为了有效利用定量信息和专家提供的不完整的或不确定的信息，对复杂问题进行建模，Yang等^[1]提出了基于证据推理算法的置信规则库推理方法(belief rule-base inference methodology using the evidential reasoning approach，RIMER).RIMER融合了D-S证据理论、决策理论、模糊理论和传统IF-THEN规则库的知识，能够对带有含糊或模糊不确定性、不完整或概率不确定性以及非线性特征的数据进行建模.目前，RIMER已经在石油管道检漏^[2-3]、故障诊断^[4-8]、意图识别^[9-10]、装备能力评估^[11-13]等领域得到广泛应用.

RIMER主要包括知识的表达和知识的推理.其中，知识的表达是通过置信规则库(belief rule-base，BRB)系统来实现的，而知识的推理是利用证据推理(evidential reasoning，ER)算法来进行.由于专家经验的不确定性，初始建立的BRB系统往往是不准确的.为此，可以利用得到的数据集，结合参数训练的方法对BRB系统的推理参数进行优化.目前，对于RIMER的研究也主要集中在这一领域.包括Yang等^[14]提出用Matlab中的FMINCON函数进行参数训练；常瑞、吴伟昆等^[15-16]基于优化步长和梯度法进行置信规则库参数学习；苏群等^[17]利用变速粒子群算法来优化置信规则库参数；杨慧等^[18]利用改进粒子群算法对置信规则库参数进行训练.然而，在故障诊断和装备能力评估的实际操作过程中，由于人为失误、操作过程不规范、关键参数难获取等方方面面的原因^[19]，常常出现输入信息不完整、与置信规则前件无法匹配、从而导致BRB系统不能正常使用的情况.而且BRB系统一经建立，输入参数的个数就固定了，在实际运用的过程中适应性不强.如何根据不完整的输入信息进行置信规则库推理，成为亟待解决的问题，而目前在这方面的研究还比较少.

基于此，本文受抽样思想^[20-22]的启发，提出了一种输入信息不完整的置信规则库推理方法.首先，根据经验或历史数据获取前提条件属性分布情况；然后对于缺失的前提条件属性，依据其分布情况，进行分层抽样^[23-25]，确定多个抽样值；接下来将每个抽样值与已有的前提条件属性组合成多个完整的输入，并分别利用ER算法进行推理；最后将所有输入的推理结果利用ER算法进行二次融合，得到最终的结论.在实验部分引入发动机故障诊断的置信规则库，通过仿真数据与其他几种方法进行对比，验证本文方法的有效性.

1 RIMER方法 1.1 置信规则库表示

置信规则是根据IF-THEN规则发展而来，引入了分布式置信框架和权重参数.其中BRB系统中的第k条规则表示如下：

$ $

R_k:if x₁ is A₁^k∧x₂ is A₂^k∧…∧x_M is A_M^k,

Then {(D₁, β_{1, k}), (D₂, β_{2, k}), …, (D_N, β_{N, k}),

With a rule weight θ_k and attribute weight δ₁, δ₂, …, δ_M.

式中：x_i(i=1, 2, …, M)为第i个前提属性, 其中M为前提属性的个数；A_i^k为第k条规则第i个输入的参考值; D_i(i=1, 2, …, N)为结果属性的第i个评价等级，其中N为评价等级的个数；β_{i, k}为第k条规则中第i个评价等级的置信度，k=1, 2, …, L, 其中L为BRB中置信规则的个数；θ_k为规则权重; δ_i为前提属性权重.

1.2 置信规则库推理方法 1.2.1 置信规则激活权重的计算

输入信息x对k条规则的激活权重可以通过下式来计算，即

$ {\omega _k} = \frac{{{\theta _k}\prod\limits_{i = 1}^M {{{\left( {\alpha _i^k} \right)}^{{{\bar \delta }_i}}}} }}{{\sum\limits_{l = 1}^L {{\theta _l}\prod\limits_{i = 1}^M {{{\left( {\alpha _i^l} \right)}^{{{\bar \delta }_i}}}} } }}. $

式中：ω_k∈[0, 1]，k=1, 2, …, L; α_i^k(i=1, 2, …, M)为在第k条规则中第i个输入x_i相对于参考值A_i^k的置信度.

