冷却塔复杂的结构外观和内部构造的特殊性导致其动力特性复杂^[1-3]，自振频率是衡量动力特性的关键参数，目前主要通过有限元计算或现场实测来获取，计算过程复杂、耗时长且方法单一，缺乏简单有效的冷却塔自振频率估算公式.目前已有研究成果^[4-5]和规范^[6]中鲜有提出自振频率的估算公式，也并未涉及自振频率参数的敏感性分析，难以通过快速估算结构自振频率的方法来评估结构参数对动态响应的影响程度.因此探究不同参数下动力特性的敏感性，通过附加敏感因子权重值拟合出自振频率的估算公式，并基于现场实测模态识别结果进行自振频率估算公式的精细化验证具有重要的理论和工程意义.

针对大型冷却塔动力特性的研究，文献[7]基于现场实测数据对冷却塔动力特性进行分析；文献[8]发现冷却塔低阶频率主要受环向刚度控制，子午线型与结构整体抗倾覆弯矩有关；文献[9]通过建立与渡桥电厂冷却塔相同壁厚、高度、筒底直径和人字柱等参数的冷却塔，分析两者动力特性和风致响应的差异，结果表明塔型不合理是渡桥电厂冷却塔倒塌的重要原因之一；文献[10-11]对3种不同特征尺寸的冷却塔进行了动力特性分析，研究发现基频较低的冷却塔共振响应占据主导地位，随基频的降低风振响应的动力放大作用愈加显著.此外，针对结构动力特性的敏感性分析，主要集中在大跨度桥梁和屋盖，文献[12]提出了基于高斯过程模型的全局灵敏度分析方法，在此基础上分析了实桥动力特性不确定性的灵敏度；文献[13]针对某大跨屋盖采用扰动法和拉丁超立方抽样法进行多参数下结构自振频率的敏感性分析，结果表明两种方法分析的6种设计参数对结构自振频率的影响规律一致.

鉴于此，以国内某179 m高的大型冷却塔为基准塔，首先通过改变模型典型结构参数获得基准塔38个模型的动力特性，同时提炼出基频随结构参数的变化规律.然后，采用扰动法和拉丁超立方抽样两种方法进行结构自振频率参数的敏感性分析，获取了不同阶数下各结构参数的敏感因子.在此基础上，首次拟合出考虑敏感因子权重值的多参数基频的实用估算公式.最后，选取国内8座典型塔高和塔型的冷却塔进行现场测试和模态识别，利用8座冷却塔结构参数进行拟合优度分析.通过误差分析验证本文提出的自振频率估算公式精度高、稳定性好.

1 基准塔建模及动力特性分析 1.1 有限元建模

基准塔塔高179 m，喉部直径为98.6 m，进风口高度为27.8m.采用大型通用软件ANSYS建立基准塔模型，整体和局部模型如图 1所示.其中塔筒采用Shell63单元，环向和子午向分别划分192和118个单元；环基及与环基连接的48对X型柱均采用Beam188单元；X型支柱与塔筒下部连接采用节点自由度耦合的方式，每个环基下部采用Combin14单元，每根桩基均采用3个力弹簧单元和3个力矩弹簧单元分别模拟桩沿竖向、环向、径向、绕竖向、绕环向和绕径向的作用，弹簧单元一端与环基刚性连接，另一端固结约束.

1.2 自振特性分析

采用Block Lanczos方法求解基准塔的自振频率和振型，表 1和图 2分别给出了冷却塔前10阶自振频率分布曲线和典型振型列表.该基准塔的基频为0.678 Hz，前10阶频率均小于1.0 Hz；结构振型复杂且具有明显的三维特征，具体表现为：子午向均存在至少2个谐波，随阶数增加底部谐波所处高度逐渐降低，且环向谐波数随阶数增加而增大.

2 自振频率的参数分析

为研究塔高、喉部高度、喉部直径、进风口高度和支柱截面对冷却塔自振特性的敏感性，以基准塔为例，在保持其它参数不变并控制单一变量的前提下，对各个模型进行动力特性分析，参数分析如下：

1) 塔高：在现有设计高度范围内等间距取8个数据进行分析，各种高度下喉部始终位于总高度的0.75倍处；

2) 喉高比：在喉高比0.75~0.80范围内，每隔0.01取一个数据进行计算；

3) 喉部直径：在保证其它参数不变的基础上，将喉部直径等量增加0.05 m；

4) 进风口高度：以10 m的进风口高度为基准，每隔2 m进行等间距取值；

5) 支柱截面积：在1.0~2.6 m²的支柱截面积范围内等间距取值进行分析.

