在研究实际问题时，经常会遇到研究对象处于动态复杂的环境中，导致构建模型中的参数难以确定，这种现象称之为非决定性现象.非决定性现象主要分为两类，一类是随机现象，一类是基于专家信度的现象.为更好地研究第2类非决定性现象, 陈孝伟等^[1]先后对不确定理论进行深入的研究，不断丰富和完善不确定理论，在2010年形成了一个成熟的、完备的数学系统.

在不确定基础理论研究方面，定义了不确定测度、不确定变量、独立性、数字特征及运算法则^[1]、不确定分布函数及逆分布函数^[2-3]、不确定集合^[4]等基本概念，并在此基础上，对不确定微积分^[5]、不确定差分方程^[6]、不确定分布拟合、不确定规划^[7-8]等领域进行了深入地分析和研究，为进一步研究不确定理论奠定了基础.并且不确定理论在解决风险分析^[9-10]、股票交易^[11]等问题时效果很好.

在应用研究方面，不确定理论在金融、管理、军事等领域应用广泛.但仍存在一些问题，其中最主要的问题是分布拟合后缺乏检验手段.不确定变量及其分布是应用研究的基础，不确定统计理论给出了收集专家经验数据的方法^[1]，介绍了基于专家经验数据，利用最小二乘法^[12]、Delphi法^[13]、矩估计法^[14]等拟合不确定分布函数的方法，但在不确定统计理论中并没有针对分布拟合检验的研究.文献[15-16]研究了机器路径问题，将工作的处理时间作为不确定变量，利用专家经验数据拟合了不确定变量服从的分布函数；文献[17]基于不确定理论解决了数据缺失条件下可修复系统冗余分配问题，文中构建的不确定多目标规划模型中将部件的修复率、故障率等参数作为不确定变量，并且在案例中直接给定了不确定变量服从的不确定分布函数；文献[18-19]讨论了不确定环境下多目标股票交易问题，模型中均将交易价格、供应量和需求量作为不确定变量，处理不确定变量时直接给定了不确定分布函数.此外，还有许多文献在应用研究中注重如何根据专家经验数据拟合得到不确定分布，却忽略了对拟合的不确定分布进行检验.因此，本文主要讨论如何对拟合的不确定分布进行检验.

不确定理论与随机理论最主要的区别有：1)不确定理论中的乘积测度与概率论中概率乘积测度运算法则不同，在不确定理论中，若干独立事件同时发生的不确定测度是对每个事件发生不确定测度取最小；2)不确定理论不满足可加性公理.基于上述两点，难以将随机理论中关于分布拟合检验的方法推广到不确定理论，即在不确定理论中无法定义一个检验统计量，使其在某种条件下满足皮尔逊定理.因此，本文从其他途径提出了检验分布拟合有效性的方法.

1 不确定分布特征函数 1.1 不确定分布特征函数的定义

随机分布的特征函数具有一些性质能够简化某些定理证明及数字特征的计算.因此，本文借助随机分布的特征函数，定义了不确定分布的特征函数，并给出了计算公式.

定义1^[1]  函数Φ：R→[0, 1]，是一个不确定分布，当且仅当它是一个不满足Φ(x)≡1或Φ(x)≡0的单调增函数.

定义2^[1]  设Φ(x)是不确定变量ξ的不确定分布，如果Φ(x)在集合上{x|0Φ(x)＜1}是连续严格单调递增的，且$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \mathit{\Phi }\left( x \right) = 0 $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \mathit{\Phi }\left( x \right) = 1$，则称Φ(x)是正则不确定分布.

定义3  不确定变量ξ服从正则不确定分布Φ(x)，称φ(t)=E(e^itξ), -∞＜t＜+∞为不确定分布Φ(x)或不确定变量ξ的特征函数.其中，E(·)为不确定变量ξ的期望值；t为实数；i为虚数单位.

根据不确定理论中关于期望的计算法则，不确定分布Φ(x)的特征函数的计算式为

$ \begin{array}{l} \varphi \left( t \right) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}tx}}{\rm{d}}\mathit{\Phi }\left( x \right)} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int_0^1 {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t\mathit{\Phi } - 1\left( \alpha \right)}}{\rm{d}}\alpha } , - \infty < t < + \infty , \end{array} $

(1)

由此可见，不确定变量的特征函数取决于不确定变量服从的分布函数.因此，不确定变量特征函数也称为不确定分布特征函数.

1.2 几种典型不确定分布的特征函数

不确定理论中常用的不确定分布有线性、之字形和对数正态等不确定分布函数.根据不确定分布特征函数的定义和式(1)，可得如下推论.

推论1  不确定变量ξ服从线性不确定分布$\mathscr{L}(a, b)$，则其特征函数为$\varphi \left( t \right) = \frac{{{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\mathit{bt}}} - {{\rm{e}}^{{\rm{i}}\mathit{at}}}}}{{{\rm{i}}\left( {b - a} \right)t}}$.

