由于无能耗的推进方式，太阳帆航天器在深空飞行中倍受青睐^[1-3].太阳帆通过巨大的帆面反射太阳光，从而获得光压力作为轨道动力.调整帆面姿态可改变其所受光压力的幅值与方向，进而改变轨道推进力.太阳帆姿控执行机构巧妙地借助太阳光压力提供姿态控制力矩，实现了无能耗姿态控制.由于结构简单、可行性强，滑动质量块形式的执行机构受到了广泛关注^[4-7].然而此方法只能产生俯仰轴和偏航轴控制力矩，需要配合滚转轴执行机构滚使用.目前所采用的滚转轴执行方案有控制小帆和转轴稳定条等，但它们对太阳帆的展开过程影响较大.文献[5]采用小块帆板的转动产生滚转轴控制力矩，其分离式的安装对帆面展开影响小，是一种新型高效的执行机构.

然而，质量块滑动会改变太阳帆质心位置，在提供控制力矩的同时也致使转动惯量发生变化，这就要求太阳帆姿态控制器具有较强的鲁棒性.此外，光压力矩对太阳帆也有着不可忽视的影响，相同质心/压心偏差的情况下，其所受光压力矩幅值是传统航天器的近100倍；在诸如三体问题等复杂飞行环境下，天体对太阳帆的引力产生的梯度力矩对其姿态也构成了显著干扰，且随轨道位置变化.此类外部干扰力矩要求姿态控制器具有较好的自适应抗扰能力.

许多学者在太阳帆姿态控制设计方面进行了大量研究.文献[6]针对以滑块为执行机构的太阳帆计了2自由度的姿态控制律，不记转动惯量变化设计了前馈+反馈的控制策略.文献[7]同样以滑动质量块作为执行机构，忽略其对转动惯量的影响，分别采用LQR和PID算法为太阳帆设计了双闭环姿态控制器.文献[8-9]都采用顶端小帆方式产生姿态控制力矩，且在控制器设计时皆采用PD控制律，通过选取姿态和转速的反馈增益矩阵实现姿态控制.虽然PID等线性反馈控制方法具有结构简单且应用成熟等特点，但是针对上述帆板-滑块结构的太阳帆，在采用此类方法进行姿控设计时，较难快速选取合适参数，且控制器往往不能获得较强的鲁棒性和自适应能力.

本文采用帆板-滑块结构作为太阳帆姿控执行器，针对该结构工作过程中引起的惯量变化问题，同时考虑航天器所受外部干扰，采用非线性设计方法研究具有强鲁棒性和自适应能力的姿态控制律.然后，考虑执行机构力学特性，解算帆板转角和滑块位置，以实现所提控制策略.

1 问题描述 1.1 姿态动力学与运动学

本文以方形太阳帆作为研究对象，为描述其姿态，取太阳帆几何中心o为原点建立本体坐标系，如图 1所示. x_b轴沿帆面法线n方向，y_b轴沿帆面某一对角线方向，z_b轴方向符合右手准则.选用3-2-1转序，采用四元数Q描述太阳帆姿态，则系统运动学与动力学方程分别为

$ \mathit{\boldsymbol{\dot Q}} = \frac{1}{2}\left[ \begin{array}{l} {q_4}{\mathit{\boldsymbol{I}}_3} + {\mathit{\boldsymbol{q}}^ \times }\\ - {\mathit{\boldsymbol{q}}^{\rm{T}}} \end{array} \right]\mathit{\boldsymbol{\omega }}, $

(1)

$ \mathit{\boldsymbol{J\dot \omega }} + \mathit{\boldsymbol{\omega }} \times \mathit{\boldsymbol{J\omega }} = {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_{\rm{c}}} + {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_{\rm{d}}}. $

(2)

式中：$\mathit{\boldsymbol{Q = }}{\left[{{\mathit{\boldsymbol{q}}^\mathit{\boldsymbol{T}}}\; \; {q_4}} \right]^{\text{T}}}, \mathit{\boldsymbol{q}} \in {\mathbb{R}^3}, \mathit{\boldsymbol{\omega }} \in {\mathbb{R}^\mathit{\boldsymbol{3}}}$为转速，$\mathit{\boldsymbol{J}} \in {\mathbb{R}^{\mathit{\boldsymbol{3}} \times \mathit{\boldsymbol{3}}}}$为转动惯量，${\mathit{\boldsymbol{\tau }}_\mathit{\boldsymbol{c}}} \in {\mathbb{R}^3}$为姿态控制力矩，${\mathit{\boldsymbol{\tau }}_{\text{d}}} \in {\mathbb{R}^3}$为干扰力矩.