1.2.2 ER算法融合

当计算出规则的激活程度后，就可以利用ER算法将BRB中的规则进行融合.首先，将结果属性中的置信度转化为基本概率质量:

$ {m_{j, k}} = {\omega _k}{\beta _{j, k}}, $

(1)

$ {m_{D, k}} = 1 - {\omega _k}\sum\limits_{j = 1}^N {{\beta _{j, k}}}, $

(2)

$ {{\bar m}_{D, k}} = 1 - {\omega _k}, $

(3)

${{\tilde m}_{D, k}} = {\omega _k}\left( {1 - \sum\limits_{j = 1}^N {{\beta _{j, k}}} } \right). $

(4)

式中：m_{j, k}为相对于评价结果D_j的基本概率设置; m_{D, k}为相对于集合D的基本概率设置，也就是未设置给任意评价结果的基本概率，m_{D, k}=m_{D, k}+${{\tilde m}_{D, k}}$; m_{D, k}为由第k条规则的重要度(激活权重)引起的; ${{\tilde m}_{D, k}}$为由第k条规则评价结果的不完整性引起的，如果第k条规则评价结果是完整的，即${1 - \sum\limits_{j = 1}^N {{\beta _{j, k}}}=0 }$，此时${{\tilde m}_{D, k}}=0$.

然后，利用ER解析算法对L条规则进行融合，公式如下：

$ \begin{array}{l} {{\hat \beta }_j} = \frac{{\mu \times \left[{\prod\limits_{k = 1}^L {({\omega _k}{\beta _{j, k}} + 1-{\omega _k}\sum\limits_{i = 1}^N {{\beta _{i, k}}} } } \right]}}{{1 - \mu \times \left[{\prod\limits_{k = 1}^L {\left( {1-{\omega _k}} \right)} } \right]}} - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{\mu \times \left[{\prod\limits_{k = 1}^L {(1-{\omega _k}\sum\limits_{j = 1}^N {{\beta _{i, k}}} } } \right]}}{{1 - \mu \times \left[{\prod\limits_{k = 1}^L {\left( {1-{\omega _k}} \right)} } \right]}}, \end{array} $

(5)

$ \begin{array}{l} \mu = \left[{\sum\limits_{j = 1}^N {\prod\limits_{k = 1}^L {({\omega _k}{\beta _{j, k}} + 1-{\omega _k}\sum\limits_{j = 1}^N {{\beta _{i, k}}-} } } } \right.\\ \;\;\;\;\;\;{\left. {\left( {N-1} \right)\prod\limits_{k = 1}^L {\left( {1 - {\omega _k}\sum\limits_{i = 1}^N {{\beta _{i, k}}} } \right)} } \right]^{ - 1}}, \end{array} $

(6)

式中${{\hat \beta }_j} $为相对于评价结果D_j的置信度.

1.2.3 参数优化

为了提高推理精度，可以利用训练数据在已有置信规则库的基础上对推理参数进行优化，主要优化的推理参数是规则权重以及前提属性权重.基于置信规则库的推理类似于人的推理过程，可以同时综合考虑多条规则，最后推理出的决策结果带有置信度分布特点.规则权重以及规则前提属性权重会影响到推理结果的精度，在提取得到的初始置信规则库基础上，进一步利用训练数据优化推理参数，从而提高推理的精度，过程如图 1所示.

2 输入信息不完整的推理方法 2.1 获取前提属性分布

在实际的系统中，由于性能演变的规律性^[26]，收集到的参数通常也会存在一定的分布规律.参数的分布规律可以通过经验或者历史数据统计来获取，本文主要介绍数据统计的方法.