证明  根据文献[1]，线性不确定分布$\mathscr{L}(a, b)$的逆分布为Φ^-1(α)=(1-α)a+αb，则其特征函数为

$ \begin{array}{l} \varphi \left( t \right) = \int_0^1 {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t\mathit{\Phi } - 1\left( \alpha \right)}}{\rm{d}}\alpha } = \int_0^1 {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t\left( {a + \left( {b - a} \right)\alpha } \right)}}{\rm{d}}\alpha } = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int_0^1 {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}ta}} \cdot {{\rm{e}}^{{\rm{i}}t\left( {b - a} \right)\alpha }}{\rm{d}}\alpha } = \frac{{{{\rm{e}}^{{\rm{i}}bt}} - {{\rm{e}}^{{\rm{i}}at}}}}{{{\rm{i}}\left( {b - a} \right)t}}, \end{array} $

证毕.

推论2  不确定变量ξ服从之字形不确定分布$\mathscr{L}\left( {a, b, c} \right)$，其特征函数为$\varphi \left( t \right) = \frac{{{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\mathit{bt}}} - {{\rm{e}}^{{\rm{i}}\mathit{at}}}}}{{{\rm{2i}}\left( {b - a} \right)t}} + \frac{{{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\mathit{ct}}} - {{\rm{e}}^{{\rm{i}}\mathit{bt}}}}}{{{\rm{2i}}\left( {c - b} \right)t}}.$

证明  根据文献[1]，之字形不确定分布的逆分布为${\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right) = \left\{ \begin{array}{l} \left( {1 - 2\alpha } \right)a + 2\alpha b, \alpha \le 0.5;\\ {\rm{ }}\left( {2 - 2\alpha } \right)b + \left( {2\alpha - 1} \right)c, \alpha > 0.5, \end{array} \right.$则其特征函数为

$ \begin{array}{l} \varphi \left( t \right) = \int_0^1 {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t\mathit{\Phi } - 1\left( \alpha \right)}}{\rm{d}}\alpha } = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int_0^{0.5} {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t\left( {a + 2\left( {b - a} \right)\alpha } \right)}}{\rm{d}}\alpha } + \int_{0.5}^{1.0} {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t\left( {\left( {2b - c} \right) + 2\left( {c - b} \right)\alpha } \right)}}{\rm{d}}\alpha } = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t\alpha }} \cdot \frac{{{{\rm{e}}^{2{\rm{i}}t\left( {b - a} \right)\alpha }}}}{{2{\rm{i}}\left( {b - a} \right)t}}\left| {_0^{0.5}} \right. + {{\rm{e}}^{{\rm{i}}t\left( {2b - c} \right)}} \cdot \frac{{{{\rm{e}}^{2{\rm{i}}t\left( {c - b} \right)\alpha }}}}{{2{\rm{i}}\left( {c - b} \right)t}}\left| {_0^{1.0}} \right. = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{{{\rm{e}}^{{\rm{i}}bt}} - {{\rm{e}}^{{\rm{i}}at}}}}{{2{\rm{i}}\left( {b - a} \right)t}} + \frac{{{{\rm{e}}^{{\rm{i}}ct}} - {{\rm{e}}^{{\rm{i}}bt}}}}{{2{\rm{i}}\left( {c - b} \right)t}}, \end{array} $

证毕.

推论3  不确定变量ξ服从经验不确定分布，则其特征函数为

$ \varphi \left( t \right) = \sum\limits_{j = 1}^{n - 1} {\frac{{\left( {{\alpha _{j + 1}} - {\alpha _j}} \right)\left( {{{\rm{e}}^{{x_{j + 1}}{\rm{i}}t}} - {{\rm{e}}^{{x_j}{\rm{i}}t}}} \right)}}{{{\rm{i}}\left( {{x_{j + 1}} - {x_j}} \right)t}}} . $

证明  根据文献[1]，经验不确定分布的逆分布为${\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right) = {x_j} + \frac{{\left( {{x_{j + 1}} - {x_j}} \right)\left( {\alpha - {\alpha _j}} \right)}}{{{\alpha _{j + 1}} - {\alpha _j}}}$, α_j≤x≤α_j+1, 1≤j＜n，则其特征函数为

$ \begin{array}{l} \varphi \left( t \right) = \int_0^1 {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t\mathit{\Phi } - 1\left( \alpha \right)}}{\rm{d}}\alpha } = \sum\limits_{j = 1}^{n - 1} {\int_{{\alpha _j}}^{{\alpha _{j + 1}}} {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t\left( {{x_j} + \frac{{\left( {{x_{j + 1}} - {x_j}} \right)\left( {\alpha - {\alpha _j}} \right)}}{{{\alpha _{j + 1}} - {\alpha _j}}}} \right)}}{\rm{d}}\alpha } } = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{j = 1}^{n - 1} {\int_{{\alpha _j}}^{{\alpha _{j + 1}}} {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t\left( {\frac{{\left( {{x_{j + 1}} - {x_j}} \right)\alpha }}{{{\alpha _{j + 1}} - {\alpha _j}}} + \frac{{{x_j}{\alpha _j} + 1 - {x_{j + 1}}{\alpha _j}}}{{{\alpha _{j + 1}} - {\alpha _j}}}} \right)}}{\rm{d}}\alpha } } = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{j = 1}^{n - 1} {\frac{{\left( {{\alpha _{j + 1}} - {\alpha _j}} \right)\left( {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t{x_{j + 1}}}} - {{\rm{e}}^{{\rm{i}}t{x_j}}}} \right)}}{{{\rm{i}}\left( {{x_{j + 1}} - {x_j}} \right)t}}} , \end{array} $

证毕.

