现代航天技术的飞速发展对航天器姿态系统的响应速度和控制精度提出了越来越高的要求.现有的绝大多数航天器姿态控制设计方法都属于无限时间区间上的渐近控制方法，所得的结果中，闭环系统的状态最快的收敛速度为指数收敛^[1-5].为了获得更好的收敛性能，有限时间控制理论便被引入到了航天器姿态控制设计中^[6].所谓有限时间控制，就是使闭环系统的状态有限时间收敛的控制技术，它是一种时间最优的控制技术^[7].除此以外，已有的研究成果表明，有限时间稳定闭环控制系统与非有限时间稳定闭环控制系统相比，具有更好的鲁棒性能和抗扰动性能^[8-10].正因为如此，近年来，有限时间控制技术引起了控制专家和学者们的广泛兴趣，其在航天器姿态控制中的应用研究也得到了迅猛的发展^[11-15].

需要指出的是，上述的文献均没有考虑输入死区非线性的影响.事实上，输入死区是广泛存在于航天器的执行机构(比如反作用力飞轮或推力器)中的一种典型非线性，而且输入死区非线性的存在会严重影响航天器姿态控制的性能^[16].因此，输入死区非线性的影响是航天器高精度姿态控制设计中必须要考虑的一个重要因素.到目前为止，已有一些文献针对具有输入死区非线性的航天器姿态控制问题进行了研究.文献[17-18]针对具有模型不确定型、外部干扰和输入死区非线性的航天器姿态系统进行了鲁棒控制策略研究.所给的结果是在航天器的欧拉角较小，因而其控制系统模型可以写为一个线性系统加上非线性扰动形式的情况下获得的.文献[19]针对具有未知输入死区非线性的航天器姿态系统提出了一种自适应控制策略.该结果建立在用欧拉角表示的姿态运动学方程基础上，因而不适用于具有较大角度变化的航天器姿态控制.文献[16]针对输入死区非线性引入一个光滑的逆函数实现了对其影响的自适应补偿.文献[20]则考虑了执行机构同时含有输入死区和饱和非线性时航天器姿态的自适应控制问题.文献[16-20]仍然采用了无限时间区间上的渐近控制方法.考虑到有限时间控制技术重要的理论意义与实际应用价值，本文将进一步考虑含有不确定性和输入死区非线性的航天器姿态控制问题.基于时变滑模方法，提出一种有限时间姿态镇定控制算法，保证闭环系统的信号有界并且保证姿态误差在指定的时间内收敛到并以指定的精度保持在原点附近，并通过数值仿真来验证所提控制方法的有效性.

1 问题描述

对航天器姿态运动的描述有多种方式，常见的包括经典的方向余弦、欧拉角和四元数等，以及后来发展起来的罗德里格参数(RPs)以及修正的罗德里格参数(MRPs).

修正的罗德里格参数定义如下：

$ \sigma = \frac{{{q_v}}}{{1 + {q_0}}}, $

式中q=[q₀ q_v^T]^T∈R×R³为航天器本体坐标系相对于惯性坐标系的单位四元数，满足关系式：q^Tq=q₀^T+q_v^Tq_v=1.由修正的罗德里格参数描述的航天器姿态运动学方程如下：

$ \dot \sigma = G\left( \sigma \right)\omega , $

(1)

式中，ω=[ω₁ ω₂ ω₃]^T为航天器的旋转角速率；矩阵G(σ)的定义如下：

$ \mathit{\boldsymbol{G}}\left( \sigma \right) = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{1 - {\sigma ^{\rm{T}}}\sigma }}{2}{I_3} + \mathit{\boldsymbol{S}}\left( \sigma \right) + \sigma {\sigma ^{\rm{T}}}} \right], $

(2)

其中

$ \mathit{\boldsymbol{S}}\left( \sigma \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - {\sigma _3}}&{{\sigma _2}}\\ {{\sigma _3}}&0&{ - {\sigma _1}}\\ { - {\sigma _2}}&{{\sigma _1}}&0 \end{array}} \right], $

(3)

矩阵G(σ)具有如下性质：

$ {\sigma ^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{G}}\left( \sigma \right) = \left( {\frac{{1 + {\sigma ^{\rm{T}}}\sigma }}{4}} \right){\sigma ^{\rm{T}}}, $

(4)

$ {\mathit{\boldsymbol{G}}^{\rm{T}}}\left( \sigma \right)\mathit{\boldsymbol{G}}\left( \sigma \right) = {\left( {\frac{{1 + {\sigma ^{\rm{T}}}\sigma }}{4}} \right)^2}{I_3}. $

(5)

很显然，从式(2)、(4)和(5)可以得知，矩阵G(σ)是一个正定对称矩阵.

