交通拥堵和环境污染已成为许多国家和地区所面临的严峻挑战，发展公共交通和控制尾气排放被认为是缓解这些问题的有效手段.国内外已有很多学者展开这方面的研究，如文献[1]在公交专用道不连续的情况下，建立了信号配时优化模型；文献[2]提出了一种分析公交信号优先策略(绿灯早启和绿灯延长)对于车辆延误影响的分析方法；文献[3]以总延误最小为目标优化信号周期，依据相位乘客流量比和相位饱和度确定绿信比.文献[4]根据公交车运行特性，在单点配时模型基础上，建立了定时式相邻交叉口的公交优先信号协调控制模型.但在已有研究中，评价指标多为车均延误、排队长度、通行能力等.同时以人均延误替代车均延误指标，以人均排放替代排放总量指标，可以体现以人为本和公交优先的思想，赋予公交一定的优先权，故本文建立了既考虑人均延误，又考虑人均排放的多目标信号配时优化模型，在保证公交运行效益的同时，尽可能减少对环境的污染.

在对建立的多目标优化问题求解过程中，常常会遇到不同目标量纲不同，导致无法直接将其转化为单目标的问题，故如何将量纲不同的目标转化为量纲相同或无量纲的目标是学者们不断研究的课题.本文采用模糊折中规划方法将量纲不同的目标函数归一化处理，并通过模糊偏好方法确定各目标权重系数，从而将多目标模型转化为便于求解的单目标模型.

1 信号配时优化模型的建立 1.1 优化目标 1.1.1 人均延误(目标A)

人均延误为交叉口一个周期内的人总延误与参与交通的总人数的比值；人总延误为车均延误、车辆上的平均载客人数和信号周期的乘积.故依据经典Webster延误计算方法给出车均延误d_i的计算公式^[5]为

$ {d_i} = \frac{{C{{\left( {1 - \frac{{{g_i}}}{C}} \right)}^2}}}{{2\left( {1 - \frac{{{g_i}{x_i}}}{C}} \right)}} + \frac{{x_i^2}}{{2{q_i}\left( {1 - {x_i}} \right)}} - 0.65{\left( {\frac{C}{{{q_i}^2}}} \right)^{\frac{1}{3}}}{x_i}^{\left( {2 + \frac{{5{g_i}}}{C}} \right)}. $

(1)

式中：d_i为i相位每辆车的平均延误，s；C为信号周期，s；g_i为i相位有效绿灯时间，s；q_i为i相位车流到达率，pcu/s；x_i为i相位饱和度，即i相位实际到达交通量与该相位进口道的通行能力之比.

人均延误需分别计算社会车辆和公交车辆的人总延误，加和后除以交叉口一个周期内通过的乘客总数.故交叉口一个周期内的人均延误d_P的计算公式^[6]为

$ {d_{\rm{p}}} = \frac{{{D_{{\rm{BP}}}} + {D_{{\rm{VP}}}}}}{{C \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{q_{{{\rm{B}}_i}}}{P_{\rm{B}}} + {q_{{{\rm{V}}_i}}}{P_{\rm{V}}}} \right)} }}. $

(2)

式中：n为交叉口相位数；d_p为交叉口一个周期内的人均延误，s；D_BP为公交车辆一个周期内的人总延误，s；D_VP为社会车辆一个周期内的人总延误，s；q_Bi为i相位上公交车辆的车流到达率，pcu/s；q_Vi为i相位上社会车辆的车流到达率，pcu/s；P_B为公交车辆的平均载客人数；P_V为社会车辆的平均载客人数；交叉口信号周期C为

$ C = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{g_i} + {l_i}} \right)} , $

(3)

其中l_i为第i相位的损失时间，s.