干扰力矩主要包括光压干扰力矩τ_s和引力梯度力矩τ_g，其中τ_s=ε₀×F_s，ε₀为生产工艺导致的质心/压心偏差，F_s为帆面所受太阳光压力.采用理想光学模型，有

$ {\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{s}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{P_{\rm{s}}}A{{\cos }^2}\alpha }&0&0 \end{array}} \right]^{\rm{T}}}. $

式中：P_s为一个天文单位处的光压辐射常数，A为太阳帆帆面面积，α为帆面法向量与阳光矢量的夹角，也为太阳帆俯仰角，可通过姿态四元数转换而得.此外，引力梯度力矩由附近天体对太阳帆的引力产生，由于姿态机动时间远小于轨道飞行时间，引力梯度力矩在每个轨道位置可视为常值.

1.2 执行机构动力学

帆板-滑块形式的执行机构是文献[5]提出的一类分离式安装的执行机构.长方形帆板p_i和质量块M_i(i=1, 2, 3, 4)的安装，如图 1所示，4个帆板/质量块规格一致.工作时，帆板沿对应连接杆转动，连接杆长为l，转角为γ_i(i=1, 2, 3, 4)；质量块沿帆面对角线滑动，记其相对o点的位移为d_i(i=1, 2, 3, 4).

不妨以帆板p₃为例，分析移动帆板的工作原理.以帆板质心o_p为原点建立帆板坐标系ox_py_pz_p，y_p轴和z_p轴分别平行于帆板两边，x_p轴沿帆板法线方向.工作时，p₃沿z_p轴转动γ₃角度，如图 2所示. ox_py_pz_p系与ox_by_bz_b系的变换关系为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{x}}_{\rm{b}}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{y}}_{\rm{b}}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{z}}_{\rm{b}}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\gamma _3}}&{\sin {\gamma _3}}&0\\ { - \sin {\gamma _3}}&{\cos {\gamma _3}}&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{x}}_{\rm{p}}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{y}}_{\rm{p}}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{z}}_{\rm{p}}}} \end{array}} \right]. $

在ox_py_pz_p系中，p₃反射太阳光获得的光压力为

$ {\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{p3}}}} = 2{P_{\rm{s}}}{A_{\rm{p}}}{\cos ^2}\left( {\alpha + {\gamma _3}} \right){\mathit{\boldsymbol{x}}_{\rm{p}}}, $

式中A_p为帆板面积，变换至坐标系ox_oy_oz_o中有

$ {\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{p3}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{P_{\rm{s}}}{A_{\rm{p}}}{{\cos }^2}\left( {\alpha + {\gamma _3}} \right)\cos {\gamma _3}}\\ { - 2{P_{\rm{s}}}{A_{\rm{p}}}{{\cos }^2}\left( {\alpha + {\gamma _3}} \right)\sin {\gamma _3}}\\ 0 \end{array}} \right]. $

设o_p点到o点的距离为l₃=lz_b，F_p3产生的力矩为

$ {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_{{\rm{p3}}}} = {\mathit{\boldsymbol{l}}_3} \times {\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{p3}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2l{P_{\rm{s}}}{A_{\rm{p}}}{{\cos }^2}\left( {\alpha + {\gamma _3}} \right)\sin {\gamma _3}}\\ {2l{P_{\rm{s}}}{A_{\rm{p}}}{{\cos }^2}\left( {\alpha + {\gamma _3}} \right)\cos {\gamma _3}}\\ 0 \end{array}} \right]. $

同理，帆板1、2、4产生的力矩分别为

$ {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_{{\rm{p1}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2l{P_{\rm{s}}}{A_{\rm{p}}}{{\cos }^2}\left( {\alpha + {\gamma _1}} \right)\sin {\gamma _1}}\\ 0\\ { - 2l{P_{\rm{s}}}{A_{\rm{p}}}{{\cos }^2}\left( {\alpha + {\gamma _1}} \right)\cos {\gamma _1}} \end{array}} \right], $