航天器的姿态动力学方程如下：

$ \mathit{\boldsymbol{J}}\dot \omega = - \mathit{\boldsymbol{S}}\left( \omega \right)\mathit{\boldsymbol{J}}\omega + u + {\tau _d}. $

(6)

式中：S(ω)的定义类似于式(3)中的S(σ)；正定对称矩阵J∈R^3×3为航天器的转动惯量矩阵；u=[u₁ u₂ u₃]^T为作用在航天器上的实际控制力矩，u=D(v), v=[v₁ v₂ v₃]^T表示控制力矩指令，即

$ \mathit{\boldsymbol{D}}\left( v \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{D_1}\left( {{v_1}} \right)}\\ {{D_2}\left( {{v_2}} \right)}\\ {{D_3}\left( {{v_3}} \right)} \end{array}} \right], $

(7)

其中D_i(·), i=1, 2, 3表示输入死区非线性，如图 1所示，D_i(·)的表达式如下：

$ {D_i}\left( {{v_i}} \right) = \left\{ \begin{array}{l} {g_{ir}}\left( {{v_i}} \right),\;\;\;\;\;{v_i} \ge {b_{ir}};\\ 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{b_{il}} < v < {b_{ir}};\\ {g_{il}}\left( {{v_i}} \right),\;\;\;\;\;{v_i} \le {b_{il}}. \end{array} \right. $

(8)

式中：b_il、b_ir分别为输入死区的折点；g_ir(v_i)、g_il(v_i)分别为连续函数；τ_d为干扰力矩，满足如下假设.

假设1  存在已知常数ρ₀使得‖τ_d‖≤ρ₀.

对于死区非线性，本文作如下假设.

假设2  g_ir(v_i)、g_il(v_i)分别为未知函数，但存在已知的常数m_i使之满足：

$ \begin{array}{l} {g_{il}}\left( {{v_i}} \right) = {m_i}\left( {{v_i} - {b_{il}}} \right) + {\delta _{il}}\left( {{v_i}} \right),{v_i} \le {b_{il}},\\ {g_{ir}}\left( {{v_i}} \right) = {m_i}\left( {{v_i} - {b_{ir}}} \right) + {\delta _{ir}}\left( {{v_i}} \right),{v_i} \ge {b_{ir}}, \end{array} $

(9)

式中，δ_il(v_i)、δ_ir(v_i)分别为未知但有界的函数，即存在已知常数δ_il和δ_ir满足|δ_il(v_i)|＜δ_il，|δ_ir(v_i)|＜δ_ir.

假设3  参数b_il、b_ir分别为未知，但是存在已知正常数b_il1和b_ir1使之满足：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {0 < - {b_{il}} \le {b_{il1}},}\\ {0 < {b_{ir}} \le {b_{ir1}}.} \end{array} $

(10)

根据假设2和假设3，死区非线性的表达式(8)可以重新写成下述形式：

$ {u_i} = {D_i}\left( {{v_i}} \right) = {m_i}{v_i} + {\Delta _i}\left( {{v_i}} \right), $

(11)

其中

$ {\Delta _i}\left( {{v_i}} \right) = \left\{ \begin{array}{l} - {m_i}{b_{il}} + {\delta _{il}}\left( {{v_i}} \right),\;\;\;\;{v_i} \le {b_{il}};\\ - {m_i}{v_i},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{b_{il}} < {v_i} < {b_{ir}};\\ - {m_i}{b_{ir}} + {\delta _{ir}}\left( {{v_i}} \right),\;\;\;\;{v_i} \ge {b_{ir}}. \end{array} \right. $

于是，有

|Δ_i(v_i)|≤ρ_i=m_imax{b_ir1, b_il1}+max{δ_il, δ_ir}, 式中ρ_i为已知的正常数.