忽略式(1)中取值较小的加减项，将式(1)、(3)代入式(2)中，展开公交车辆和社会车辆的人总延误，化简得到由各相位有效绿灯时间g_i(自变量)和易获得的各参数表示的人均延误展开式为

$ \begin{array}{l} \min {\rm{A}} = \\ \frac{{\left\{ {\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{g_i} + {l_i}} \right) - {g_i}} } \right)}^2}}}{{2\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{g_i} + {l_i}} \right) - {g_i}{x_i}} } \right)}} \cdot \left( {{q_{{{\rm{B}}_i}}}{P_{\rm{B}}}\rho + {q_{{{\rm{V}}_i}}}{P_{\rm{V}}}} \right)} } \right\}}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{q_{{{\rm{B}}_i}}}{P_{\rm{B}}} + {q_{{{\rm{V}}_i}}}{P_{\rm{V}}}} \right)} }}, \end{array} $

(4)

式中ρ为公交车辆折减系数.

以往在计算公交车辆人总延误时，多是直接将公交载客数乘以公交车辆延误，以达到公交优先的目的.但是这种处理方法会过高地给予公交车优先权，非常不利于提高交叉口整体通行效率.本文引入公交车辆折减系数ρ，以适当降低公交车辆的优先权，从而在一定程度上兼顾社会车辆的通行效益.

1.1.2 人均排放(目标B)

车辆行驶过程中产生的尾气排放污染物中主要有CO、CH、No_x 3种，研究表明我国机动车尾气排放对CO、CH、No_x 3种污染物的贡献率分别为70%、15%和15%^[7]，故尾气排放是CO的主要污染源，在建模中考虑交叉口CO排放量可有效代表交叉口尾气排放量.交叉口尾气排放可分为各条进口路段的行车排放和车辆的怠速排放，其中车辆在交叉口的怠速时间应为车辆停车延误时间，故得到一个周期内车辆在交叉口的CO排放总量E的计算公式^[8]为

$ \begin{array}{l} {\mathit{E}_{\rm{B}}} = C \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {E_{{{\rm{B}}_i}}^{{\rm{pcu}}} \cdot {q_{{{\rm{B}}_i}}} \cdot {J_i}} \right]} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\frac{C}{{3\;600}}\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{E_{I,}}_{{{\rm{B}}_i}}^{{\rm{pcu}}} \cdot {q_{{{\rm{B}}_i}}} \cdot {d_{{\rm{S}}{{\rm{B}}_i}}}} \right]} , \end{array} $

(5)

$ \begin{array}{l} {\mathit{E}_{\rm{V}}} = C \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {E_{{{\rm{V}}_i}}^{{\rm{pcu}}} \cdot {q_{{{\rm{V}}_i}}} \cdot {J_i}} \right]} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\frac{C}{{3\;600}}\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{E_{I,}}_{{{\rm{V}}_i}}^{{\rm{pcu}}} \cdot {q_{{{\rm{V}}_i}}} \cdot {d_{{\rm{S}}{{\rm{V}}_i}}}} \right]} , \end{array} $

(6)

$ E = {E_{\rm{B}}} + {E_{\rm{V}}}. $

(7)

式中：E为交叉口一个周期内车辆的CO排放总量；E_B为交叉口一个周期内公交车辆CO排放总量；E_V为交叉口一个周期内社会车辆CO排放总量；J_i为i相位进口车道长度，km；d_SBi为公交车辆的平均停车延误，s；d_SVi为社会车辆的平均停车延误，s；E_Vi^PCU为标准小汽车CO单位排放因子，g/(pcu·km)；E_Bi^PCU为公交车辆CO单位排放因子，g/(veh·km)；E_{I, Vi}^PCU为标准小汽车CO怠速排放因子，g/(pcu·h)；E_{I, Bi}^PCU为公交车辆CO怠速排放因子，g/(veh·h).

