多重信号分类(Multiple Signal Classification，MUSIC)是应用于测向系统中信号波达方向(direction-of-arrival，DOA)估计的著名算法^[1-2]，该算法基于已知的信号源个数，利用噪声与信号子空间的正交性构造具有“超分辨力”的空间谱函数^[3-4]，并通过谱峰搜索获取DOA.通常，谱峰搜索的计算量异常庞大^[5]，因此MUSIC算法的工程应用效果并不是十分理想^[6-8].为降低计算量，学者提出了求根MUSIC(root-MUSIC)算法^[9]，该算法是高效派生算法的典型代表^[10-11]，具有良好的分辨性能.后来，一种利用酉变换对协方差矩阵进行实值分解的方法被提出^[12].此方法在实值DOA估计中被广泛采用，但由于算法所构造的是复系数多项式，在阶次较高的情况下，获取信源DOA的求根过程中涉及复数运算，计算复杂度较高^[13-14].在root-MUSIC算法的基础之上，文献[15]基于阵列的范德蒙结构，提出了一种利用接收数据构造多项式并求根的方法，保证了在快拍数较少的情况下也能正常工作.

本文提出的基于实系数多项式闭式求根的DOA估计(Real-Coefficient root-MUSIC，RC-root-MUSIC)算法则利用变换域的思想，进一步将复系数的求根多项式转化为同阶次的实系数求根多项式，降低了计算复杂度.最后在利用实值运算进行信源DOA的求解时，运用了Bairstow快速算法^[16]，在保证计算精度的前提下提高了计算效率，从而为root-MUSIC算法的工程化推进提供了理论依据.

1 信号模型及相关算法 1.1 信号模型

假设XOY平面存在M个相互独立的阵元，以半波长等间距放置并组成均匀线阵(uniform linear array，ULA)模型.考虑空间中存在N个远场窄带信号并且通道附加高斯白噪声，定义DOA为信号与阵列法线的夹角^[2]，如图 1所示.则阵列接收数据为

$ \boldsymbol{X}(t)=\boldsymbol{A}({\theta}) \boldsymbol{S}(t)+\boldsymbol{N}(t), $

式中：$\boldsymbol{X}(t) \in \mathbb{C}^{M \times 1}$为数据接收矢量，$\boldsymbol{S}(t) \in \mathbb{C}^{N \times 1}$是空间信号矢量，$\boldsymbol{N}(t) \in \mathbb{C}^{M \times 1}$为噪声信号矢量，$\boldsymbol{A}({\theta})\in \mathbb{C}^{M \times N}$为空间导向矢量矩阵并且每一列的导向矢量可定义为

$ \mathit{\boldsymbol{\alpha }}\left( {{\theta _i}} \right) = {\left[ {1, {{\rm{e}}^{{\rm{ - j}}{{\rm{ \mathsf{ τ} }}_{{\rm{1i}}}}}}, \cdots , {{\rm{e}}^{{\rm{ - j}}{{\rm{ \mathsf{ τ} }}_{{\rm{Mi}}}}}}} \right]^{\rm{T}}}, i \in [1, N]. $

式中$\mathrm{j} \triangleq \sqrt{-1}$为复数运算标志，τ_ki为时延.它的表达式为

$ {{\rm{ \mathsf{ τ} }}_{{\rm{ki}}}} = \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}({\rm{k}} - 1){\rm{d}}\sin {{\rm{ \mathsf{ θ} }}_i}}}{\lambda }. $

式中:d=λ/2，λ为入射信号的波长.

阵列接收数据协方差矩阵定义为^[1-2]

$\boldsymbol{R}=E\left[X X^{\mathrm{H}}\right]=\boldsymbol{A} \boldsymbol{R}_{\mathrm{s}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{H}}+\boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{n}}^{2} \boldsymbol{I}.$

式中: R_s为信号协方差矩阵，σ_n²为高斯白噪声功率.对R进行特征值分解，可得

$ \mathit{\boldsymbol{R}} = \sum\limits_{{\rm{i}} = 1}^N {{\lambda _{\rm{i}}}} {\mathit{\boldsymbol{e}}_{\rm{i}}}\mathit{\boldsymbol{e}}_{\rm{i}}^{\rm{H}} + \sum\limits_{{\rm{j}} = N + 1}^M {{\lambda _{\rm{j}}}} {\mathit{\boldsymbol{e}}_{\rm{j}}}\mathit{\boldsymbol{e}}_{\rm{j}}^{\rm{H}}. $