图 3给出不同高度、喉高比、喉部直径、进风口高度和支柱截面积下冷却塔的基频结果，在此基础上拟合出基频随各参数变化的分布曲线.由图 3可知：

1) 基频随冷却塔高度增加逐渐减小，最大减幅为55%，说明塔高与自振频率呈负相关关系且相关性较强；

2) 随喉高比的增大结构基频大致呈下降趋势，喉高比与结构自振频率呈负相关，在0.76~0.79范围内出现了平缓区；

3) 随喉部直径的增加基频逐渐增大，喉部直径与结构自振频率呈正相关；

4) 进风口高度的增加使得结构基频呈非线性增加的趋势，最大增幅仅为6%，进风口高度与基频呈正相关；

5) 支柱截面积与结构自振频率呈对数律分布，当截面积增大至一定数值(2 m²)，结构基频增长趋势变缓，最大增幅为9.8%，与塔高相比，自振频率与支柱截面积相关性较弱.

3 自振频率参数的敏感性分析 3.1 拉丁超立方抽样法

扰动法需假定其它参数为定值，其结果会随着基准状态的不同而改变.拉丁超立方抽样^[13](latin hypercube sampling, LHS)方法是一种高效高精的均匀抽样方法，LHS方法步骤为：1)将每个变量x_i分为等概率的K个区间，每个区间的概率为1/K，取每个区间的中点作为此变量的一个样本代表x_i^k(图 4)；2)从每个变量x_i提取一个样本代表x_i^k按照随机编号排列，对所有变量的样本x_i都按照随机编号进行排列，从而形成N个随机排列，每个排列均包含全部变量的一个样本代表x_i^k.在计算中取K=4N/3就能满足精度要求.本文随机变量数N=5，故取K=4N/3≈6，相应的随机编号见表 2.

自振频率的计算参数x₁、x₂…及频率的相关矩阵为

$ \mathit{\boldsymbol{C}} = \left[{\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{r}}_{11}}}&{{\mathit{\boldsymbol{r}}_{12}}}& \cdots &{{\mathit{\boldsymbol{r}}_{1k}}}&{{\mathit{\boldsymbol{r}}_{1y}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{r}}_{21}}}&{{\mathit{\boldsymbol{r}}_{22}}}& \cdots &{{\mathit{\boldsymbol{r}}_{2k}}}&{{\mathit{\boldsymbol{r}}_{2y}}}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots \\ {{\mathit{\boldsymbol{r}}_{k1}}}& \cdots&\cdots &{{\mathit{\boldsymbol{r}}_{kk}}}&{{\mathit{\boldsymbol{r}}_{ky}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{r}}_{y1}}}&{{\mathit{\boldsymbol{r}}_{y2}}}& \cdots &{{\mathit{\boldsymbol{r}}_{yk}}}&{{\mathit{\boldsymbol{r}}_{yy}}} \end{array}} \right], $

(1)

式中：C为各计算参数x₁、x₂…及因变量f的相关矩阵，r_ij为简单相关系数.对式(1)求逆矩阵得

$ {\mathit{\boldsymbol{C}}^{- 1}} = \left[{\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{c}}_{11}}}&{{\mathit{\boldsymbol{c}}_{12}}}& \cdots &{{\mathit{\boldsymbol{c}}_{1k}}}&{{\mathit{\boldsymbol{c}}_{1y}}}\\ \cdots&\cdots&\cdots &{{\mathit{\boldsymbol{c}}_{2k}}}&{{\mathit{\boldsymbol{c}}_{2y}}}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots \\ {{\mathit{\boldsymbol{c}}_{k1}}}& \cdots&\cdots &{{\mathit{\boldsymbol{c}}_{kk}}}&{{\mathit{\boldsymbol{c}}_{ky}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{c}}_{y1}}}&{{\mathit{\boldsymbol{c}}_{y2}}}& \cdots &{{\mathit{\boldsymbol{c}}_{yk}}}&{{\mathit{\boldsymbol{c}}_{yy}}} \end{array}} \right], $

(2)

则偏相关系数为

$ {P_{{x_i}, y}} =-\frac{{{c_{{\rm{iy}}}}}}{{\sqrt {{c_{{\rm{ii}}}}{c_{{\rm{yy}}}}} .}} $

(3)

图 5为通过LHS求得的各设计参数的敏感因子：1)塔高和喉部高度与结构自振频率呈负相关，喉部直径、进风口高度和支柱截面积与自振频率呈正相关；2)冷却塔高度对结构自振频率的敏感性较大，敏感因子均在-1.5~-2.0，喉部高度、喉部直径和支柱截面积的敏感因子均较小，在±0.0上下波动；3)各设计参数对结构自振频率的敏感度按从大到小的排列顺序：|H|＞|B|＞|A|＞|R|＞|J|.