推论4  不确定变量ξ服从对数正态不确定分布$\mathscr{LOGN}$(0, π/$\sqrt 3 $)，其特征函数必存在.

证明  根据文献[1]，对数正态不确定分布$\mathscr{LOGN}$(0, π/$\sqrt 3 $)的逆分布为${\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right) = \frac{\alpha }{{1 - \alpha }} $，则其特征函数为

$ \varphi \left( t \right) = \int_0^1 {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t\mathit{\Phi } - 1\left( \alpha \right)}}{\rm{d}}\alpha } = \int_0^1 {{{\rm{e}}^{\frac{{{\rm{i}}t\alpha }}{{1 - \alpha }}}}{\rm{d}}\alpha } = \int_0^1 {{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t}} \cdot {{\rm{e}}^{\frac{{{\rm{i}}t}}{{1 - \alpha }}}}{\rm{d}}\alpha } . $

(2)

令y=1-α，则式(2)可化为

$ \varphi \left( t \right) = \int_0^1 {{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t}}{{\rm{e}}^{\frac{{{\rm{i}}t}}{y}}}{\rm{d}}y} . $

(3)

令z=1/y，式(3)可化为

$ \varphi \left( t \right) = \int_1^{ + \infty } {{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t}}\frac{{{{\rm{e}}^{{\rm{i}}tz}}}}{{{z^2}}}{\rm{d}}z} . $

根据欧拉公式，计算可得

$ \varphi \left( t \right) = {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t}}\left( {\cos t - \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}t + t{f_{\sin }}\left( t \right) + i\sin t - {\rm{i}}{f_{\cos }}\left( t \right)} \right). $

式中：f_sin(t)=$\int_0^t {\frac{{{\rm{sin}}\;x}}{x}} {\rm{d}}\mathit{t}$，f_cos(t)=γ+lg t+$\int_0^t {\frac{{{\rm{cos}}\;x - 1}}{x}} {\rm{d}}\mathit{t}$，$\gamma = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k} - {\rm{lg}}\;n} $为Euler-Mascheroni常量.即$\mathscr{LOGN}$(0, π/$\sqrt 3 $)特征函数存在.证毕.

2 不确定分布特征函数的性质

假设不确定变量ξ服从正则不确定分布，则其特征函数φ(t)，具有以下性质.

性质1  对于任意t，有|φ(t)|≤φ(0)=1.

证明  根据欧拉公式，可得

$ \begin{array}{l} \left| {\varphi \left( t \right)} \right| = \left| {\int_0^1 {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t\mathit{\Phi } - 1\left( \alpha \right)}}{\rm{d}}\alpha } } \right| \le \int_0^1 {\left| {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t\mathit{\Phi } - 1\left( \alpha \right)}}} \right|{\rm{d}}\alpha } = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int_0^1 {\left| {\cos t{\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right) + i\sin t{\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right)} \right|{\rm{d}}x} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int_0^1 {\sqrt {{{\cos }^2}t{\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right) + {{\sin }^2}t{\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right)} {\rm{d}}x} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int_0^1 {1{\rm{d}}x} = 1, \end{array} $

又φ(0)=$\int_0^1 {1{\rm{d}}\mathit{x = }{\rm{1}}} $.证毕.

性质2  ξ、η分别为不确定变量，若ξ、η相互独立，则φ_ξ+η(t)=φ_ξ(t)·φ_η(t).

证明  根据文献[12]，e^itξ、e^itη分别为不确定变量，且相互独立.于是，有

$ \begin{array}{l} {\varphi _{\xi + \eta }}\left( t \right) = E\left( {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t\left( {\xi + \eta } \right)}}} \right) = E\left( {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t\xi \left( { + \eta } \right)}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t\eta }}} \right) = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E\left( {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t\xi }}} \right)E\left( {{e^{{\rm{i}}t\eta }}} \right) = {\varphi _\xi }\left( t \right) \cdot {\varphi _\eta }\left( t \right), \end{array} $

证毕.

性质3  不确定变量ξ服从正则不确定分布Φ(x)，其特征函数φ(t)在(-∞, +∞)上一致连续.

