{Y_0}{{\left( {1 - \eta } \right)}^n} + {e_d}\left[ {1 - {{\left( {1 - \eta } \right)}^n}} \right]}}{{1 - \left( {1 - {Y_0}} \right){{\left( {1 - \eta } \right)}^n}}}. $

(27)

式中：η=η_B×10^－αL/10为全局传输效率，η_B为Bob端的探测效率，α为信道的损耗系数，设为0.2 dB/km，L为传输距离.据此可得出不同量子态的总计数率S^l和总误码率E^l(l=x, y, z).主要仿真参数^[23-24]见表 1，信号态则根据传输距离选用最优信号态强度.

2.1 与其他QKD方案的性能比较

为便于比较，传统QKD方案的诱骗态依次设为0、μ₁=0.1.仿真结果如图 2~4所示，图中各曲线分别表示的是：1)本文方案——基于泊松分布的HSPS光源、基于热分布的HSPS光源以及基于HPCS光源的单强度QKD改进方案; 2)基于WCS光源的3强度QKD方案^[23];3)基于HSPS光源的3强度QKD方案^[23].

从图 2可看出：1)不论采用哪种双模态光源，本文方案的e₁上界都明显小于WCS或HSPS 3强度传统QKD方案.这是因为本方案虽只产生单一强度的光脉冲，但经改造发送端后，获得了4个可参与系统参数估计的脉冲集合，从而能得到更加精确的e₁上界. 2)对于本文方案来说，采用HPCS的e₁上界要略优于HSPS，而采用泊松分布的HSPS则要优于热分布的HSPS，但三者都比较相近.

从图 3可看出：1)基于泊松分布HSPS和HPCS的本文方案的最优信号态强度要优于WCS和HSPS 3强度方案，而基于热分布HSPS的本文方案总体要略低于上述两种传统方案. 2)对于采用不同光源的本文方案，最优信号态强度从大到小依次为：HPCS、泊松分布的HSPS以及热分布的HSPS，且HPCS的最优信号态强度接近于1.而信号态强度越大，可使密钥率在一定范围内得到提高.

图 4表明：1)基于不同光源的本文方案的最大安全距离都为198.6 km，这均要高于WCS 3强度方案(168 km)和HSPS 3强度方案(191 km). 2)基于HPCS的本文方案的密钥率最大，均要优于其他4种方案.这主要是因为HPCS对应的最优信号态强度最大.且基于泊松分布HSPS的本文方案的密钥率要高于热分布HSPS. 3)WCS 3强度方案和其他3种HSPS方案(包括本文方案)的性能曲线都存在一个交点.在交点之前，WCS方案的密钥率要略高于HSPS方案，在交点之后则相反.这一差距主要是由HSPS中多光子脉冲比例大于WCS所导致，但是HSPS可利用标记光子数法来降低暗计数的影响，延长有效传输距离.

综上所述，本文方案虽只采用单一强度的脉冲，却能使系统性能得到提升.且若采用HPCS光源，此方案可在最大程度上优化系统性能，获得最佳的密钥生成率和最大的安全传输距离.

2.2 QKD改进方案密钥率与发端探测效率的关系

假定Alice端的两个探测器完全相同，其探测效率η_A依次取为0.1、0.3、0.6、0.9，其他仿真参数与表 1一致.通过对密钥生成率的数值仿真，可得到基于不同光源的本文方案在发送端不同探测效率条件下的性能曲线，见图 5(a)~(c).

从图 5可看出，当Alice端探测器的探测效率η_A从0.1变化到0.9时，无论采用哪种双模态光源，本文方案的最大安全距离并未发生变化，但不同光源对应的密钥生成率却得到了逐步提升.由于探测效率越高，就有越多的非空脉冲被成功探测，这使得在Alice端划分信号态的4类探测事件对应的概率增大，从而提高了该系统的性能.

3 统计波动分析

在实际QKD系统中，生成的量子密钥往往都是有限长的，而密钥有限长效应会引入统计波动问题，从而降低密钥生成率和安全传输距离.因此，在实际系统的参数估计过程中需要考虑数据有限长效应.本节将采用文献[30]中的有限密钥分析法对本文方案进行统计波动分析.