$ {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_{{\rm{p2}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2l{P_{\rm{s}}}{A_{\rm{p}}}{{\cos }^2}\left( {\alpha + {\gamma _2}} \right)\sin {\gamma _2}}\\ 0\\ {2l{P_{\rm{s}}}{A_{\rm{p}}}{{\cos }^2}\left( {\alpha + {\gamma _2}} \right)\cos {\gamma _2}} \end{array}} \right], $

$ {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_{{\rm{p4}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2l{P_{\rm{s}}}{A_{\rm{p}}}{{\cos }^2}\left( {\alpha + {\gamma _4}} \right)\sin {\gamma _4}}\\ { - 2l{P_{\rm{s}}}{A_{\rm{p}}}{{\cos }^2}\left( {\alpha + {\gamma _4}} \right)\cos {\gamma _4}}\\ 0 \end{array}} \right]. $

令γ₁=γ₂，τ_p1+τ_p2=-4lP_sA_pcos²(α+γ₁)sinγ₁x_b；令γ₃=γ₄，τ_p3+τ_p4=-4lP_sA_pcos²(α+γ₃)sinγ₃x_b.可见4块帆板力矩之和只产生滚转轴力矩.俯仰轴和偏航轴控制力矩由滑块滑动提供，结合文献[5]可得执行机构输出的控制力矩为

$ {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_{\rm{c}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4l{P_{\rm{s}}}{A_{\rm{p}}}\sum\limits_{i = 1, 3} {{{\cos }^2}\left( {\alpha + {\gamma _i}} \right)\sin {\gamma _i}} }\\ { - 2m/{m_{\rm{t}}}\left( {{d_3} + {d_4}} \right){P_{\rm{s}}}A{{\cos }^2}\alpha }\\ {2m/{m_{\rm{t}}}\left( {{d_1} + {d_2}} \right){P_{\rm{s}}}A{{\cos }^2}\alpha } \end{array}} \right]. $

(3)

式中m为滑块质量，m_t为航天器总质量.

执行机构工作时，由于质量块滑动会引起质心变化，转动惯量J也随之变化.设J=diag(J_xb，J_yb，J_zb)，则有

$ \left\{ \begin{array}{l} {J_{x{\rm{b}}}} = {I_{x{\rm{b}}}} + 2{m_r}d_3^2, \\ {J_{y{\rm{b}}}} = {I_{y{\rm{b}}}} + 2{m_r}d_1^2, \\ {J_{z{\rm{b}}}} = {I_{z{\rm{b}}}} + 2{m_r}\left( {d_1^2 + d_3^2} \right). \end{array} \right. $

(4)

式中：m_r=m(m_s+m)/m_t，m_s=m_t－4m，I_xb、I_yb、I_zb分别为忽略质心变化时J_xb、J_yb、J_zb的标称值.三者对时间的微分为

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot J}_{x{\rm{b}}}} = 2{m_\text{r}}\left( {{{\dot d}_3}{d_3} + {{\dot d}_4}{d_4}} \right), \\ {{\dot J}_{y{\rm{b}}}} = 2{m_\text{r}}\left( {{d_1}{{\dot d}_1} + {d_2}{{\dot d}_2}} \right), \\ {{\dot J}_{z{\rm{b}}}} = 2{m_\text{r}}\left( {{{\dot d}_1}{d_1} + {{\dot d}_2}{d_2} + {{\dot d}_3}{d_3} + {{\dot d}_4}{d_4}} \right). \end{array} \right. $

(5)

2 控制器设计

本文控制器设计的目标是对一类采用帆板-滑块执行机构的太阳帆航天器，考虑光压干扰力矩和引力梯度力矩等外部干扰、执行机构导致的转动惯量变化，设计具有较强自适应能力和鲁棒性的姿态控制器；由控制器输出u求解执行机构的运动过程，继而输出控制力矩τ_c；在τ_c作用下使太阳帆姿态Q可以快速、准确地跟踪给定的期望姿态Q_d.姿态控制系统结构如图 3所示.