证明  对于任意实数t, h及0＜a＜1，有

$ \begin{array}{l} \left| {\varphi \left( {t + h} \right) - \varphi \left( t \right)} \right| = \left| {\int_0^1 {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left( {t + h} \right){\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right)}}{\rm{d}}\alpha } - \int_0^1 {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t{\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right)}}{\rm{d}}\alpha } } \right| = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left| {\int_0^1 {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t{\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right)}}\left( {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}h{\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right)}} - 1} \right){\rm{d}}\alpha } } \right| \le \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int_0^1 {\left| {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t{\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right)}}} \right|\left| {\left( {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}h{\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right)}} - 1} \right)} \right|{\rm{d}}\alpha } \le \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int_0^1 {\left| {\left( {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}h{\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right)}} - 1} \right)} \right|{\rm{d}}\alpha } = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int_0^a {\left| {\left( {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}h{\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right)}} - 1} \right)} \right|{\rm{d}}\alpha } + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int_a^1 {\left| {\left( {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}h{\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right)}} - 1} \right)} \right|{\rm{d}}\alpha } , \end{array} $

对任意的ε＞0，必存在一个a，使得

$ \int_a^1 {\left| {\left( {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}h{\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right)}} - 1} \right)} \right|{\rm{d}}\alpha } < \frac{\varepsilon }{2}, $

∀α∈[0, a]，取δ= $\frac{\varepsilon }{{2\left| {{\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( a \right)} \right|}}$，当|h|＜δ时，有

$ \begin{array}{l} \left| { {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}h{\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right)}} - 1} } \right| = \left| {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\frac{h}{2}{\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right)}}\left( {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\frac{h}{2}{\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right)}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\frac{h}{2}{\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right)}}} \right)} \right| = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2\left| {\sin \frac{{h{\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right)}}{2}} \right| \le 2\left| {\frac{{h{\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right)}}{2}} \right| < \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left| {h{\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right)} \right| < \frac{\varepsilon }{2}. \end{array} $

对任意t∈(-∞, +∞)，有

$ \left| {\varphi \left( {t + h} \right) - \varphi \left( t \right)} \right| \le \int_0^a {\frac{\varepsilon }{2}{\rm{d}}\alpha } + \frac{\varepsilon }{2} = \frac{{\left( {1 + a} \right)}}{2}\varepsilon < \varepsilon , $

即φ(t)在t∈(-∞, +∞)上一致连续.证毕.

性质4  不确定变量ξ服从正则不确定分布Φ(x)，其特征函数φ(t)，对于任意的x₁＜x₂，有$\left| {\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\mathit{t}{\mathit{x}_1}}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\mathit{t}{\mathit{x}_2}}}}}{{{\rm{i}}\mathit{t}}}} \right| \le {x_2} - {x_1}$，且$\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to 0} \left| {\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\mathit{t}{\mathit{x}_1}}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\mathit{t}{\mathit{x}_2}}}}}{{{\rm{i}}\mathit{t}}}} \right| = {x_2} - {x_1}$.

证明  对于任意的a≥0，根据性质1，有

$ \left| {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}a}} - 1} \right| = \left| {\int_0^a {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}x}}{\rm{d}}x} } \right| \le \int_0^a {\left| {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}x}}} \right|{\rm{d}}x} \le a, $

(4)

对于任意的a＜0，有

$ \begin{array}{l} \left| {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}a}} - 1} \right| = \left| {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}a}}\left( {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left| a \right|}} - 1} \right)} \right| \le \left| {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}a}}} \right|\left| {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left| a \right|}} - 1} \right| \le \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left| {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left| a \right|}} - 1} \right| \le \left| a \right|, \end{array} $

(5)

即|e^ia-1|≤|a|，于是

$ \begin{array}{l} \left| {\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t{x_1}}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t{x_2}}}}}{{{\rm{i}}t}}} \right| = \left| {\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t{x_1}}}\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}} \right)}}{{{\rm{i}}t}}} \right| = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left| {\frac{{{\rm{i}}t{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t{x_1}}}\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}} \right)}}{{ - t}}} \right| \le \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left| {\rm{i}} \right|\left| {{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t{x_1}}}} \right|\left| {\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}} \right)} \right| \le {x_2} - {x_1}, \end{array} $

特别的

$ \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left| {\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t{x_1}}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t{x_2}}}}}{{{\rm{i}}t}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left| {\frac{{{\rm{i}}t\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{\rm{i}}t}}} \right| = {x_2} - {x_1}, $

证毕.

性质5  不确定变量ξ服从正则不确定分布Φ(x)，其特征函数φ(t)，对于任意的x₁＜x₂，有

$ \mathit{\Phi }\left( {{x_2}} \right) - \mathit{\Phi }\left( {{x_1}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } \frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_{ - T}^T {\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t{x_1}}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t{x_2}}}}}{{{\rm{i}}t}}\varphi \left( t \right){\rm{d}}t} . $

证明  根据特征函数定义，有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } \frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_{ - T}^T {\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t{x_1}}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t{x_2}}}}}{{{\rm{i}}t}}\varphi \left( t \right){\rm{d}}t} = }\\ {\mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } \frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_{ - T}^T {\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t{x_1}}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t{x_2}}}}}{{{\rm{i}}t}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}tx}}{\rm{d}}\mathit{\Phi }\left( x \right){\rm{d}}t} .} \end{array} $

(6)