文献[9]的研究得到车均停车延误d_s与车均延误d的关系式为

$ {d_{\rm{s}}} = 0.959d - 19.3. $

(8)

将式(1)、(3)、(8)分别代入式(4)、(5)中，展开车均延误和信号周期，并将一个周期内的CO排放量除以乘客总数得到人均排放，其展开式为

$ \begin{array}{l} \min \;{\rm{B}} = \\ \frac{{\left( \begin{array}{l} \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{g_i} + {l_i}} \right)} \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {{J_i}\left( {{E_{{{\rm{B}}_i}}}^{{\rm{pcu}}} \cdot {q_{{{\rm{B}}_i}}} + {E_{{{\rm{V}}_i}}}^{{\rm{pcu}}} \cdot {q_{{{\rm{V}}_i}}}} \right)} + \\ \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{g_i} + {l_i}} \right)} }}{{3\;600}} \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{0.959{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{g_i} + {l_i}} \right) - {g_i}} } \right)}^2}}}{{2\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{g_i} + {l_i}} \right) - {g_i}{x_i}} } \right)}} - 19.3} \right)} \cdot \\ \left( {{E_{I,}}{{_{{{\rm{B}}_i}}}^{{\rm{pcu}}}} \cdot {q_{{{\rm{B}}_i}}} + {E_{I,}}{{_{{{\rm{V}}_i}}}^{{\rm{pcu}}}} \cdot {q_{{{\rm{V}}_i}}}} \right) \end{array} \right)}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{q_{{{\rm{B}}_i}}}{P_{\rm{B}}} + {q_{{{\rm{V}}_i}}}{P_{\rm{V}}}} \right)} }}. \end{array} $

(9)

1.2 约束条件

该模型对于自变量的约束主要考虑以下3方面：1)各相位有效绿灯时间g_i不小于最短绿灯时间g_min；2)信号周期C取值在最短周期C_min与最长周期C_max之间；3)交叉口饱和度取值在阈值λ₁和λ₂之间(该阈值将在3.1数据采集和参数设置中给出).故得到约束条件表达式为

$ \left\{ \begin{array}{l} {g_i} \ge {g_{\min }},1 \le i \le n,\\ {C_{\min }} \le \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{g_i} + {l_i}} \right)} \le {C_{\max }},\\ {\lambda _1} \le \frac{{{y_i}}}{{\frac{{{g_i}}}{C}}} \le {\lambda _2}. \end{array} \right. $

(10)

1.3 模糊折中规划方法处理量纲问题

本文拟采用模糊折中规划方法对两个目标进行无量纲化处理.该方法在多目标信号配时模型中应用的具体步骤如下.

1) 标准形式的目标函数的转换.本文在1.2中已将各目标函数转化为最小值的标准形式(以各相位的有效绿灯时间作为自变量)，见式(4)、(9).

2) 计算得到各目标函数在约束条件下由最小值组成的理想值向量X_min，即

$ {X_{\min }} = \left( {{x_1},{x_2}} \right) = \left( {{A_{\min }},{B_{\min }}} \right), $

(11)

计算得到各目标函数在约束条件下由最大值组成的反理想值向量为

$ {X_{\max }} = \left( {{x_1},{x_2}} \right) = \left( {{A_{\max }},{B_{\max }}} \right). $

(12)

3) 按照下式定义各单目标函数的隶属度函数为

$ U = \left\{ \begin{array}{l} 1,{X_i} \le {X_{\min }};\\ \frac{{{X_{\max }} - {X_i}}}{{{X_{\max }} - {X_{\min }}}},{X_{\min }} < {X_i} < {X_{\max }};\\ 0,{X_{\max }} \le {X_i}. \end{array} \right. $

(13)

$ U = {\left( {{u_i}} \right)_{1 \times 2}}. $

(14)

4) 结合模糊偏好思想计算权重.