式中：λ_i, i=1, 2, …, N为矩阵R的N个大特征值，λ_j, j=N+1, …, M为(M-N)个小特征值，由λ_i和λ_j分别对应的特征向量e_i和e_j构成了矩阵

$\left\{\begin{array}{l}{\boldsymbol{U}_{\mathrm{s}} \triangleq\left[\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \cdots, \boldsymbol{e}_{\mathrm{N}}\right]}, \\ {\boldsymbol{U}_{\mathrm{n}} \triangleq\left[\boldsymbol{e}_{\mathrm{N}+1}, \boldsymbol{e}_{\mathrm{N}+2}, \cdots, \boldsymbol{e}_{\mathrm{M}}\right]}.\end{array}\right.$

则U_s和U_n的列向量分别张成了信号子空间和噪声子空间，并且span(U_s)⊥span(U_n)以及span(U_s)=span(A).

1.2 MUSIC算法

根据信号与噪声两者子空间的正交性，在信号DOA方向有a^H(θ)U_n=0，进一步可以通过‖a^H(θ)U_n‖得到MUSIC空间谱函数

$ {f_{{\rm{MSUIC}}}}(\theta ) = \frac{1}{{{\alpha ^{\rm{H}}}(\theta ){\mathit{\boldsymbol{U}}_{\rm{n}}}\mathit{\boldsymbol{U}}_{\rm{n}}^{\rm{H}}\alpha (\theta )}}. $

(1)

通过在[-π/2, π/2]进行遍历搜索，找出式(1)的极大值点θ即为信源DOA.

1.3 root-MUSIC算法

根据上述阵列和信号模型，root-MUSIC算法定义如下多项式

$ f_{\text {root }}(z)=\boldsymbol{p}^{\mathrm{H}}(z) \boldsymbol{U}_{\mathrm{n}} \boldsymbol{U}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{p}(z). $

式中z=e^jw，导向矢量p(z)为

$\boldsymbol{p}(z)=\left(1, z, z^{2}, \cdots, z^{\mathrm{M}-1}\right)^{\mathrm{T}}, $

对f_root(z)求根即可求得信号DOA.考虑到式中含有z^*项，做如下修正

$f_{\text {root }}(z)=z^{\mathrm{M}-1} \boldsymbol{p}^{\mathrm{T}}\left(z^{-1}\right) \boldsymbol{U}_{\mathrm{n}} \boldsymbol{U}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{p}(z).$

(2)

此时，多项式f_root(z)的阶数为2(M-1).由于具有埃尔米特属性，则其具有关于单位圆对称的M-1对共轭根，这M-1对根中有N对根分布在单位圆上.在实际应用中，考虑误差的存在，再得到N对靠近单位圆的根后，可按式(3)求解信号DOA

$ {\theta _{\rm{i}}} = \arcsin \left( {\frac{\lambda }{{2{\rm{ \mathsf{ π} d}}}}\arg \left( {{z_{\rm{i}}}} \right)} \right), i \in [1, N]. $

(3)

root-MUSIC以多项式求根代替谱峰搜索，求解过程计算量减小.

2 实系数多项式闭式求根的快速DOA估计 2.1 实系数多项式RC-root-MUSIC算法

在root-MUSIC算法中，根据式(2)令f_root(z)=0并求根即可获得信号DOA.但多项式展开后涉及复数计算，复杂度较高.为方便计算，先对式(2)进行移项处理

$f_{\text {root }}(z)=\boldsymbol{p}^{\mathrm{H}}(z) z^{\mathrm{M}-1} \boldsymbol{U}_{\mathrm{n}} \boldsymbol{U}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{p}(z).$