假设历史数据集为X，需要统计前提条件属性x₁的分布情况，具体过程如下：首先，通过排序，求出X中前提条件属性x₁的最大值x_1max和最小值x_1min，并得到数据分布的范围为

$ {L_1} = {x_{{\rm{1max}}}} - {x_{{\rm{1min}}}}, $

接下来确定分割的区间个数d₁，并计算得到每个区间的长度为

${l_1} = {L_1}/{d_1}, $

据此固定每个区间的范围为[x_1min, x_1min+l₁), [x_1min+ l₁, x_1min+2l₁), …, [x_1min+(d₁-1)l₁, x_1max].其中，d₁的值要根据历史数据的密集程度来进行确定，使得区间的大小更加合理.最后通过统计落在每个区间的数据个数，得出通过数据估计的分布情况.

根据大数定律可知，当数据量足够大时，事件出现的频率将无限接近于其概率.因此，如果历史数据量足够大，通过历史数据来统计得到前提条件的分布情况是合理的.

2.2 通过分层抽样组合成多个输入

获取前提条件属性的分布情况后，接下来通过分层抽样的方法对缺失的条件属性进行补充.数据的分布情况通常有两种表现形式，一种是分布函数，这也是分布情况最一般的表示方法；另一种是未能获取分布函数的情况下，通过统计方法估计的分布情况.接下来将分别说明两种情况下抽样的过程.

2.2.1 利用分布函数进行分层抽样

假设输入的前提属性为X=[x₁, x₂, …, x_M]，x₁因为某些原因未能获取，但是根据历史经验，得知x₁服从[0, 1]上的分布，分布函数为F(x₁)，其概率密度函数f(x₁)如图 2所示.

分层抽样的过程主要包括以下步骤：首先，确定抽样层数和抽样区间长度l₁，从而固定每个抽样区间的范围; 然后，根据x₁的概率密度函数求出

$ {p_i} = \int_{\left( {i - 1} \right){l_1}}^{i{l_1}} {f\left( {{x_1}} \right){\rm{d}}{\mathit{x}_1} = F\left( {i{l_1}} \right) - F\left( {\left( {i - 1} \right){l_1}} \right), } $

式中p_i为第i个抽样区间[(i-1)l₁, l₁)与概率密度函数所包围的区域面积，即落在该抽样区间的概率.由此计算得到的p_i通常不是整数，但在后续的步骤中，每个区间需要确定一个整数值，从而分开进行推理.为此，设置一个常数K，将p_i整数化为

$ {s_i} = {\rm{round}}(K_{pi}), $

s_i即为每个抽样区间的抽样数.其中，K的取值需要尽量满足:

$ \mathop {{\rm{min}}}\limits_K \left\{ {\sum {\left| {K{p_i}- {\rm{round}}\left( {K{p_i}} \right)} \right|} {\rm{ }}} \right\}. $

(7)

为简便起见，将中间值作为每个抽样区间的抽样值，即

$x_1^j = x_1^{j + 1} = \cdots x_1^{j + {s_i}} = \left( {i- 1} \right){l_1} + 1/2{l_1}. $

2.2.2 利用统计的分布情况进行分层抽样

如果是利用统计方法获取的参数分布情况，则可以直接利用统计中所用的区间进行抽样.假设通过统计得到的参数分布如图 3所示.

图 3中N_i为第i个抽样区间[x_1min+(i-1)l₁, x_1min+il₁)统计得到的数据个数.考虑到计算的复杂度，每个抽样区间的抽样数不能太多.为此设置一个常数C，并计算得到抽样数为

$ {s_i} = {\rm{round}}({N_i}/C), $

常数C需要满足:

$ \mathop {{\rm{min}}}\limits_C \left\{ {\sum {{N_i}/C - {\rm{round}}\left( {{N_i}/C} \right)} } \right\}, $

得到抽样数后，取抽样区间的中间值作为抽样值为

$ x_1^j = x_1^{j + 1} = \cdots x_1^{j + {s_i}} = {x_{1\min }} + \left( {i - 1} \right){l_1} + 1/2{l_1}. $

2.3 通过ER算法二次融合

对于缺失的前提条件属性，通过分层抽样的方法得到多个抽样值后，将其与其他已知的前提条件属性组合成多个输入，然后分别利用置信规则库推理方法进行推理，最后利用ER算法将所有推理结论进行二次融合，具体过程如图 4所示.