根据标准波动理论，可得

$ X = E\left[ X \right] + \delta , $

(28)

$ \Pr \left( {\left| {X - E\left[ X \right]} \right| \ge \Delta } \right) \le \varepsilon . $

(29)

式中：$X = \frac{1}{n}\sum\nolimits_{i = 1}^n {} {X_i} $为变量X_i的经验均值，$E[X] $为X的期望值，$ \delta \in \left[ { - \mathit{\Delta} , \hat {\mathit{\Delta}} } \right], \mathit{\Delta} = I\left( {X, {\varepsilon ^4}/16} \right){\rm{ , }}\hat {\mathit{\Delta}} = I\left( {X, {\varepsilon ^{3/2}}} \right)$，其中$ I\left( {a, b} \right){\rm{ }} = \sqrt {2a{\rm{ln}}\left( {{b^{ - 1}}} \right)} $.

若总脉冲数(即数据长度)记为N，可知$ N{{\hat S}_{{\rm{ }}l}}$为实际观测到的事件l=x, y, z被Bob成功探测的次数，$N{{\hat T}_{{\rm{ }}l}} $则为相应的误码数，其与理论估计值间以1－2ε的概率满足如下关系

$ N{{\hat S}_l} = N{S_l} + {\delta _l},N{{\hat T}_l} = N{T_l} + {{\delta '}_l}. $

(30)

其中：$ {\delta _l} \in \left[ { - {{\mathit{\Delta}} _l}, {{\mathit{\hat \Delta} }_l}} \right], {{\mathit{\Delta}} _l} = I\left( {N{{\hat S}_{{\rm{ }}l}}, {\varepsilon ^4}/16} \right){\rm{ , }} {\mathit{\hat \Delta}} = I\left( {N{{\hat S}_{{\rm{ }}l}}, {\varepsilon ^{3/2}}} \right){\rm{ }}$且${{\delta '}_l} \in \left[ { - {{\mathit{\Delta} '}_l}, {{ \mathit{\hat \Delta} '}_l}} \right], {{\mathit{\Delta} '}_l} = I\left( {N{{\hat T}_{{\rm{ }}l}}, {\varepsilon ^4}/16} \right){\rm{ , }}{\mathit{\Delta}} = I\left( {N{{\hat T}_{{\rm{ }}l}}, {\varepsilon ^{3/2}}} \right) $.

为简化计算，式(30)可写为

$ {{\hat S}_l} - \frac{{{{\hat \Delta }_l}}}{N} \le {S_l} \le {{\hat S}_l} + \frac{{{\Delta _l}}}{N},{{\hat T}_l} - \frac{{{{\hat \Delta '}_l}}}{N} \le {T_l} \le {{\hat T}_l} + \frac{{{{\hat \Delta '}_l}}}{N}. $

(31)

由此，可得到如下不等式：

$ \begin{array}{l} {{\hat S}_l}\left( {1 - \Delta _1^l} \right) \le {S_l} \le {{\hat S}_l}\left( {1 - \Delta _2^l} \right),\\ {{\hat T}_l}\left( {1 - \Delta _3^l} \right) \le {T_l} \le {{\hat T}_l}\left( {1 + \Delta _4^l} \right). \end{array} $

(32)

其中：

$ \Delta _1^l = \sqrt {2\ln \left( {{\varepsilon ^{ - 3/2}}} \right)/N{{\hat S}_l}} ,\Delta _2^l = \sqrt {2\ln \left( {16{\varepsilon ^{ - 4}}} \right)/N{{\hat S}_l}} , $

且

$ \Delta _3^l = \sqrt {2\ln \left( {{\varepsilon ^{ - 3/2}}} \right)/N{{\hat T}_l}} ,\Delta _4^l = \sqrt {2\ln \left( {16{\varepsilon ^{ - 4}}} \right)/N{{\hat T}_l}} . $

再结合式(17)、(22)和(24)，可得统计波动下的Y₁下界和e₁上界：

$ {\underline{\underline Y} _1} = \frac{{f_2^y{S_x}\left( {1 - \Delta _1^x} \right) - f_2^x{S_y}\left( {1 - \Delta _2^y} \right) + \left( {f_2^xf_0^y - f_2^yf_0^x} \right){{\underline Y }_0}}}{{f_1^xf_2^y - f_1^yf_2^x}}, $

(33)

$ {\overline{\overline e} _1} = \frac{{{{\overline{\overline t} }_1}}}{{{{\underline{\underline Y} }_1}}}, $

(34)