然后令p^H(z)z^M-1=p^T(z)J，其中变换矩阵J为

$\boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{ccccc}{0} & {0} & {\cdots} & {0} & {1} \\ {0} & {0} & {\cdots} & {1} & {0} \\ {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {0} & {1} & {\cdots} & {0} & {0} \\ {1} & {0} & {\cdots} & {0} & {0}\end{array}\right]_{\mathrm{M} \times \mathrm{M}}.$

(4)

此时，root-MUSIC算法的表达式可等价为

$f_{\text {root }}(z)=\boldsymbol{p}^{\mathrm{T}}(z) \boldsymbol{J} \boldsymbol{U}_{\mathrm{n}} \boldsymbol{U}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{p}(z).$

(5)

由于式(5)为复系数表达式，直接进行求根运算，计算相当复杂.考虑到如果能够将复系数表达式实值化，那么将为降低root-MUSIC算法的计算量提供了可能.基于此分析，引入新的变量u来进行坐标系的转换，为后续的系数实值化进行预处理.变量u定义如下

$ u(z) = - {\rm{j}}\frac{{z - {\rm{j}}}}{{z + {\rm{j}}}}. $

(6)

该变换将root-MUSIC谱函数f_root(z)从传统的z域转换到u域，其反变换为

$ z(u) = - {\rm{j}}\frac{{u - {\rm{j}}}}{{u + {\rm{j}}}}. $

(7)

显然，对于给定的z域DOA有唯一的u域DOA与其对应，则以u域和以z域得到的DOA具有相同的物理意义.

对于半波长ULA，w=π sin (θ).当θ∈[0, π/2]时，根据z=e^jw及欧拉公式e^jw=cos(w)+jsin(w)可知，z∈[1, -1]，对应z平面的上半圆，根据式(6)映射到u平面实轴上对应u∈[-1, 1].同理当θ∈[-π/2, 0]时，u平面上映射区间为u∈(-∞, -1]∪[1, +∞)，如下图 2所示.

为进一步将复系数表达式转换为实系数表达式，将式(7)代入导向矢量p(z)中，可以得到u域中p(u)|_z(u)的每一个元素

$\boldsymbol{p}_{\mathrm{m}}(u)=z^{\mathrm{m}-1}=(-\mathrm{j})^{\mathrm{m}-1}\left(\frac{u-\mathrm{j}}{u+\mathrm{j}}\right)^{\mathrm{m}-1}, m \in[1, M].$

定义新的变量φ(u)

$\begin{array}{c}{\varphi_{\mathrm{m}}(u)=p_{\mathrm{m}}(u) \times(u+\mathrm{j})^{\mathrm{M}-1}=} \\ {A \times(u-\mathrm{j})^{\mathrm{m}-1}(u+\mathrm{j})^{M-\mathrm{m}}}.\end{array}$

(8)

式中A=(-j)^m-1.可以看出由φ_m(u), m∈[1, M]组成的φ(u)为M-1阶多项式，式(9)将φ(u)用矩阵简化为

$ \varphi (u) = \mathit{\boldsymbol{Cv}}(u). $

(9)

式中:C为M×N维系数矩阵.对于半波长ULA阵列，C可以一次计算获得.v(u)为范德蒙向量

$ \boldsymbol{v}_{\mathrm{m}}(u)=u^{\mathrm{m}-1}. $

(10)

根据式(8)中φ(u)和导向矢量p(u)的关系，p(u)可进一步表示为

$ \boldsymbol{p}(u)=(u+\mathrm{j})^{1-\mathrm{M}} \boldsymbol{C} \boldsymbol{v}(u). $

(11)

将式(11)代入式(4)中可得u域中的root-MUSIC谱函数f_RC-root(u)

$ \begin{array}{c}{f_{\mathrm{RC}-\text { root }}(u)=\boldsymbol{p}^{\mathrm{T}}(u) \boldsymbol{JU}_{\mathrm{n}} \boldsymbol{U}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{p}(u)=} \\ {(u+\mathrm{j})^{2(1-\mathrm{M})} \times \boldsymbol{v}^{\mathrm{T}}(u) \times \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{J} \boldsymbol{U}_{\mathrm{n}} \boldsymbol{U}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{C} \boldsymbol{v}(u)}.\end{array} $