定义：

$ \mathit{\boldsymbol{M}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_1}}&0&0\\ 0&{{m_2}}&0\\ 0&0&{{m_3}} \end{array}} \right],\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}\left( v \right)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{{{\varDelta} }}_1}\left( {{v_1}} \right)}\\ {{\mathit{{{\varDelta} }}_2}\left( {{v_2}} \right)}\\ {{\mathit{{{\varDelta} }}_3}\left( {{v_3}} \right)} \end{array}} \right], $

则

$ \mathit{\boldsymbol{u}} = \mathit{\boldsymbol{D}}\left( v \right) = \mathit{\boldsymbol{M}}v + \mathit{{ {\varDelta} }}\left( v \right), $

(12)

于是，航天器的姿态动力学方程可以写成：

$ \mathit{\boldsymbol{J}}\dot \omega = - \mathit{\boldsymbol{S}}\left( \omega \right)\mathit{\boldsymbol{J}}\omega + \mathit{\boldsymbol{M}}v + d\left( v \right), $

(13)

式中，d(v)=τ_d+Δ(v).令$\rho = \sqrt {\rho _0^2 + \rho _1^2 + \rho _2^2 + \rho _3^2} $，则有‖d(v)‖≤ρ.

本文控制设计的目标是：在给定的假设1~假设3的条件下，针对航天器的姿态系统(1)~(13)设计合适的控制律，使得闭环系统状态有界，并且使得航天器的姿态在指定的时间(设为T_f＞0)内到达并以指定的精度保持在原点附近.

2 控制设计

受文献[21-22]的启发，本文采用时变滑模控制方法进行有限时间控制算法的设计.

定义期望的罗德里格参数变化规律由函数λ:R_≥0→R³给出，该函数满足如下条件：

1) λ在[0, ∞)上二次连续可微；

2) 当t＞T时，λ(t)=0；

3) $\dot \lambda $(t), $\ddot \lambda $(t)∈L_∞³；

4) λ(0)=σ(0)且$\dot \lambda $(0)=$\dot \sigma $(0).

定义跟踪误差为：

$ \eta \left( t \right) = \sigma \left( t \right) - \lambda \left( t \right). $

(14)

构造时变滑模面如下：

$ s\left( t \right) = \dot \eta \left( t \right) + C\eta \left( t \right), $

(15)

式中，C=diag(c₁, c₂, c₃)，c_i＞0为设计参数.设计滑模控制律如下:

$ \begin{array}{l} v = {\left( {\mathit{\boldsymbol{G}}\left( \sigma \right){\mathit{\boldsymbol{J}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{M}}} \right)^{ - 1}}\left( { - \mathit{\boldsymbol{\dot G}}\left( \mathit{\boldsymbol{\sigma }} \right)\omega + \mathit{\boldsymbol{G}}\left( \mathit{\boldsymbol{\sigma }} \right){\mathit{\boldsymbol{J}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{S}}\left( \omega \right)\mathit{\boldsymbol{J}}\omega - } \right.\\ \;\;\;\;\left. {C\mathit{\boldsymbol{G}}\left( \sigma \right)\mathit{\boldsymbol{\omega }} + \mathit{\boldsymbol{\ddot \lambda }} + C\dot \lambda - K{\mathop{\rm sgn}} \left( s \right)} \right), \end{array} $

(16)

其中

$ {\mathop{\rm sgn}} \left( s \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathop{\rm sgn}} \left( {{s_1}} \right)}\\ {{\mathop{\rm sgn}} \left( {{s_2}} \right)}\\ {{\mathop{\rm sgn}} \left( {{s_3}} \right)} \end{array}} \right], $

K=diag(k₁, k₂, k₃), k_i≥ρ‖G_ri(σ)J^-1‖，这里，G_ri(σ)表示G(σ)的第i行组成的行向量.

对于闭环系统有如下结果.

定理1  在假设1~假设3的条件下，由式(1)、(13)及(16)所组成的闭环系统的状态有界，并且状态σ满足：当t＞T时，|σ_i(t)|=0.

证明  很容易求得：

$ \eta \left( 0 \right) = \sigma \left( 0 \right) - \lambda \left( 0 \right) = 0, $

$ \dot \eta \left( 0 \right) = \dot \sigma \left( 0 \right) - \dot \lambda \left( 0 \right) = 0, $

因此，

$ s\left( 0 \right) = \dot \eta \left( 0 \right) + C\eta \left( 0 \right) = 0. $

(17)