其中：

$ \begin{array}{l} {\overline{\overline t} _1} = \frac{{\left( {f_2^yf_3^z - f_2^zf_3^y} \right){{\hat T}_x}\left( {1 + \Delta _4^x} \right)}}{{f_1^zf_2^zf_3^zG\left( {1,2,3} \right)}} - \\ \;\;\;\;\;\;\frac{{\left( {f_2^xf_3^z - f_2^zf_3^x} \right){{\hat T}_y}\left( {1 - \Delta _3^y} \right)}}{{f_1^zf_2^zf_3^zG\left( {1,2,3} \right)}} + \\ \;\;\;\;\;\;\frac{{\left( {f_2^xf_3^y - f_2^yf_3^x} \right){{\hat T}_z}\left( {1 + \Delta _4^z} \right)}}{{f_1^zf_2^zf_3^zG\left( {1,2,3} \right)}} + \\ \;\;\;\;\;\;\frac{{\left( {f_2^xf_3^z - f_2^zf_3^x} \right)f_0^y{{\bar Y}_0}{e_0}}}{{f_1^zf_2^zf_3^zG\left( {1,2,3} \right)}} + \\ \;\;\;\;\;\;\frac{{\left( {f_2^zf_3^y - f_2^yf_3^z} \right)f_0^x + \left( {f_2^xf_3^y - f_2^yf_3^x} \right)}}{{f_1^zf_2^zf_3^zG\left( {1,2,3} \right)}}{{\bar Y}_0}{e_0}. \end{array} $

(35)

$ \begin{array}{l} 且~{\underline Y _0} = {Y_0}\left( {1 - \sqrt {2\ln \left( {{\varepsilon ^{ - 3/2}}} \right)/N{Y_0}} } \right),\\ {{\bar Y}_0} = {Y_0}\left( {1 + \sqrt {2\ln \left( {16{\varepsilon ^{ - 4}}} \right)/N{Y_0}} } \right). \end{array} $

最后将式(33)~(35)代入式(25)中，可得统计波动条件下的最终密钥生成率

$ R\ge a_{1}^{z}\underline{\underline{Y}}_{1}^{z}\left[ 1-H\left( \overline{\bar{e}_{1}^{X}} \right) \right]-{{S}^{z}}fH\left( {{E}^{z}} \right). $

(36)

设定系统的不安全系数ε=10^-7，Alice发送总脉冲数N =10⁹~10¹¹.仿真结果如图 6(a)~(c)所示，分别为本文方案采用不同双模态光源时，不同数据长度对应的密钥生成率的变化曲线，其中实线表示理想情况下即数据无限长时的密钥生成率，虚线则表示数据有限长时对应的密钥生成率.

从图 6可看出，1)对本文方案来说，不论采用哪种双模态光源，在当前的实验条件下，数据有限长效应并未导致密钥生成率的急剧下滑，且在较远距离处仍能获得较高的密钥生成率. 2)就不同光源而言，对比图 6(a)~(c)可知，统计波动对基于HPCS的本文方案的影响要小于HSPS的.对于HPCS光源，总脉冲数N=10⁹时，本方案的最大安全距离就可达164 km; 总脉冲数N=10¹¹时，最大安全距离达190 km，且在182 km光纤链路上仍具有较大的密钥生成率，其性能比较接近理想情况.

4 结论

1) 基于BB84协议，提出一种双模态光源被动诱骗态量子密钥分配改进方案.该方案无需调制脉冲强度，只需发送单一强度的双模态光源，其中标记态在发端被分束和检测后得到4类探测结果，据此将信号态分成4个脉冲集合来估计参数，所以本方案能获得更精确的单光子计数率下界和误码率上界.

2) 基于HSPS光源和HPCS光源，在密钥生成率、误码率和最优信号态强度方面对此方案进行了比较分析，讨论了发端不同探测效率对该方案的影响，同时分析了实际系统有限码长效应的影响.

3) 仿真结果表明：本方案性能在误码率和安全传输距离方面均优于现有基于HSPS和WCS的3强度QKD方案; 基于HPCS的本文方案可使密钥生成率得到显著提升，其性能不仅优于其他传统方案，总体来说也优于基于HSPS的本文方案，但两者的安全传输距离相同，均可达198.6 km; 随着发端探测效率的增大，本方案性能也随之明显提高; 在统计波动条件下，本方案在远距离处仍具有较大的密钥生成率，且数据长度达到10⁹以上即可保证较大的安全传输距离(如164 km以上).

4) 与其他多强度QKD方案相比，本方案仅需采用单一强度脉冲，从而避免了光强调制误差，降低了系统实现难度，易于工程实现.