此时，当u=-j时f_RC-root(u)=0.根据式(7)可知z=-∞，故舍去.从而获得修正后的f_RC-root(u)

$ f_{\mathrm{RC}-\text { root }}(u)=\boldsymbol{v}^{\mathrm{T}}(u) \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{J} \boldsymbol{U}_{\mathrm{n}} \boldsymbol{U}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{C} \boldsymbol{v}(u). $

(12)

可以看出式(12)是一个关于u的2(M-1)阶多项式.根据多项式求根的性质，一个2(M-1)阶多项式有2(M-1)个根，这些根可能为实根或复根.如果这个多项式是实系数多项式或虚系数多项式，那么它的复根将以共轭根对的形式呈现.

而在传统root-MUSIC算法中，多项式的根关于单位圆镜像对称，根据式(6)中z域和u域的转换关系可知，z域的单位圆映射到u域后为实轴.因此，在u域中这些多项式的根关于实轴呈共轭对称，如图 3所示.由此可以推出，式(12)中f_RC-root(u)为实系数多项式或虚系数多项式.

为进一步讨论f_RC-root(u)中系数的实虚问题，根据根的分布情况，式(12)可做如下变换：

$ \begin{array}{c}{\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{J} \boldsymbol{U}_{\mathrm{n}} \boldsymbol{U}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{C}}, \\ {f_{\mathrm{RC}-\mathrm{root}}(u)=\boldsymbol{v}^{\mathrm{T}}(u) \boldsymbol{Y} \boldsymbol{v}(u).}\end{array} $

(13)

以下根据M的奇偶性，可分两种情况对式(13)进行化简.

情况1：阵元数M为奇数时，Y为

$ \mathit{\boldsymbol{Y}} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_{11}} + {\rm{j}}{z_{11}}}& \cdots &{{y_{{\rm{ \mathsf{ ξ} \mathsf{ η} }}}} + j{z_{{\rm{ \mathsf{ ξ} \mathsf{ η} }}}}}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {{y_{{\rm{ \mathsf{ η} \mathsf{ ξ} }}}} + {\rm{j}}{z_{{\rm{ \mathsf{ η} \mathsf{ ξ} }}}}}& \cdots &{{y_{{\rm{MM}}}} + {\rm{j}}{z_{{\rm{MM}}}}} \end{array}} \right)_{{\rm{M}} \times {\rm{M}}}}. $

(14)

式中：z_ξξ=0, ξ∈[1, M]，y_ξη=y_ηξ，z_ξη=-z_ηξ.由于在计算中式(14)的虚部被抵消，v(u)为实向量，此时式(12)中f_RC-root(u)为实系数多项式.为减少计算量，式(12)可简写为

$ f_{\mathrm{RC}-\mathrm{root}}(u)=\boldsymbol{v}^{\mathrm{T}}(u) \operatorname{Re}\left\{\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{J} \boldsymbol{U}_{\mathrm{n}} \boldsymbol{U}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{C}\right\} \boldsymbol{v}(u), $

(15)

情况2：阵元数M为偶数时，Y为

$ \mathit{\boldsymbol{Y}} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_{11}} + {\rm{j}}{z_{11}}}& \cdots &{{y_{{\rm{ \mathsf{ ξ} \mathsf{ η} }}}} + {\rm{j}}{z_{{\rm{ \mathsf{ ξ} \mathsf{ η} }}}}}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {{y_{{\rm{ \mathsf{ η} \mathsf{ ξ} }}}} + {\rm{j}}{z_{{\rm{ \mathsf{ η} \mathsf{ ξ} }}}}}& \cdots &{{y_{{\rm{MM}}}} + {\rm{j}}{z_{{\rm{MM}}}}} \end{array}} \right)_{{\rm{M}} \times {\rm{M}}}}. $

式中：y_ξξ=0, ξ∈[1, M]，y_ξη=-y_ηξ，z_ξη=z_ηξ.由上述变换同理可知，式(12)中f_RC-root(u)为虚系数多项式.对等式两遍取虚部

$ f_{\mathrm{RC}-\mathrm{root}}(u)=\boldsymbol{v}^{\mathrm{T}}(u) \operatorname{Im}\left\{\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{J} \boldsymbol{U}_{\mathrm{n}} \boldsymbol{U}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{C}\right\} \boldsymbol{v}(u). $