步骤1  构造偏好矩阵R_a为

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{R}}_a}\left( {i,j} \right) = 0,{\mathit{\boldsymbol{R}}_a}\left( {j,i} \right) = 2\left( {{t_i} \prec \prec {t_j}} \right);\\ {\mathit{\boldsymbol{R}}_a}\left( {i,j} \right) = 0,{\mathit{\boldsymbol{R}}_a}\left( {j,i} \right) = 1\left( {{t_i} \prec {t_j}} \right);\\ {\mathit{\boldsymbol{R}}_a}\left( {i,j} \right) = 1,{\mathit{\boldsymbol{R}}_a}\left( {j,i} \right) = 1\left( {{t_i} \approx {t_j}} \right). \end{array} \right. $

(15)

式中t_i为对第i个目标的偏好关心程度.式(14)中，当t_i远小于t_j时，偏好矩阵中第i行第j列元素取0，第j行第i列元素取2；后两种取值方式原理相同.高峰时段拥堵情况严重，应优先考虑交叉口的延误，在保障通畅的情况下再将尾气排放纳入考虑当中，即：t₂$ \prec $t₁.得到两个目标的偏好矩阵为

$ {\mathit{\boldsymbol{R}}_a} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 0&1 \end{array}} \right). $

(16)

步骤2  根据R_a构造偏好关系矩阵R为

$ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{R}}\left( {i,j} \right) = \gamma ,\mathit{\boldsymbol{R}}\left( {j,i} \right) = \gamma \left( {{\mathit{\boldsymbol{R}}_a}\left( {i,j} \right) = 1\;且\;{\mathit{\boldsymbol{R}}_a}\left( {j,i} \right) = 1} \right);\\ \mathit{\boldsymbol{R}}\left( {i,j} \right) = \alpha ,\mathit{\boldsymbol{R}}\left( {j,i} \right) = \beta \left( {{\mathit{\boldsymbol{R}}_a}\left( {i,j} \right) = 0\;且\;{\mathit{\boldsymbol{R}}_a}\left( {j,i} \right) = 1} \right);\\ \mathit{\boldsymbol{R}}\left( {i,j} \right) = \beta ,\mathit{\boldsymbol{R}}\left( {j,i} \right) = \alpha \left( {{\mathit{\boldsymbol{R}}_a}\left( {i,j} \right) = 1\;且\;{\mathit{\boldsymbol{R}}_a}\left( {j,i} \right) = 0} \right). \end{array} \right. $

(17)

此处取α=0.25, β=0.75, γ=0.5.故得到偏好关系矩阵R为

$ \mathit{\boldsymbol{R}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \gamma &\beta \\ \alpha &\gamma \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0.5}&{0.75}\\ {0.25}&{0.5} \end{array}} \right). $

(18)

步骤3  由矩阵R定义有向带权重的图G(A, R)，此图出边值为

$ {S_L}\left( {a,\mathit{\boldsymbol{R}}} \right) = \sum\nolimits_{C \in A\backslash \left\{ a \right\}} {\mathit{\boldsymbol{R}}\left( {a,c} \right)} . $

(19)

步骤4  计算权重系数为

$ \lambda \left( {{t_1}} \right) = \frac{{{S_L}\left( {{t_1},\mathit{\boldsymbol{R}}} \right)}}{{\sum\nolimits_{{t_i} \in T} {{S_L}\left( {{t_i},\mathit{\boldsymbol{R}}} \right)} }} = \frac{{0.75}}{{0.75 + 0.25}} = \frac{3}{4}, $

(20)

同理可得$ \lambda \left( {{t_2}} \right) = \frac{1}{4} $.

5) 依据模糊折中思想获得转化后的单目标函数为

$ L = \max {\left[ {\sum\limits_{i = 1}^3 {{{\left( {{\lambda _i}{u_i}} \right)}^p}} } \right]^{\frac{1}{p}}}. $

(21)

式中：L为转化后的单目标函数；λ_i为各目标函数的权重；p为距离参数，且0≤p≤+∞.

关于p的取值，许多学者已对其最优性展开研究，分别在p=1、1 < p < +∞和p=+∞这3种情况下对实际问题求解，并将结果对比分析，得到结论一致为：当p=+∞时，获得的信号配时参数更优^[10].故本文基于前人研究，设定p=+∞，此时目标函数中p约掉，公式化简为Chebyshev距离^[10]，对应的单目标函数公式为

$ L = \max \left[ {\min \sum\limits_{i = 1}^3 {\left( {{\lambda _i}{u_i}} \right)} } \right]. $

(22)

2 求解算法

本文选用优化的粒子群算法(自适应惯性权重和异步学习因子相结合)求解多目标模型，惩罚函数法处理约束条件，惩罚因子取10^15[11].