2.1 姿态控制器设计

设期望姿态角为${\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\text{d}}} = {\left[{\mathit{\boldsymbol{q}}_{\text{d}}^{\text{T}}\; \; {q_{{\text{d}}4}}} \right]^{\text{T}}}, {\mathit{\boldsymbol{q}}_{\text{d}}} \in {\mathbb{R}^3}$.期望转速为ω_d.令${\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\text{e}}} = {\left[{\mathit{\boldsymbol{q}}_{\text{e}}^{\text{T}}\; \; {q_{{\text{e}}4}}} \right]^{\text{T}}}$和ω_e分别为姿态误差和转速误差，且有

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{q}}_{\rm{e}}} = {q_{{\rm{d4}}}}\mathit{\boldsymbol{q}} - {\mathit{\boldsymbol{q}}_{\rm{d}}}^ \times \mathit{\boldsymbol{q}} - {q_{{\rm{d4}}}}{\mathit{\boldsymbol{q}}_{\rm{d}}}, \\ {q_{{\rm{e4}}}} = \mathit{\boldsymbol{q}}_{\rm{d}}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{q}} + {\mathit{\boldsymbol{q}}_4}{q_{{\rm{d4}}}}. \end{array} \right. $

$ {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{\rm{e}}} = \mathit{\boldsymbol{\omega }} - {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{\rm{d}}}. $

由式(2)得误差模型为

$ \mathit{\boldsymbol{J}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_{\rm{e}}} = - \mathit{\boldsymbol{\omega }} \times \mathit{\boldsymbol{J\omega }} + \mathit{\boldsymbol{u}} + {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_d} - \mathit{\boldsymbol{J}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_{\rm{d}}}, $

(6)

$ {{\mathit{\boldsymbol{\dot Q}}}_{\rm{e}}} = \frac{1}{2}\left[ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{T}}\\ - {\mathit{\boldsymbol{q}}_{\rm{e}}}^{\rm{T}} \end{array} \right]{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{\rm{e}}}. $

(7)

式中T=q_e4I₃+q_e^×，且‖T‖=1.

为方便控制器设计，首先对太阳帆系统做如下合理假设：

假设1  转动惯量在标称值J₀附近变化，其变化量及变化速度有界且已知，即J=J₀+ΔJ，‖ΔJ‖≤σ_J, σ_J≥0，$\left\| {\mathit{\boldsymbol{\dot J}}} \right\| \leqslant {\sigma _{\dot J}}, {\sigma _{\dot J}} \geqslant 0$.

假设2  外部干扰力矩有界，即‖τ_d‖≤d，d≥0.

此外给出如下Comparison引理^[10]：

引理  函数g, ${V_l}:\left[{0, \infty } \right) \to \mathbb{R}$，如果对∀t≥0有

$ {{\mathit{\dot V}}_l} \le - a{V_l}\left( t \right) + g\left( t \right), $

那么对任意的a有

$ {{V}_{l}}\le {{\text{e}}^{-a}}{{V}_{l}}\left( 0 \right)+\int\limits_{0}^{t}{{{\text{e}}^{-a\left( t-\tau \right)}}g\left( \tau \right)\text{d}\tau },\forall t\ge 0. $

为了使太阳帆姿态控制系统对滑块运动引起的惯量变化具有鲁棒性^[11]，设计太阳帆滑模姿态控制律.取滑模面：

$ \mathit{\boldsymbol{s}} = {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{\rm{e}}} + \lambda {\mathit{\boldsymbol{q}}_{\rm{e}}}, \lambda > 0; $

(8)

滑模控制器结构为

$ \mathit{\boldsymbol{u}} = {\mathit{\boldsymbol{u}}_{\rm{r}}} + {\mathit{\boldsymbol{u}}_{\rm{e}}}, $

(9)

式中u_r为趋近律，其作用是使系统状态到达滑模面；u_e为等效控制律，在系统状态到达滑模面后，使其保持在该流形上.设计u_r和u_e分别为

$ {\mathit{\boldsymbol{u}}_{\rm{r}}} = - k\mathit{\boldsymbol{s}} - \left( {b + \hat d + \upsilon } \right){\rm{sign}}\left( \mathit{\boldsymbol{s}} \right), $

(10)

$ {\mathit{\boldsymbol{u}}_{\rm{e}}} = \mathit{\boldsymbol{\omega }} \times {\mathit{\boldsymbol{J}}_0}\mathit{\boldsymbol{\omega + }}{\mathit{\boldsymbol{J}}_0}{{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_{\rm{d}}} - \lambda {\mathit{\boldsymbol{J}}_0}{{\mathit{\boldsymbol{\dot q}}}_{\rm{e}}}. $

(11)

其中：b=σ_J($\left\| \mathit{\boldsymbol{\omega }} \right\| + \left\| {{{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_{\text{d}}}} \right\| + \lambda \left\| {{{\mathit{\boldsymbol{\dot \beta }}}_{\text{e}}}} \right\|$)；υ为一个很小的正数；k=k₀+0.5${{\delta }_{{\dot{J}}}}$，k₀>0；sign(·)为符号函数；${\hat d}$为外部干扰力矩上界d的估计值.