(16)

此时，式(16)为实系数多项式，具有和式(13)相同的解，并且式(15)和式(16)均为2(M-1)阶.至此，z域中的复系数多项式在经过坐标轴变换后全部转化为u域中实系数多项式.最后根据式(17)可以得到传统的角度域和u域的关系

$ w=(-\mathrm{j}) \times \ln \left(-\mathrm{j} \times \frac{u-\mathrm{j}}{u-\mathrm{j}}\right). $

(17)

如前文所述，RC-root-MUSIC的中心思想就是将复数运算转化为同阶次的实数运算，极大减少了计算量.而在实际应用中可以继续利用Bairstow快速求根法对实系数多项式进行求解.

2.2 实系数多项式求解的Bairstow算法

RC-root-MUSIC算法虽然减少了计算量，但是所构造的实系数多项式具有和复系数多项式相同的阶数.当2(M-1)较大时，求根运算依旧十分复杂.考虑到实系数多项式具有关于实轴对称的根，而Bairstow算法通过利用收敛的二次因子可以对实系数多项式进行快速求根.由此分析，假设：x₁=α+jβ和x₂=α-jβ是RC-root-MUSIC中关于实轴对称的共轭根，则可构造一个二次因子x²+μx+ν，使x₁, x₂为二次因子的两个解.设n阶实系数多项式为

$ P(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {{a_{\rm{k}}}} {x^{\rm{k}}}. $

通常，实系数多项式除以一个二次因子时余项为一个线性项，即多项式可以改写为

$ \begin{aligned} P(x)=& \sum\limits_{k=0}^{n} a_{{\rm k}} x^{{\rm k}}=\left(x^{2}+\mu x+\nu\right) Q(x)+R(x)=\\ &\left(x^{2}+\mu x+\nu\right)\left(\sum\limits_{k=0}^{n-2} b_{{\rm k}} x^{{\rm k}}\right)+R(x). \end{aligned} $

(18)

式中:Q(x)为P(x)除以二次因子x²+μx+ν的商，R(x)=Cx+D为余数.同时，式中各系数关系^[16]可通过式(19)至式(22)求出：

$ b_{\mathrm{n}}=b_{\mathrm{n}-1}=0, $

(19)

$ b_{\mathrm{k}}=a_{\mathrm{k}+2}-\mu b_{\mathrm{k}+1}-\nu b_{\mathrm{k}+2}, $

(20)

$ C=a_{1}-\mu b_{0}-\nu b_{1}, $

(21)

$ D=a_{0}-\nu b_{0}. $

(22)

从上述公式可以看出，若给定μ和ν的值，则可求得C和D.因此，可把C和D看作μ和ν的函数，即定义C=C(μ, ν)，D=D(μ, ν).Baristow法就是利用牛顿法求解μ和ν，即构造雅克比矩阵求解其偏导数.为得到μ和ν中偏导数项，对P(x)关于变量μ求导，有

$ \frac{\partial P}{\partial \mu}=\left(x^{2}+\mu x+\nu\right) \frac{\partial Q}{\partial \mu}+x Q+\frac{\partial C}{\partial \mu} x+\frac{\partial D}{\partial \mu}=0. $

为方便化简进行移项，可得

$ -x Q=\left(x^{2}+\mu x+\nu\right) \frac{\partial Q}{\partial \mu}+\frac{\partial C}{\partial \mu} x+\frac{\partial D}{\partial \mu}. $

(23)

同理对P(x)关于变量ν求导

$ \frac{\partial P}{\partial \nu}=\left(x^{2}+\mu x+\nu\right) \frac{\partial Q}{\partial \nu}+Q+\frac{\partial C}{\partial \nu} x+\frac{\partial D}{\partial \nu}=0. $

并进行移项，可得

$ -Q=\left(x^{2}+\mu x+\nu\right) \frac{\partial Q}{\partial \nu}+\frac{\partial C}{\partial \nu} x+\frac{\partial D}{\partial \nu}. $

(24)