首先，由分层抽样得到x₁的多个抽样值{x₁¹, x₁², x₁³, …, x₁^j, …}，与其他已知前提条件属性组合成多个输入:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {({x^1}_1, {x_2}, \cdots, {x_M}), ({x^2}_1, {x_2}, \cdots, {x_M}), \cdots, }\\ {({x^j}_1, {x_2}, \cdots, {x_M}), \cdots .} \end{array} $

对于每一个输入分别按照置信规则库的推理方法进行推理，即计算激活程度、与置信规则库中的规则进行匹配、利用ER算法进行证据融合，得到带有置信度的评价结果{(D_i, β_i), i=1, 2, …, N}.

最后，将所有输入的推理结果再次利用ER算法进行融合，具体过程见式(1)~(6).在计算过程中，激活权重ω_k设为同一个值，没有偏好.

$ {\omega _k} = 1/\sum {{s_i}.} $

式中s_i为每个抽样区间的抽样数.

2.4 部分参数确定

在分层抽样过程中为了后续步骤的顺利进行，设置了两个参数K和C对抽样数进行取整操作.在尽量满足取整误差最小的情况下，K和C的值依然不能唯一确定.因此，可以利用部分已知数据，将最后的推理误差作为这两个参数的评价标准，对其进行进一步明确.

对于参数K，是将每个抽样区间的概率进行整数化，K的值越大，越能在推理过程中充分反映前提条件属性的分布情况.但是，K的值过大，会在一定程度上增加算法的计算复杂度.为此，将二次融合后的推理结论{(D_i, β_i), i=1, 2, …, N}与真实数据中的结论对比，得到推理误差为

$ \varepsilon = \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^N {{{\left( {{\beta _i} - {\beta _0}} \right)}^2}} } . $

根据K和推理误差的对应关系，可以大致得到如图 5的一条曲线.

随着K的增大，推理误差ε逐渐减小，但是减小的幅度也越来越小，同时，K值的增大给计算复杂度带来的困难更加明显.为了平衡两者的关系，设置一个误差容忍限度ε_b.当两个相邻的K值对应的推理误差的差值小于ε_b，则K不继续增大.

类似的，对于参数C，C越小，越能反映前提条件属性的分布情况.引入推理误差ε作为C的评价标准，并设置误差容忍限度ε_b将C进行确定.

对于前提属性分布中的抽样区间数d₁，也可以利用类似的方法进行优化，从而使d₁的值更加合理.

3 实验验证 3.1 实验准备

为了验证本文方法的有效性，选取汽车发动机故障诊断的实例^[4]进行仿真实验.该实例以进气压力、转速和喷油器喷油时间3个参数作为输入前提条件属性，正常怠速不稳工况状态和进气系统漏气、怠速电机不工作及某缸喷油器堵塞这4种情况作为输出评价等级.3个前提条件属性的参考值设置见表 1~3.

在文献[4]中，确定好初始置信规则后，利用Matlab中的多目标优化函数fminmax对置信规则库的规则权重进行了优化，训练后的置信规则库，见表 4.

对于汽车发动机故障实例，文献中只提供了24组数据，难以将本文方法进行实施.而且由于数据的缺乏，局部数据难以反映整体的分布情况，使得本文方法的真正效果不能充分体现.因此，本文通过随机产生输入的前提条件属性，然后将这些前期条件属性输入BRB系统，推理得出评价结果，从而得到仿真数据.