受投影算法启发，设计自适应律

$ \dot {\hat d} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{\eta }\left\| \mathit{\boldsymbol{s}} \right\|, }&{\left\| \mathit{\boldsymbol{s}} \right\| > {s_{\rm{e}}};}\\ {0, }&{\left\| \mathit{\boldsymbol{s}} \right\| \le {s_{\rm{e}}}.} \end{array}} \right. $

(12)

定理  考虑式(6)、(7)描述的系统，若满足假设1和假设2，在控制律(9)~(12)的作用下，

姿态误差q_e稳定，且‖q_e‖≤$\sqrt {{s_{\text{e}}}/\lambda } $.

证明  设$\widetilde d = \hat d - d$为干扰上界的估计误差，取Lyapunov函数

$ V = \frac{1}{2}\left( {{s^{\rm{T}}}Js + \eta {{\tilde d}^2}} \right), $

对其微分有

$ \begin{array}{l} \mathit{\dot V} = {s^{\rm{T}}}J\dot s + \frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{s}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{J\dot s + }}\eta \tilde d\dot {\hat d} = {\mathit{\boldsymbol{s}}^{\rm{T}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{J}}{{\dot \omega }_{\rm{e}}} + \lambda \mathit{\boldsymbol{J}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot \beta }}}_{\rm{e}}}} \right) + \\ \;\;\;\;\frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{s}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\dot Js + }}\eta \tilde d\dot {\hat d} = {\mathit{\boldsymbol{s}}^{\rm{T}}}\left( { - \mathit{\boldsymbol{\omega }} \times \mathit{\boldsymbol{J\omega }} + \mathit{\boldsymbol{u}} + {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_{\rm{d}}} - } \right.\\ \;\;\;\;\left. {\mathit{\boldsymbol{J}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_{\rm{d}}} + \lambda \mathit{\boldsymbol{J}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot \beta }}}_{\rm{e}}}} \right) + \frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{s}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\dot Js}} + \eta \tilde d\dot {\hat d}. \end{array} $

当‖s‖>s_e时, 有

$ \begin{array}{l} \mathit{\dot V} = {s^{\rm{T}}}\left( { - \mathit{\boldsymbol{\omega }} \times \Delta \mathit{\boldsymbol{J\omega }} - \Delta \mathit{\boldsymbol{J}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_{\rm{d}}} + \lambda \Delta \mathit{\boldsymbol{J}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot \beta }}}_{\rm{e}}} - k\mathit{\boldsymbol{s}} - \left( {b + } \right.} \right.\\ \;\;\;\;\;\left. {\left. {d + \mathit{\boldsymbol{\upsilon }}} \right){\rm{sign}}\left( s \right) + {\tau _{\rm{d}}}} \right) + \frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{s}}^{\rm{T}}}\dot Js + \tilde d\left\| \mathit{\boldsymbol{s}} \right\| \le \\ \;\;\;\;\; - k{\left\| \mathit{\boldsymbol{s}} \right\|^2} + \frac{1}{2}\left\| {\mathit{\boldsymbol{\dot J}}} \right\|{\left\| \mathit{\boldsymbol{s}} \right\|^2} + \left( {\left\| {\mathit{\boldsymbol{\dot J}}} \right\| - {\delta _J}} \right)\left\| \mathit{\boldsymbol{s}} \right\| - \\ \;\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{\upsilon }}\left\| \mathit{\boldsymbol{s}} \right\| - \hat d\left\| \mathit{\boldsymbol{s}} \right\| + d\left\| \mathit{\boldsymbol{s}} \right\| + \tilde d\left\| \mathit{\boldsymbol{s}} \right\| \le - k{\left\| \mathit{\boldsymbol{s}} \right\|^2} + \\ \;\;\;\;\;\frac{1}{2}{\delta _j}{\left\| \mathit{\boldsymbol{s}} \right\|^2} - \mathit{\boldsymbol{\upsilon }}\left\| \mathit{\boldsymbol{s}} \right\| + \left( { - \hat d + d} \right)\left\| \mathit{\boldsymbol{s}} \right\| + \tilde d\left\| \mathit{\boldsymbol{s}} \right\| \le \\ \;\;\;\;\; - {k_0}{\left\| \mathit{\boldsymbol{s}} \right\|^2} - \mathit{\boldsymbol{\upsilon }}\left\| \mathit{\boldsymbol{s}} \right\| < 0. \end{array} $

可见，在所提控制律作用下，系统状态将沿‖s‖衰减的方向运动，直至‖s‖≤s_e.