为求解出系数再次用Q(x)除以二次因子x²+μx+ν

$ Q(x) = \left( {{x^2} + \mu x + \nu } \right)\left( {\sum\limits_{i = 0}^{n - 4} {{f_i}} {x^i}} \right) + (Gx + H). $

(25)

利用待定系数法将式(24)与式(25)联立，可得其系数的内部关系如下：

$ \begin{array}{l}{\frac{\partial C}{\partial \nu}=-G}, \\ {\frac{\partial D}{\partial \nu}=-H}.\end{array} $

由假设可知，x₁, x₂是x²+μx+ν=0的两个解，将其带入式(25)可进一步化简为

$ Q\left(x_{1, 2}\right)=G x_{1, 2}+H. $

(26)

将式(26)代入式(23)中得：

$ -x_{1}\left(G x_{1}+H\right)=\frac{\partial C}{\partial \mu} x_{1}+\frac{\partial D}{\partial \mu}. $

(27)

$ -x_{2}\left(G x_{2}+H\right)=\frac{\partial C}{\partial \mu} x_{2}+\frac{\partial D}{\partial \mu}. $

(28)

由二次多项式根与系数的性质，得知：

$ x_{1}+x_{2}=-\mu, $

(29)

$ x_{1} x_{2}=\nu. $

(30)

将式(27)至式(30)联立并求解方程组，可将C和D中所有关于μ和ν的偏导数全部求出，结论如下：

$ \begin{array}{c}{\frac{\partial C}{\partial \mu}=\mu G-H}, \\ {\frac{\partial D}{\partial \mu}=\nu G}.\end{array} $

由于Bairstow法仅限于实值运算并且每次仅求解多项式的一对共轭根，因此将其应用于RC-root-MUSIC算法中将具有重要的工程意义.根据上述性质，借助实系数多项式求根的方法可以快速估计信号DOA，这就是本文提出的RC-root-MUSIC算法，具体实施步骤如下

步骤一：对阵列协方差矩阵R进行特征值分解，得到信号子空间和噪声子空间；

步骤二：根据式(5)构造矩阵J，并根据式(9)至式(10)构造矩阵C以及范德蒙向量v；

步骤三：根据式(15)或(16)构造实系数多项式并利用Bairstow算法对其求根；

步骤四：从所有根中找出接近实轴的N对共轭对称根，根据式(17)求解出对应w的值；

步骤五：根据w与θ的对应关系，求解信号的波达角；

3 计算量分析

首先分析经典MUSIC和root-MUSIC算法的计算量.由于这两种算法均包含协方差矩阵计算和特征值分解的步骤，两者的实值总计算量共为4×M²(N+M)^[4]，其中ο(·)为实数运算.通过文献[5]可知，复数的运算量通常是实数的4倍，因此，总计算量为4×M²(N+M).再分别考虑不同经典算法进行求解DOA时的不同计算量，MUSIC算法是通过谱峰搜索获得信源DOA，其计算量与在角度范围[-π/2, π/2]内的搜索总点数J成正比(一般情况下，J≫M³).而root-MUSIC则是通过多项式求根代替谱峰搜索，计算量与多项式的阶数成正比.

接下来考虑所提出的RC-root-MUSIC，协方差矩阵的计算和特征值分解均已考虑，这里不再详细赘述.RC-root-MUSIC的计算量主要体现在求根多项式的构建上，以奇阵元为例.式(24)中J和C可以通过离线求得，单元ο(6M³-6NM²)给出了构造RC-root-MUSIC算法中的实系数多项式的计算量.对算法所构造的2(M-1)阶多项式进行求根，其计算量为ο((2M-2)³).可以得出结论见表 1.

通过RC-root-MUSIC与root-MUSIC的计算量分析可以看出，RC-root-MUSIC的计算量远小于root-MUSIC.当阵元数M较大时，RC-root-MUSIC计算量的优势更加突出.