根据性质3、4，式(6)可交换积分次序，有

$ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } \frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_0^T {\left( {\frac{{{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t\left( {x - {x_1}} \right)}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t\left( {x - {x_1}} \right)}}}}{{{\rm{i}}t}} - } \right.} } \\ \left. {\frac{{{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t\left( {x - {x_2}} \right)}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t\left( {x - {x_2}} \right)}}}}{{{\rm{i}}t}}} \right){\rm{d}}t{\rm{d}}\mathit{\Phi }\left( x \right) = \\ \mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } \frac{1}{{\rm{ \mathsf{ π} }}}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_0^T {\left( {\frac{{\sin t\left( {x - {x_1}} \right)}}{t} - } \right.} } \\ \left. {\frac{{\sin t\left( {x - {x_2}} \right)}}{t}} \right){\rm{d}}t{\rm{d}}\mathit{\Phi }\left( x \right). \end{array} $

(7)

由于$\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{T \to + \infty } \int_0^T {\frac{{\sin \;at}}{t}{\rm{d}}\mathit{t}} = \int_0^{ + \infty } {\frac{{\sin \;at}}{t}{\rm{d}}\mathit{t}} = $$\left\{ \begin{array}{l} \pi /2, a > 0;\\ 0, a = 0;\\ - \pi /2, a < 0, \end{array} \right.$不妨记

$ S\left( {T,x,{x_1},{x_2}} \right) = \frac{1}{{\rm{ \mathsf{ π} }}}\int_0^T {\left( {\frac{{\sin t\left( {x - {x_1}} \right)}}{t} - \frac{{\sin t\left( {x - {x_2}} \right)}}{t}} \right){\rm{d}}t} , $

则$\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{T \to + \infty } S\left( {T, x, {x_1}, {x_2}} \right) = \left\{ \begin{array}{l} 0, x < {x_1}\;{\rm{or}}\;x > {x_2};\\ 1/2, x = {x_1}\;{\rm{or}}\;x = {x_2};\\ 1, {x_1} < x < {x_2}. \end{array} \right.{\rm{ }}.$

因此，必存在M＞0，使得|S(T, x, x₁, x₂)|＜M，即S(T, x, x₁, x₂)有界.式(7)可交换积分符号和极限符号顺序，可得

$ \begin{array}{l} \frac{1}{{\rm{ \mathsf{ π} }}}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } \int_0^T {\left( {\frac{{\sin t\left( {x - {x_1}} \right)}}{t} - } \right.} } \\ \left. {\frac{{\sin t\left( {x - {x_2}} \right)}}{t}} \right){\rm{d}}t{\rm{d}}\mathit{\Phi }\left( x \right) = \\ \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } S\left( {T,x,{x_1},{x_2}} \right){\rm{d}}\mathit{\Phi }\left( x \right)} = \\ \int_{ - \infty }^{{x_1} - \delta } {\mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } S\left( {T,x,{x_1},{x_2}} \right){\rm{d}}\mathit{\Phi }\left( x \right)} + \\ \int_{{x_1} - \delta }^{{x_1} + \delta } {\mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } S\left( {T,x,{x_1},{x_2}} \right){\rm{d}}\mathit{\Phi }\left( x \right)} + \\ \int_{{x_1} + \delta }^{{x_2} - \delta } {\mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } S\left( {T,x,{x_1},{x_2}} \right){\rm{d}}\mathit{\Phi }\left( x \right)} + \\ \int_{{x_2} - \delta }^{{x_2} + \delta } {\mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } S\left( {T,x,{x_1},{x_2}} \right){\rm{d}}\mathit{\Phi }\left( x \right)} + \\ \int_{{x_2} + \delta }^{ + \infty } {\mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } S\left( {T,x,{x_1},{x_2}} \right){\rm{d}}\mathit{\Phi }\left( x \right)} , \end{array} $

(8)

式中δ为充分小的正数.易知：

$ \int_{ - \infty }^{{x_1} - \delta } {\mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } S\left( {T,x,{x_1},{x_2}} \right){\rm{d}}\mathit{\Phi }\left( x \right)} = 0, $

$ \int_{{x_1} - \delta }^{{x_1} + \delta } {\mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } S\left( {T,x,{x_1},{x_2}} \right){\rm{d}}\mathit{\Phi }\left( x \right)} = 0, $

$ \int_{{x_2} - \delta }^{{x_2} + \delta } {\mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } S\left( {T,x,{x_1},{x_2}} \right){\rm{d}}\mathit{\Phi }\left( x \right)} = 0, $

$ \int_{{x_2} + \delta }^{ + \infty } {\mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } S\left( {T,x,{x_1},{x_2}} \right){\rm{d}}\mathit{\Phi }\left( x \right)} = 0, $