当‖s‖≤s_e时，取Lyapunov函数

$ V' = \frac{1}{2}\mathit{\boldsymbol{q}}_{\rm{e}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{q}}_{\rm{e}}}, $

沿系统(6)、(7)对其微分，有

$ \dot V' = \mathit{\boldsymbol{q}}_{\rm{e}}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot q}}}_{\rm{e}}} = \frac{1}{2}\mathit{\boldsymbol{q}}_{\rm{e}}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{T}}{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{\rm{e}}}, $

滑模面上有s=ω_e+λq_e，联合T的性质有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\dot V' = \frac{1}{2}\mathit{\boldsymbol{q}}_{\rm{e}}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{T}}\left( {\mathit{\boldsymbol{s}} - \lambda {\mathit{\boldsymbol{q}}_{\rm{e}}}} \right) \le }\\ { - \frac{\lambda }{2}\mathit{\boldsymbol{q}}_{\rm{e}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{q}}_{\rm{e}}} + \frac{1}{2}\left\| {{\mathit{\boldsymbol{q}}_{\rm{e}}}} \right\|{s_{\rm{e}}} \le }\\ { - \frac{\lambda }{2}V' + \frac{1}{2}{s_{\rm{e}}}.} \end{array} $

由Comparison引理^[10]得

$ {\left\| {{\mathit{\boldsymbol{q}}_{\rm{e}}}} \right\|^2} \le {{\rm{e}}^{ - \lambda /2}}V'\left( 0 \right) + \frac{1}{2}\int_0^t {{{\rm{e}}^{ - \lambda /2\left( {t - \tau } \right)}}{s_{\rm{e}}}{\rm{d}}\tau } , $

进一步有$\left\| {{q_{\text{e}}}} \right\| \leqslant \sqrt {\frac{{{s_{\text{e}}}}}{\lambda }} $.当s_e/λ取很小的正数时，姿态误差在0附近稳定.

证毕.

2.2 执行机构解算

利用姿态控制器输出u可求解帆板的转角与滑块的期望位移，通过帆板的转动和滑块的滑动可获得对应的控制力矩τ_c，继而实现对姿态系统的控制.由式(3)可知，执行机构工作过程中，4块小帆的角度互相影响，4个滑块的位置也存在耦合关系.对此，本文设计了简单的力矩分配规则，即令γ=γ₁=γ₃=γ₂=γ₄，d₁=d₂，d₃=d₄，则有

$ {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_{\rm{c}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 8l{P_{\rm{s}}}{A_{\rm{p}}}{{\cos }^2}\left( {\alpha + \gamma } \right)\sin \gamma - 4m/{m_{\rm{t}}}{d_3}{P_{\rm{s}}}A{{\cos }^2}\alpha }\\ {4m/{m_{\rm{t}}}{d_1}{P_{\rm{s}}}A{{\cos }^2}\alpha } \end{array}} \right]. $

(13)

对帆板，在太阳帆任务设计中，滚转轴所需控制力矩往往较小，帆板转角也在较小范围内变化.据此，对滚转轴力矩表达式进行小角度线性化，即cosγ=0，sinγ=γ，有τ_c(1)≈8lP_sA_pγcos²α.记γ_d为帆板期望转角，则有

$ {\gamma _{\rm{d}}} \approx \mathit{\boldsymbol{u}}\left( 1 \right)/\left( {8l{P_{\rm{s}}}{A_p}\gamma {{\cos }^2}\alpha } \right), $

帆板转角运动过程为

$ {T_1}\dot \gamma + \gamma = {\gamma _{\rm{d}}}, $

式中T₁由帆板角度及角速度限幅决定，即${{\dot \gamma }_{\max }}$=γ_max/T₁，其中γ_max为最大角度，${{\dot \gamma }_{\max }}$为最大角速度.