4 仿真及分析 4.1 root-MUSIC和RC-root-MUSIC效率对比

为进一步确认RC-root-MUSIC相比于root-MUSIC性能的优越性，本实验主要比较不同阵元数下两种算法的仿真时间.假设采用ULA阵型，两个入射信号的方向为10°和45°，信噪比SNR为15 dB，快拍数为300.

root-MUSIC与RC-root-MUSIC的200次蒙特卡洛实验运行总时长的对比如下表 2所示.为准确比较算法的运算速度，两种算法中均包含的协方差矩阵R以及特征分解不在考虑范围之内.由表 2可以看出，RC-root-MUSIC算法运算速度在大阵元情况下明显优于root-MUSIC算法.

4.2 root-MUSIC和RC-root-MUSIC算法中根的分布情况

本实验主要验证root-MUSIC和RC-root-MUSIC在不同坐标系下根的分布情况.假设采用8阵元的ULA阵型，两个入射信号的方向为10°和45°，SNR为15 dB，快拍数为300.

图 4为z域中root-MUSIC所构造多项式的根分布情况.由式(10)可知阵元数为8的情况下应拥有M-1=7对根，并且每对共轭根关于单位圆呈镜像对称，含有DOA信息的根位于单位圆附近.

图 5为u域中RC-root-MUSIC所构造多项式的根分布情况.由式(31)可知有M-1=7对关于实轴对称的根，含有DOA信息的根位于实轴附近，因此RC-root-MUSIC算法可以准确估计信号源的个数.

4.2 root-MUSIC和RC-root-MUSIC精度对比

本实验用于分析信噪比和快拍数在不同范围内对估计精度的影响.假设采用8阵元的ULA阵列，两个入射信号的方向为10°和45°，蒙特卡洛试验次数为200次.实验中采用均方根误差RMSE来描述角度估计的精度R_RMSE为

$ {R_{{\rm{RMSE}}}} = \sqrt {\frac{1}{{200}}\sum\limits_{{\rm{i}} = 1}^{200} {{{\left( {{\theta _i} - \theta } \right)}^2}} } . $

式中θ_i代表第i次蒙特卡洛实验得到的角度估计值.同时，引入MUSIC算法、求根MUSIC算法、酉求根MUSIC算法、ESPRIT算法^[18]、实值求根MUSCI算法(RV-root-MUSIC)^[19]以及非限制克拉美罗下界(Unconditional Cramer-Rao Lower Bound，CRLB)^[17]来衡量估计的性能.其中，RV-root-MUSIC算法利用协方差矩阵实虚部分离原理，构建了一个2(M-1)阶实系数求根多项式，由于和本文所提出的RC-root-MUSIC算法具有相似性，因此作为性能仿真中的对比算法.

由图 6和图 7可见，本文提出的RC-root-MUSIC和经典的root-MUSIC算法具有相同的估计精度.原因在于RC-root-MUSIC算法采用的是坐标系变换的方法，其核心是坐标映射的关系.将式(15)改写为u=f(z)，即u可以看作是z的函数.在RC-root-MUSIC算法中，先对u进行求解，然后将结果反带回z，因此可以得出RC-root-MUSIC和root-MUSIC具有相同的解的结论，从而两者具有相同的估计精度.

图 6中当信噪比在20 dB~40 dB的时候，root-MUSIC、RC-root-MUSIC，U-root-MUSIC和MUSIC的RMSE呈直线下滑的趋势4种算法的RMSE优于ESPRIT算法和RV-root-MUSIC算法并且均逐渐趋近于CRLB.而图 7中可以得到相同的结论，root-MUSIC和RC-root-MUSIC两种算法的RMSE相同并趋近于CRLB.从性能图中可以看出，本文所提出的RC-root-MUSIC算法具有和传统求根类算法相同的估计精度，同时优于新颖的RV-root-MUSIC算法.

5 结语

本文在分析了高效超分辨算法中典型代表root-MUSIC算法的优缺点之后，先提出实系数多项式root-MUSIC算法，即RC-root-MUSIC算法，利用变换矩阵以及坐标系之间的映射，将复系数求根多项式转化为实系数求根多项式进行求解.再利用Bairstow算法，把一个复杂的实系数多项式逐步分解为多个一元二次多项式，实现了降次从而加快了求根的效率.最后通过计算机仿真，证明了所提出的算法保持了相同的DOA估计精度，降低了计算复杂度，并极大减少了计算时间，为root-MUSIC算法在工程应用中提供了强有力的理论依据.