标准粒子群算法的粒子根据式(23)、(24)来更新自己的速度和位置^[12]，即

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{v_{i,j}}\left( {t + 1} \right) = w{v_{i,j}}\left( t \right) + {c_1}{r_1}\left[ {{p_{i,j}} - {x_{i,j}}\left( t \right)} \right] + }\\ {{c_2}{r_2}\left[ {{p_{g,j}} - {x_{i,j}}\left( t \right)} \right],} \end{array} $

(23)

$ {x_{i,j}}\left( {t + 1} \right) = {x_{i,j}}\left( t \right) + {v_{i,j}}\left( {t + 1} \right),j = 1,2, \cdots ,D. $

(24)

式中：v_{i, j (t)}为t代周期时粒子的速度向量；x_{i, j(t)}为t代周期时粒子的位置向量；c₁, c₂为加速度因子，也被称为学习因子；w为惯性权重系数，取值一般在0.2~1.2之间；r₁, r₂为在[0, 1]均匀分布的随机数.

为了平衡粒子的全局搜索能力和局部搜索能力，本文采用动态惯性权重系数方法实时更新惯性权重，更新公式为

$ w = \left\{ \begin{array}{l} {w_{\min }} - \frac{{\left( {{w_{{\rm{max}}}} - {w_{\min }}} \right) \cdot \left( {f - {f_{\min }}} \right)}}{{\left( {{f_{{\rm{avg}}}} - {f_{\min }}} \right)}},f \le {f_{{\rm{avg}}}};\\ {w_{{\rm{max}}}},f > {f_{{\rm{avg}}}}. \end{array} \right. $

(25)

式中：w_max, w_min为w的最大值与最小值；f为当前粒子的目标函数值；f_avg, f_min为所有微粒的平均目标值和最小目标值.

由于微粒对个体历史最优值的学习追踪能力由c₁决定，其值越大粒子越会受个体最优值p_best的影响；微粒对全局最优值的学习追踪能力由c₂决定，其值越大粒子越会受全局最优值g_best的影响，故本文在算法中采用异步变化的学习因子，变化公式分别为

$ {c_1} = {c_{1\max }} + \left( {{c_{1\min }} - {c_{1\max }}} \right)t/M, $

(26)

$ {c_2} = {c_{2\min }} + \left( {{c_{2\max }} - {c_{2\min }}} \right)t/M. $

(27)

式中：c_1max, c_2max为学习因子最大值，通常取2.5；c_1min, c_2min为学习因子最小值，通常取0.5；t为当前迭代次数；M为最大迭代周期数.

3 实例验证 3.1 数据采集和参数设置

选取典型的四相位交叉口：北京市平安里西大街与赵登禹路交叉口作为案例交叉口.晚高峰时段交通混乱，东西方向拥堵较严重，信号配时有时需由交警手动调控.该交叉口的渠化示意图与相位图如图 1所示，现状信号配时方案如图 2所示，处理后的晚高峰时段小时流量见表 1(其中社会车辆与公交车辆交通量均已换算为标准小汽车交通量).