对滑块，令z=[d₁d₃]^T为滑块位置，z_d=[d_1d d_3d]^T为其期望位置，由式(13)可得

$ {\mathit{\boldsymbol{z}}_{\rm{d}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{u}}\left( 3 \right)/\left( {4m/{m_{\rm{t}}}{d_1}{P_{\rm{s}}}A{{\cos }^2}\alpha } \right)}\\ { - \mathit{\boldsymbol{u}}\left( 2 \right)/\left( {4m/{m_{\rm{t}}}{d_3}{P_{\rm{s}}}A{{\cos }^2}\alpha } \right)} \end{array}} \right], $

滑块运动采用模型

$ {T_2}\mathit{\boldsymbol{\dot z}} + \mathit{\boldsymbol{z}} = {\mathit{\boldsymbol{z}}_{\rm{d}}}. $

式中T₂由最大滑动位置z_max和最大滑动速度ż_max决定，即ż_max=z_max/T₂.

3 数值模拟

参考文献[5]，本文采用如下太阳帆参数进行数值仿真实验：转动惯量标称值为[6 000  3 000  3 000]，A_p=2m²，l=8m，A=1 200 m²，m=2 kg，m_t=157 kg.帆板转角和角速度的最大值分别为γ_max=80°，${\dot \gamma }$_max=10°/s.滑块滑动距离限幅z_max=20m，${\dot z}$_max=0.1m/s.太阳光压常数P_s=4.653×10^-3 mN/m²；τ_g=[0.006 69  0  0]^T mN·m，质心/压心偏差ε₀=[0  0.1  0.1]^Tm.执行机构能提供的最大控制力矩分别为0.595 6、11.381、11.381 mN·m.设初始姿态四元数为Q₀=[1  0  0  0]^T，初始转速为ω₀=0；期望姿态Q_d=[0.953 7  0  0.300 7  0]^T，即俯仰角机动35°；控制器参数λ=0.8，k₀=0.000 1，υ=0.000 1；δ_J=max{ΔJ}，${{\delta }_{{\dot{J}}}}$=max{Δ${\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}$}可分别由式(4)、(5)获取；η=10，s_e=10^-3.

仿真结果如图 4~9所示. 图 4为姿态响应图，由图可知，姿态四元数误差q_e趋向于0，太阳帆俯仰角由0°机动至35°时间远小于1 h，机动时间短；角度稳态误差保持在0.01°以内，满足了太阳帆飞行要求. 图 5为4个滑块位移曲线.滑块1、2的最大位移为6.598 m，随着姿态角趋向机动位置，逐渐稳定于3.925 m处以抵抗偏航轴所受干扰.滑块3、4的运动提供了俯仰角机动所需力矩，二者最大位移均为18.442 m；姿态误差收敛后，滑块3、4位置均保持在1.962 m处. 图 6为帆板转动过程，帆板转角最大幅度为31.693°，并稳定在-9.666°以消除滚转轴所受干扰. 图 5、6中的子图还分别显示了滑块和帆板在时间初始段的响应，可见二者运动轨迹平滑无大幅跃变，在实际应用中易于实现.

图 7给出了干扰力矩上界的估计结果图，图 8为干扰力矩示意图，滚动轴干扰力矩为常值，俯仰轴和偏航轴干扰力矩随俯仰角变化. 图 9为控制器输出u和执行机构输出的控制力矩τ_c. U为执行机构的期望输入，3轴最大幅值分别为0.327 6、6.486、1.827 mN·m，皆在执行机构可实现范围内.此外，各轴控制量曲线缓和，自适应律的加入在抑制干扰的同时，也有效地抑制了滑模控制器中存在的抖振现象.通过滑块位移和帆板转动可求得实际控制力矩τ_c，如图中实线所示.可见，通过图 5、6所示的帆板转动和滑块滑动，执行机构较好地实现了所需控制力矩.

综上，所提控制策略在考虑光压力矩干扰、引力梯度干扰和转动惯量变化的情况下，有效地实现了太阳帆三轴姿态控制.

4 结论

本文采用了一种新型帆板-滑块结构作为太阳帆航天器的姿控执行机构，在此结构下研究了太阳帆姿态控制律设计与实现问题.针对滑块滑动致使太阳帆转动惯量变化问题，设计了鲁棒滑模姿态控制器.同时，考虑了光压力矩和引力梯度力矩两种干扰，设计了自适应律对干扰上界进行估计.最后，解算执行机构，实现所提控制律.仿真结果表明，所提控制方法可使太阳帆姿态较快机动至期望位置，并使控制力矩、帆板角度和滑块位移均保持在适当的幅值范围内，易于实现.