3.2 自振频率的实用估算公式

上节分析表明：基频与塔高呈反比，与支柱截面积呈对数律形式增长，与喉部直径呈指数律形式增长，而与喉高比和进风口高度呈非线性关系.为便于工程应用与实现，选取敏感性较大的结构参数(塔高、喉高和支柱截面积)为目标函数进行多项式拟合，拟合给出超大型冷却塔基频实用估算方式为

$ \begin{array}{l} {F_f} = {\beta _1}\frac{{25.43}}{{H-47.80}} + {\beta _2} \times 42.14{{\rm{e}}^{-{{\left( {\frac{{B-0.76H}}{{1.13H}}} \right)}^2}}} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\beta _3}\frac{{7.51A - 3.60}}{{A - 0.38}}, \end{array} $

(4)

式中${\beta _1} = \frac{{\left| H \right|}}{{\left| H \right| + \left| B \right| + \left| A \right|}}$、${\beta _2} = \frac{{\left| B \right|}}{{\left| H \right| + \left| B \right| + \left| A \right|}}$和${\beta _3} = \frac{{\left| A \right|}}{{\left| H \right| + \left| B \right| + \left| A \right|}}$分别代表塔高、喉高和支柱截面积敏感因子的权重值.具体拟合公式的误差率分析将基于现场实测获取的8座冷却塔数据进行验证.

由敏感性分析可知：塔高对结构自振频率的影响远大于其它参数，为便于计算将估算公式进行简化：

$ {F_f} = \frac{{25.43}}{{H-47.80}}. $

(5)

4 现场实测及结果分析 4.1 测试冷却塔概况及测点布置

综合考虑冷却塔高度、塔型、建设年限及所处地域等因素，选择国内8座典型塔高和塔型的冷却塔进行现场实测，图 6给出了现场实测8座冷却塔具体地理位置信息，图 7给出了冷却塔测试现场传感器的安装示意图，表 3出了8座冷却塔详细结构参数列表.

4.2 模态参数识别及有限元对比分析 4.2.1 模态识别结果

图 8分别给出了基于ARAM^[14]、ITD^[15]和STD^[16]3种方法识别得到的冷却塔前10阶频率分布曲线.由图 8可知，采用不同模态识别方法获得的前10阶频率结果基本一致，识别得到的基频最大相差0.12 Hz，自振频率最大差值为0.15 Hz，且多种识别方法可有效填补单一方法产生的模态丢失问题.

4.2.2 实测与有限元结果对比

图 9给出了测试塔前10阶实测结果与有限元结果对比曲线.有限元计算的频率与现场实测识别得到的频率结果相近，基频最大相差4.4%，前10阶频率最大相差8.2%；测试冷却塔基频分布范围均在0.6~1.9 Hz，不同塔高和塔型冷却塔动力特性存在差异，塔A和塔B高度明显较其余六塔低，二者频率分布与其余塔存在较大的差异，基频大于1.0 Hz.

5 拟合优度分析

图 10给出了8座冷却塔基频的实测值与估算值的对比结果.由图 10可知：1)塔A至H结构基频逐渐减小，其拟合优度逐渐增大；2)除塔A外其余7座冷却塔拟合优度均在0.9以上，实用拟合公式能很好地估算结构基频，可信度较高.

为检验估算式(4)中多个参数的关联性，以8座冷却塔为目标，其中f₁和f₂分别表示为结构基频有限元计算和拟合公式估算结果，见表 4.基频最大误差为4.28%，最小误差为2.38%，结果表明拟合公式在参数关联情况下仍具有较高的适用性.

6 结论

1) 冷却塔基频随总高度和喉部高度的增加逐渐减小，而随喉部直径、进风口高度和支柱截面积的增加逐渐增大；以塔高为目标计算所得的敏感因子显著大于其它4个参数下的敏感因子，基于精度较高的拉丁超立方抽样法获取的敏感因子大小排序为：|H|＞|B|＞|A|＞|R|＞|J|.

2) 冷却塔自振频率与塔高呈线性反比，与支柱截面积呈对数律形式增长，与喉部直径呈指数律形式增长，而与喉高比和进风口高度呈非线性关系.

3) 有限元计算的频率与现场实测识别结果相近，基频最大相差4.4%，测试塔基频分布范围均在0.6~1.9 Hz；不同塔高和塔型的冷却塔动力特性存在明显差异，高度较高的塔A和B自振频率显著大于其余6塔.

4) 基于多项式拟合原理，提出考虑敏感因子权重值的多参数基频的实用估算公式，采用8座实测塔计算结果验证了基频实用估算公式的有效性，基频拟合优度最大值为0.996，其中各目标塔拟合优度的均值和均方差分别为0.948和0.047，本文提出的实用拟合公式能很好地估算结构自振频率，可信度较高.