则式(8)可化为

$ \begin{array}{l} \frac{1}{{\rm{ \mathsf{ π} }}}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } \int_0^T {\left( {\frac{{\sin t\left( {x - {x_1}} \right)}}{t} - } \right.} } \\ \left. {\frac{{\sin t\left( {x - {x_2}} \right)}}{t}} \right){\rm{d}}t{\rm{d}}\mathit{\Phi }\left( x \right) = \\ \int_{{x_1} + \delta }^{{x_2} - \delta } {\mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } S\left( {T,x,{x_1},{x_2}} \right){\rm{d}}\mathit{\Phi }\left( x \right)} = \\ \int_{{x_1} + \delta }^{{x_2} - \delta } {1{\rm{d}}\mathit{\Phi }\left( x \right)} = \mathit{\Phi }\left( {{x_2}} \right) - \mathit{\Phi }\left( {{x_1}} \right), \end{array} $

即

$ \mathit{\Phi }\left( {{x_2}} \right) - \mathit{\Phi }\left( {{x_1}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } \frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_{ - T}^T {\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t{x_1}}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t{x_2}}}}}{{{\rm{i}}t}}\varphi \left( t \right){\rm{d}}t} , $

证毕.

性质6  不确定变量ξ服从正则不确定分布函数Φ(x)，其特征函数φ(t)唯一确定.

证明  由性质3及性质5，可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \mathit{\Phi }\left( {x + \Delta x} \right) - \mathit{\Phi }\left( x \right) = }\\ {\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}tx}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t\left( {x + \Delta x} \right)}}}}{{{\rm{i}}t\Delta x}}\varphi \left( t \right){\rm{d}}t} .} \end{array} $

(9)

由式(4)、(5)，可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left| {\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}tx}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t\left( {x + \Delta x} \right)}}}}{{{\rm{i}}t\Delta x}}} \right| = \frac{1}{{\left| {t\Delta x} \right|}}\left| {{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}tx}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t\left( {x + \Delta x} \right)}}} \right| \le }\\ {\frac{{\left| { - t\Delta x} \right|}}{{\left| {t\Delta x} \right|}} = 1.} \end{array} $

考虑到$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {\varphi \left( t \right)} \right|{\rm{d}}\mathit{t } < +\infty } $，于是式(9)可交换积分和极限的次序，有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \mathit{\Phi }\left( {x + \Delta x} \right) - \mathit{\Phi }\left( x \right) = }\\ {\frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}tx}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t\left( {x + \Delta x} \right)}}}}{{{\rm{i}}t\Delta x}}\varphi \left( t \right){\rm{d}}t} = \frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}tx}}\varphi \left( t \right){\rm{d}}t} .} \end{array} $

(10)

根据式(10)可知，Φ(x)在x处的增量ΔΦ(x)=$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \mathit{\Phi }\left( {x + \Delta x} \right) - \mathit{\Phi }\left( x \right)$仅与φ(t)有关，再结合Φ(-∞)=0，有

$ \mathit{\Phi }\left( x \right) = \mathit{\Phi }\left( { - \infty } \right) + \mathop {\lim }\limits_{N \to + \infty } \sum\limits_{i = 1}^N {\Delta \mathit{\Phi }\left( {{x_i}} \right)} . $

(11)

式中:x₁＞x₂＞…＞x_N，且x=x₁, $\mathop {\lim }\limits_{N \to + \infty } {x_N} = - \infty $.

进一步，根据性质5，对Φ(x)上每一个连续点x，当y沿着Φ(x)的连续点趋于-∞时，有

$ \mathit{\Phi }\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to - \infty } \mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } \frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_{ - T}^T {\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}ty}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}tx}}}}{{{\rm{i}}t}}\varphi \left( t \right){\rm{d}}t} . $

(12)

综合考虑式(11)、(12)，易知不确定分布函数Φ(x)在任意x处的取值由其连续点上的值x及其特征函数φ(t)决定，即不确定分布函数Φ(x)有唯一确定的特征函数φ(t)，故结论成立.证毕.

3 分布拟合有效性检验

假设拟合的不确定分布Φ(x)与经验不确定分布Ψ(x)的特征函数分别为φ_Φ(t)与φ_Ψ(t).根据性质6可知，不确定分布函数与其特征函数一一对应，即如果特征函数φ_Φ(t)与φ_Ψ(t)相同，则不确定分布函数Φ(x)与Ψ(x)也必然相同.

如果拟合的不确定分布与经验不确定分布的期望、方差等数字特征在数值上比较接近且两者形状上比较接近，即$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {\mathit{\Phi }\left( x \right) - \mathit{\Psi }\left( x \right)} \right|{\rm{d}}\mathit{x}} $的值应在某个较小范围内，可以认为拟合的不确定分布是有效的.但是“形状接近”这一条件很难用$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {\mathit{\Phi }\left( x \right) - \mathit{\Psi }\left( x \right)} \right|{\rm{d}}\mathit{x}} $判定.以线性不确定分布为例，当x的取值大于最右端拐点时，Φ(x)≡1；当x的取值小于最左端拐点时，Φ(x)≡0，具体如图 1所示.