由式(1)、(13)、(15)、(16)可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\dot s = \mathit{\boldsymbol{\ddot \eta }}\left( t \right) + C\dot \eta \left( t \right) = \mathit{\boldsymbol{\ddot \sigma }} + C\dot \sigma - \mathit{\boldsymbol{\ddot \lambda }} - C\dot \lambda ,}\\ {\mathit{\boldsymbol{\dot G}}\left( \sigma \right)\omega + \mathit{\boldsymbol{G}}\left( \sigma \right)\dot \omega + C\mathit{\boldsymbol{G}}\left( \sigma \right)\omega - \mathit{\boldsymbol{\ddot \lambda }} - C\dot \lambda = }\\ { - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_1}{\mathop{\rm sgn}} \left( {{s_1}} \right)}\\ {{k_2}{\mathop{\rm sgn}} \left( {{s_2}} \right)}\\ {{k_3}{\mathop{\rm sgn}} \left( {{s_3}} \right)} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{G}}_{r1}}\left( \sigma \right){\mathit{\boldsymbol{J}}^{ - 1}}d}\\ {{\mathit{\boldsymbol{G}}_{r2}}\left( \sigma \right){\mathit{\boldsymbol{J}}^{ - 1}}d}\\ {{\mathit{\boldsymbol{G}}_{r3}}\left( \sigma \right){\mathit{\boldsymbol{J}}^{ - 1}}d} \end{array}} \right].} \end{array} $

定义

$ {V_i} = \frac{1}{2}s_i^2,i = 1,2,3 $

(18)

则有

$ \begin{array}{l} {{\dot V}_i} = - {k_i}{s_i}{\mathop{\rm sgn}} \left( {{s_i}} \right) + {s_i}{\mathit{\boldsymbol{G}}_{ri}}\left( \sigma \right){\mathit{\boldsymbol{J}}^{ - 1}}d \le \\ \;\;\;\;\;\; - {k_i}\left| {{s_i}} \right| + \rho \left\| {{\mathit{\boldsymbol{G}}_{ri}}\left( \sigma \right){\mathit{\boldsymbol{J}}^{ - 1}}} \right\|\left| {{s_i}} \right| \le 0, \end{array} $

由式(17)、(18)可知，V_i(t₀)=0.由此知

$ 0 \le {V_i}\left( t \right) \le {V_i}\left( {{t_0}} \right) = 0, $

因此，V_i(t)≡0，故s_i≡0.由此及式(15)可知

$ {{\dot \eta }_i} = - {c_i}{\eta _i}, $

故

$ {\eta _i}\left( t \right) = {{\rm{e}}^{ - {c_i}t}}{\eta _i}\left( 0 \right) = 0, $

于是，有σ_i(t)=η_i(t)+λ_i(t)=λ_i(t).考虑到当t＞T时，λ_i(t)=0，故当t＞T时，σ_i(t)=0.

此外，很容易得知系统的状态σ和ω有界，证明详细过程这里不再赘述.

考虑到上述控制律中用到了不连续的符号函数，这可能会产生闭环系统的抖振现象.因此，本文用连续的饱和函数代替不连续的符号函数，改进设计滑模控制律如下

$ \begin{array}{l} v = {\left( {\mathit{\boldsymbol{G}}\left( \sigma \right){\mathit{\boldsymbol{J}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{M}}} \right)^{ - 1}}\left( { - \mathit{\boldsymbol{\dot G}}\left( {{\sigma }} \right){{\omega }} + \mathit{\boldsymbol{G}}\left( {{\sigma }} \right){\mathit{\boldsymbol{J}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{S}}\left( {{\omega }} \right)\mathit{\boldsymbol{J}} \omega - } \right.\\ \;\;\;\;\left. {C\mathit{\boldsymbol{G}}\left( \sigma \right){{\omega }} + \mathit{\boldsymbol{\ddot \lambda }} + C\dot \lambda - K{\rm{SA}}{{\rm{T}}_\beta }\left( s \right)} \right), \end{array} $

(19)

其中

$ {\rm{SA}}{{\rm{T}}_\beta }\left( s \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{sa}}{{\rm{t}}_{{\beta _1}}}\left( {{s_1}} \right)}\\ {{\rm{sa}}{{\rm{t}}_{{\beta _2}}}\left( {{s_2}} \right)}\\ {{\rm{sa}}{{\rm{t}}_{{\beta _3}}}\left( {{s_3}} \right)} \end{array}} \right], $

式中, β_i＞0为设计参数.sat_βi(s_i)的定义如下：

$ {\rm{sa}}{{\rm{t}}_{{\beta _i}}}\left( {{s_i}} \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{s_i}}}{{{\beta _i}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{if}}\;\;\left| {{s_i}} \right| < {\beta _i};\\ {\rm{sign}}\left( {{s_i}} \right),\;\;{\rm{if}}\;\;\left| {{s_i}} \right| \ge {\beta _i}. \end{array} \right. $

对于相应的闭环系统有如下结果.