经过计算和查阅相关文献，将模型中涉及到的各参数取值如下：各相位饱和流量、流量比、损失时间(全红时间与绿前、绿后损失时间之和)和关键车道组车道数如表 2所示；社会车辆怠速排放因子E_I，Vi^pcu=53 g/(pcu·h)^[13]，公交车辆怠速排放因子E_I，Bi^pcu=61 g/(veh·h)^[13]，社会车辆CO行车排放因子E_Vi^pcu=45 g/(pcu·km)^[14]，公交车辆CO行车排放因子E_Bi^pcu=47 g/(veh·km)^[15]；通过计算，北京市主要公交车型额定载客量的平均值为111人，而案例交叉口同时存在单机公交车和铰接式公交车，且晚高峰时期客流量较大，故公交车辆的平均载客人数取111人较为合理；社会车辆的平均载客人数取2.2人；考虑公交车辆占用道路资源是一般社会车辆的3~4倍，公交折减系数取值ρ=0.3；该交叉口南北向人行横道长度约60 m，东西向人行横道长度约45 m，代入行人过街经典公式(28)可得东西直行相位最短绿灯时间为51 s，南北直行相位最短绿灯时间为36 s；由相位损失时间和相位最大流量比获得最短周期C_min=127 s，最长周期C_max=180 s.

$ {g_{\min }} = 7 + \frac{{{L_{\rm{r}}}}}{V} - I. $

(28)

式中：L_r为人行横道长度，m；V为交叉口内行人步行速度，一般取1.2m/s；I为绿灯间隔时间，s.

对于饱和度的约束条件，本文在现状信号配时方案下进行了阈值范围测算，分别计算出不同饱和度下的人均延误及CO排放总量.如图 3所示，当交叉口饱和度x_i≤0.8时，CO排放量取值及变化幅度均较小，交叉口显现出的拥堵、污染等问题并不明显，优化交叉口信号配时需求性不大.而当交叉口饱和度x_i≥0.93时，交叉口人均延误和CO排放总量上升速率明显增加，运行状态处于过饱和状态，污染严重，此时若采取多目标信号配时优化方法很难得到理想的结果.所以饱和度阈值λ₁=0.8，λ₂=0.93，即饱和度区间设置为(0.80, 0.93).

3.2 模型应用

在MATLAB 7.10.0(R2010a)运行环境下，运用自适应惯性权重和异步学习因子相结合的优化粒子群算法对模型求解，参数设置情况如下：粒子数N为50，学习因子最大值c_1max和c_2max为2.5，学习因子最小值c_1min和c_2min为0.5，权重最大值w_max为1.2，权重最小值w_min为0.2，迭代次数M为500次，变量个数D为4个.应用MATLAB编程运算，得到优化后的信号配时参数为：周期C=159 s，第一到第四相位有效绿灯时间分别为57、24、36、22 s.将有效绿灯时间与绿前、绿后损失时间和黄灯时间相加减，得显示绿灯时间分别为55、22、34、20 s.信号配时方案如图 4所示.

3.3 优化结果

将原信号配时方案中的各相位有效绿灯时间和经过优化的各相位有效绿灯时间分别代入式(4)、(8)，得到优化前后交叉口一个周期内的人均延误分别为24.22、23.28 s，优化比例为3.87%；人均CO排放量分别为9.83、8.58 g，优化比例为12.74%.

4 结论

1) 对于前后配时方案的变化：现状周期为166 s，优化后周期159 s；现状周期有效绿灯时间为147 s，优化后周期有效绿灯时间为139 s，可以看出周期与周期有效绿灯时间均有所缩短.

2) 现状人均延误为24.22 s，优化后人均延误为23.28 s，下降了0.94 s，下降幅度为3.87%.虽优化幅度不大，但晚高峰时期车流量较大，乘客人数多，每小时交叉口总延误减少量十分可观，故优化后的信号配时方案对于延误具有优化作用.

3) 优化后人均CO排放量从9.83 g下降到8.58 g，下降幅度为12.74%.可以看出人均排放下降幅度较大，与人均延误同理，在乘客总数较大的晚高峰，CO排放总量将下降明显.说明优化后的信号配时方案对于交叉口一个周期内的人均CO排放量具有很好的优化作用.

4) 所提出的交叉口信号配时优化模型具有提高交叉口通行效率，减少尾气排放的实际意义.在算法研究中，今后也还可以进一步深入，如考虑改良粒子群算法而非使用惩罚函数法, 来处理约束条件等.