图 1针对线性不确定分布给出了拟合分布及经验分布分别在相交和不相交的情况下所围成的面积.图 1中横轴表示x的取值范围，纵轴F(x)表示不确定分布函数，灰色部分表示Φ(x)、Ψ(x)两者围成的面积.从图 1中可以明显看出，对于线性不确定分布无论拟合效果好坏，总有$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {\mathit{\Phi }\left( x \right) - \mathit{\Psi }\left( x \right)} \right|{\rm{d}}\mathit{x}} $是有界的.同样地，对于之字形不确定分布、正态不确定分布和对数正态等不确定分布，无法用$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {\mathit{\Phi }\left( x \right) - \mathit{\Psi }\left( x \right)} \right|{\rm{d}}\mathit{x}} $的形式来表示拟合结果是有效的.因此，本文从特征函数的角度考虑形状相似的判断条件，基于性质6，如果$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|{\rm{d}}\mathit{t}} $有界，即$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|{\rm{d}}\mathit{t}} $≤A，则认为拟合的分布函数与经验不确定分布函数在形状上较相似.

由于0≤Φ(x)≤1, 0≤Ψ(x)≤1，易知:

$ 0 \le \Delta \mathit{\Phi }\left( x \right) = \mathit{\Phi }\left( {x + \Delta x} \right) - \mathit{\Phi }\left( x \right) \le 1, $

(13)

$ 0 \le \Delta \mathit{\Psi }\left( x \right) = \mathit{\Psi }\left( {x + \Delta x} \right) - \mathit{\Psi }\left( x \right) \le 1, $

(14)

根据式(13)、(14)，必存在正实数τ，使得

$ \left| {\Delta \mathit{\Phi }\left( x \right) - \Delta \mathit{\Psi }\left( x \right)} \right| \le \tau , $

(15)

式中τ的取值与Δx有关，若Δx足够小，τ可取极小的正数.

由$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|{\rm{d}}\mathit{t}} $≤A可知$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|{\rm{d}}\mathit{t}} $必有界，又$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {\varphi \left( t \right)} \right|{\rm{d}}\mathit{t}} $有界，式(15)可化为

$ \begin{array}{l} \left| {\Delta \mathit{\Phi }\left( x \right) - \Delta \mathit{\Psi }\left( x \right)} \right| = \\ \left| {\frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}tx}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}t\left( {x + \Delta x} \right)}}}}{{{\rm{i}}t\Delta x}}\left( {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right){\rm{d}}t} } \right| = \\ \left| {\frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}tx}}\left( {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right){\rm{d}}t} } \right| \le \tau , \end{array} $

(16)

根据式(12)，在x处，有

$ \begin{array}{l} \mathit{\Phi }\left( x \right) - \mathit{\Psi }\left( x \right) = \\ \mathop {\lim }\limits_{y \to - \infty } \mathop {\lim }\limits_{T \to - \infty } \frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_{ - T}^T {\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}ty}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}tx}}}}{{{\rm{i}}t}}\left( {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right){\rm{d}}t} , \end{array} $

(17)

根据积分中值定理，存在t₀，使得

$ \mathit{\Phi }\left( x \right) - \mathit{\Psi }\left( x \right) = \frac{{{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{t_0}y}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{t_0}x}}}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{t_0}}}\left( {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( {{t_0}} \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( {{t_0}} \right)} \right)T. $

假设存在t₁，使得

$ \begin{array}{l} \mathit{\Phi }\left( x \right) - \mathit{\Psi }\left( x \right) = \\ \frac{{\mathop {\lim }\limits_{y \to - \infty } \mathop {\lim }\limits_{T \to - \infty } \frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_{ - T}^T {\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}ty}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}tx}}}}{{{\rm{i}}t}}\left( {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right){\rm{d}}t} }}{{{t_1}}}, \end{array} $

(18)

根据积分中值定理，存在t₂，使得

$ \mathit{\Phi }\left( x \right) - \mathit{\Psi }\left( x \right) = \frac{{{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{t_2}y}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{t_2}x}}}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{t_1}}}\left( {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( {{t_2}} \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( {{t_2}} \right)} \right)T, $

(19)

根据式(17)及式(19)，可得

$ \begin{array}{l} \frac{{{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{t_0}y}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{t_0}x}}}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{t_0}}}\left( {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( {{t_0}} \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( {{t_0}} \right)} \right)T = \\ \frac{{{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{t_2}y}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{t_2}x}}}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{t_1}}}\left( {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( {{t_2}} \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( {{t_2}} \right)} \right)T, \end{array} $

进一步，可得

$ {t_1} = {t_0}\frac{{\left( {{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{t_2}y}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{t_2}x}}} \right)\left( {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( {{t_2}} \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( {{t_2}} \right)} \right)}}{{\left( {{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{t_0}y}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{t_0}x}}} \right)\left( {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( {{t_0}} \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( {{t_0}} \right)} \right)}}, $

(20)

由于t₁∈(-∞, +∞)，等式(20)必成立.