定理2  任意给定常数ε_i＞0, i=1, 2, 3，若设计参数满足β_i/c_i＜ε_i，则在假设1~假设3的条件下，由式(1)、(13)、(19)组成的闭环系统的状态有界，并且状态σ满足：当t＞T时，|σ_i(t)|＜ε_i.

证明  由式(1)、(13)~(15)、(19)可得

$ \dot s = - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_1}{\rm{sa}}{{\rm{t}}_{{\beta _1}}}\left( {{s_1}} \right)}\\ {{k_2}{\rm{sa}}{{\rm{t}}_{{\beta _2}}}\left( {{s_2}} \right)}\\ {{k_3}{\rm{sa}}{{\rm{t}}_{{\beta _3}}}\left( {{s_3}} \right)} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{G}}_{r1}}\left( \sigma \right){\mathit{\boldsymbol{J}}^{ - 1}}d}\\ {{\mathit{\boldsymbol{G}}_{r2}}\left( \sigma \right){\mathit{\boldsymbol{J}}^{ - 1}}d}\\ {{\mathit{\boldsymbol{G}}_{r3}}\left( \sigma \right){\mathit{\boldsymbol{J}}^{ - 1}}d} \end{array}} \right]. $

定义

$ {V_i} = \frac{1}{2}s_i^2,\;\;i = 1,2,3 $

则有

$ \begin{array}{l} {{\mathit{\boldsymbol{\dot V}}}_i} = - {k_i}s{\rm{sa}}{{\rm{t}}_{{\beta _i}}}\left( {{s_i}} \right) + s{\mathit{\boldsymbol{G}}_{ri}}\left( \sigma \right){\mathit{\boldsymbol{J}}^{ - 1}}d \le \\ \;\;\;\;\;\; - {k_i}s{\rm{sa}}{{\rm{t}}_{{\beta _i}}}\left( {{s_i}} \right) + \rho \left\| {{\mathit{\boldsymbol{G}}_{ri}}\left( \sigma \right){\mathit{\boldsymbol{J}}^{ - 1}}} \right\|, \end{array} $

很显然，如果|s_i|≥σ_i，则${\dot V_i}$≤0.由此及式(17)可知，对于t≥0, |s_i|≤σ_i.

由式(15)可知

$ {{\dot \eta }_i}\left( t \right) = - {c_i}{\eta _i}\left( t \right) + {s_i}\left( t \right), $

由此可得

$ \begin{array}{l} {\eta _i}\left( t \right) = {{\rm{e}}^{ - {c_i}t}}{\eta _i}\left( 0 \right) + \int_0^t {{{\rm{e}}^{ - {c_i}\left( {t - \tau } \right)}}{s_i}\left( \tau \right){\rm{d}}\tau } = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int_0^t {{{\rm{e}}^{ - {c_i}\left( {t - \tau } \right)}}{s_i}\left( \tau \right){\rm{d}}\tau } , \end{array} $

于是有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left| {{\eta _i}\left( t \right)} \right| = \left| {\int_0^t {{{\rm{e}}^{ - {c_i}\left( {t - \tau } \right)}}{s_i}\left( \tau \right){\rm{d}}\tau } } \right| \le {\beta _i}\int_0^t {{{\rm{e}}^{ - {c_i}\left( {t - \tau } \right)}}{\rm{d}}\tau } = }\\ {\frac{{{\beta _i}}}{{{c_i}}}\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - {c_i}t}}} \right) \le \frac{{{\beta _i}}}{{{c_i}}} \le {\varepsilon _i}.} \end{array} $

考虑到当t＞T时，λ(t)=0，本文有当t＞T时，σ_i(t)=η_i(t)+λ_i(t)=η_i(t).因此，当t＞T时，即：|σ_i(t)|≤β_i/c_i＜ε_i.

此外，很容易得知系统的状态σ和ω有界，证明过程这里不再赘述.