为了检验本文方法对不同分布情况的适应性，在随机生成3个前提条件输入时，使其服从一定的分布.利用Matlab提供的rand()和randn()函数，生成随机数，将其做一定的变换改变其分布情况，并将其组合为输入向量[x₁, x₂, x₃].将这些输入向量利用已经建立好的BRB系统进行推理，得到带有置信度的评价结果{(D₁, β₁), (D₂, β₂), (D₃, β₃), (D₄, β₄)}.将输入向量和评价结果一一对应起来，由此得到仿真数据.

3.2 实验过程及结果

获得仿真数据后，假设部分数据缺失，使得输入信息不完整，难以简单地通过BRB系统进行推理.为此，实验中通过统计分布、抽样、置信规则库推理、ER二次融合等过程，产生利用不完整输入的得到的评价结果{(D′₁, β′₁), (D′₂, β′₂), (D′₃, β′₃), (D′₄, β′₄)}，并与仿真数据中的评价结果比较，得到推理误差为$\varepsilon = \sqrt {{{\left( {{{\beta '}_1} - {\beta _1}} \right)}^2} + {{\left( {{{\beta '}_2} - {\beta _2}} \right)}^2} + {{\left( {{{\beta '}_3} - {\beta _3}} \right)}^2} + {{\left( {{{\beta '}_4} - {\beta _4}} \right)}^2}} $过程如图 6所示.

由于实验中前提条件属性的分布情况是通过数据统计的方法来获取的，历史数据个数会在一定程度上对实验结果产生影响.因此，先对历史数据个数这个关键因素进行实验分析.设置多组实验，假设分别有50、100、150个数据缺失了一个前提条件属性，并对3个前提条件属性x₁、x₂、x₃分别进行实验.通过不同数量的历史数据估计其分布情况，然后利用本文中的方法进行推理，最终得到推理误差.为了便于观察，实验中将所有数据的推理误差进行求和，得到累计误差，实验结果如图 7~9所示.通过图 7~9中结果可以看出，3个条件属性都体现出类似的趋势.当历史数据个数较少时，累计误差较大，随着历史数据个数的增多，累计误差逐渐减小，最终趋于一个稳定状态.通过进一步分析得到，当历史数据个数高于缺失数据量的两倍时，累计误差基本趋于稳定.

根据上面的实验结论，利用300组仿真数据，对3个不同分布情况的条件属性进一步进行实验分析.具体实验中，假设对于前100组数据缺失了第1个前提条件属性x₁，101~200组数据缺失了第2个前提条件属性x₂，201~300组数据缺失了第3个前提条件属性x₃.然后分别通过统计剩余200组数据来估计前提条件属性的分布情况，统计结果如图 10~12所示.

为了验证本文方法的优越性，采用其他两种方法与其进行对比:1)对于缺失的前提条件属性，借鉴统计学中众数的概念^[27-28]，选取历史数据中分布最密集的区域中间值对缺失属性进行补充，然后利用BRB系统推理得到评价结果.这种方法反映了历史数据的“多数水平”; 2)选取历史数据的中间值对缺失属性进行补充^[29]，然后利用BRB系统进行推理，体现了历史数据的“中间水平”.3种方法的累计误差如图 13~15所示.

从图 13~15可以看出，本文方法在不同分布情况下得到的推理结果累计误差都明显小于其他两种方法，这在一定程度上反映了本文方法在数据特征提取上的优势.另外，对于汽车发动机故障诊断实例，规则库中的规则数只有27条，对于不同输入的结果区分度还不够大.对于其他规则库庞大的系统，本文方法将能够更好地体现其优越性.

4 结论

1) 本文针对实际工程中参数收集困难，导致输入信息不完整、BRB系统难以正常运行的问题，提出一种基于不完整输入信息的推理方法.实验结果表明, 在有充足的历史数据时，本文方法能够大大减少推理误差.

2) 经过多组实验发现，本文方法对于不同的分布情况都有很好的适应性，给不完整输入信息的置信规则库推理提供了一种新思路.

3) 本文方法适用于前提条件属性是独立分布的情况，如何根据不同前提条件属性之间的关联关系估计得到缺失属性，有待进一步研究.