3 结果及分析

本文针对某航天器进行姿态镇定控制的数学仿真以说明所提控制方法的有效性.为了避免控制律中使用不连续的符号函数导致系统抖振的问题，这里仅针对连续控制律(19)进行数学仿真.航天器的结构参数详见文献[23]，其惯量矩阵标称值为

$ \mathit{\boldsymbol{J}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {950}&{11}&5\\ {11}&{600}&{36}\\ 5&{36}&{360} \end{array}} \right]\left( {{\rm{kg}} \cdot {{\rm{m}}^2}} \right), $

干扰力矩设为

$ {\tau _d} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.1\sin \left( {0.1t} \right)}\\ {0.2\sin \left( {0.1t + \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}} \right)}\\ {0.3\sin \left( {0.2t} \right)} \end{array}} \right]\left( {{\rm{N}} \cdot {\rm{m}}} \right). $

输入死区非线性的描述如式(8)、(9)所示，其中：m₁=0.95, m₂=1.00, m₃=1.05, δ_1l(v₁)=0.2sin 2v₁, δ_2l(v₂)=0.15cos 2.5v₂, δ_3l(v₃)=0.1sin 3v₃, δ_1r(v₁)=0.1cos v₁, δ_2r(v₂)=0.2sin 2v₂, δ_3r(v₃)=0.2sin 2.5v₃, b_1r=0.5, b_2r=0.6, b_3r=0.4, b_1l=-0.6, b_2l=-0.4, b_3l=-0.5.

但是，在计算控制器参数时，本文仅仅知道m_i的值，δ_il(v_i)、δ_ir(v_i)绝对值的上界δ_il=δ_ir=0.2和参数b_il、b_ir绝对值的上界b_il1=b_ir1=0.6.

设初始状态为：

$ \sigma \left( 0 \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.128}\\ {0.515}\\ {0.128} \end{array}} \right],\;\;\;\;\omega \left( 0 \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.1}\\ { - 0.3}\\ {0.2} \end{array}} \right]{\rm{rad}} \cdot {{\rm{s}}^{ - 1}}. $

设计期望的罗德里格参数的变化规律如下：

$ {\lambda _i}\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l} {a_{i0}} + {a_{i1}}t + {a_{i2}}{t^2} + {a_{i3}}{t^3},\;\;\;\;0 \le t \le {T_f};\\ 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t > {T_f}. \end{array} \right. $

其中：

$ {a_{i0}} = {\sigma _i}\left( 0 \right),{a_{i1}} = {{\dot \sigma }_i}\left( 0 \right), $

$ {a_{i2}} = - 3\left( {{\sigma _i}\left( 0 \right)/T_f^2} \right) - 2\left( {{{\dot \sigma }_i}\left( 0 \right)/{T_f}} \right), $

$ {a_{i3}} = 2\left( {{\sigma _i}\left( 0 \right)/T_f^3} \right) + {{\dot \sigma }_i}\left( 0 \right)/T_f^2.\;i = \left( {1,2,3} \right) $

其他控制参数设为：

$ {k_i} = 1,{c_i} = 1,{\beta _i} = 0.001.\;i = \left( {1,2,3} \right) $

调整时间分别为T_f=50 s和T_f=80 s时的仿真结果如图 2~4所示.可以看出，随着调整时间的不同，航天器姿态的收敛速度不同，但是无论如何它们都能够以指定的时间收敛到并保持在零附近.

调整时间设为T_f=50 s，实际的惯量矩阵分别存在-20%摄动、无摄动、20%摄动情况下的仿真结果如图 5~9所示.从图中仿真结果可以看出，即使当转动惯量参数发生较大摄动时，姿态也能在指定的时间50 s内收敛到并保持在零附近，50 s后姿态控制精度小于10^-6.同时，可以看出当转动惯量参数发生较大摄动时，除了控制力矩指令有一定的变化外，系统的姿态以及姿态角速率变化很小(它们的图像基本重合在一起)，这说明所提出的控制方法对于参数的不确定性具有很好的鲁棒性.上述仿真结果说明了本文所提控制方法的有效性.

4 结论

1) 针对含有不确定性和输入死区非线性的航天器姿态控制问题，提出了一种有限时间镇定控制算法.

2) 引入了一个在指定时间内收敛到零的期望姿态变化曲线，并基于时变滑模方法设计了鲁棒控制算法使得实际姿态和期望姿态之间的偏差始终保持足够小，从而保证实际姿态在指定的时间内收敛到原点附近.

3) 理论分析表明设计控制律可以保证闭环系统的信号有界且实际姿态在指定的时间内收敛到并以指定的精度保持在原点附近；同时，仿真结果表明所提的控制方法可以实现航天器姿态的有限时间高精度控制，而且对于系统的不确定性具有良好的鲁棒性.