由于式(16)对任意x成立，于是

$ \left| {\frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_{ - T}^T {\left( {{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}ty}} - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}tx}}} \right)\left( {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right){\rm{d}}t} } \right| \le 2\tau , $

(21)

根据式(18)及式(21)，可得

$ \left| {\mathit{\Phi }\left( x \right) - \mathit{\Psi }\left( x \right)} \right| \le \frac{{2\tau }}{{\left| {{t_1}} \right|}}, $

式中t₁的取值与x的取值有关.当τ取极小的正数时，Φ(x)与Ψ(x)在x处的取值非常接近，进一步可将其推广到整个分布函数，即两个分布函数在任意处取值都很接近.

综上所述，可以给出不确定分布拟合有效性的定义.不妨假设Φ(x)的期望为E_Φ(ξ)，方差为V_Φ(ξ)，Ψ(x)的期望为E_Ψ(ξ)，方差为V_Ψ(ξ).

定义4  如果拟合分布与经验不确定分布的特征函数存在正实数A，使得:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right),\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right),}\\ {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|{\rm{d}}t} \le A,} \end{array} $

且对于给定的σ(0＜σ＜1)，拟合分布与经验不确定分布的期望与方差满足:

$ \max \left\{ {\left| {\frac{{{E_\mathit{\Phi }}\left( \xi \right) - {E_\mathit{\Psi }}\left( \xi \right)}}{{{E_\mathit{\Psi }}\left( \xi \right)}}} \right|,\left| {\frac{{{V_\mathit{\Phi }}\left( \xi \right) - {V_\mathit{\Psi }}\left( \xi \right)}}{{{V_\mathit{\Psi }}\left( \xi \right)}}} \right|} \right\} < \sigma , $

则拟合的不确定分布Φ(x)是σ-有效的.

定义4是通过经验不确定分布检验拟合分布的有效性.如果对于给定的A和σ，定义4成立，则可认为拟合分布是有效的.

定理1  不确定变量ξ服从正则不确定分布Υ(x)，若E(ξ^L)存在，则ξ的特征函数φ(t)可L次求导，且对于1≤k≤L，有φ^(k)(0)=i^kE(ξ^k).

证明  不确定变量ξ服从正则不确定分布，则ξ^L为不确定变量，不妨记其服从正则不确定分布Υ_L(x)，因为E(ξ^L)存在，有

$ \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{x^L}{\rm{d}}{\Upsilon _L}\left( x \right)} < + \infty . $

(22)

根据式(22)可知，广义积分$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\mathit{tx}}}{\rm{d}}\mathit{\Upsilon }\left( x \right)} $可对t求导L次，对于1≤k≤L，有

$ {\varphi ^{\left( k \right)}}\left( t \right) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{i^k}{x^k}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}tx}}{\rm{d}}\Upsilon \left( x \right)} = {i^k}E\left( {{\xi ^k}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t\xi }}} \right). $

(23)

令t=0，式(23)可化为

$ {\varphi ^{\left( k \right)}}\left( 0 \right) = {i^k}E\left( {{\xi ^k}} \right), $

证毕.

定理2  若存在实数C＞0，使得特征函数满足$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{{\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}^2}{\rm{d}}\mathit{t}} \le C$，且对于给定的σ＞0，有

$ \max \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left| {\frac{{\left| {{{\varphi '}_\mathit{\Phi }}\left( t \right)} \right| - \left| {{{\varphi '}_\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}}{{\left| {{{\varphi '}_\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}}} \right|,\\ \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left| {\frac{{\left| {{{\varphi ''}_\mathit{\Phi }}\left( t \right)} \right| - \left| {{{\varphi ''}_\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right| + {{\left| {{{\varphi '}_\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}^2} - {{\left| {{{\varphi '}_\mathit{\Phi }}\left( t \right)} \right|}^2}}}{{\left| {{{\varphi ''}_\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right| - {{\left| {{{\varphi '}_\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}^2}}}} \right| \end{array} \right\} \le \sigma , $

则称拟合的Φ(x)是σ-有效的.

证明  假设$\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)$，必然存在正实数H及δ，使得∀t＞H，都有

$ \left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right| > \delta . $

(24)

根据式(24)，可得

$ \begin{array}{l} \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{{\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}^2}{\rm{d}}t} = \\ \int_{ - \infty }^H {{{\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}^2}{\rm{d}}t} + \\ \mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } \int_H^T {{{\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}^2}{\rm{d}}t} = \\ \int_{ - \infty }^H {{{\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}^2}{\rm{d}}t} + \delta \cdot \mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } \left( {T - H} \right). \end{array} $

由于${{{\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}^2}} > 0$，且δ·$\mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } \left( {T - H} \right)$无界，因此，$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{{\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}^2}{\rm{d}}\mathit{t}} $无界.原假设不成立，即$\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)$.同理，$\mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } {\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)$.

因为|φ_Φ(t)-φ_Ψ(t) ≥0，且$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|^2{\rm{d}}\mathit{t}} \le C$，则$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|{\rm{d}}\mathit{t}} $必有界，即必存在正实数A，使得$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|{\rm{d}}\mathit{t}} \le A$成立.

根据定理1，可知φ′(0)=iE(ξ), φ″(0)= -E(ξ²).即E(ξ)=|φ′(0)|=$\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left| {\varphi '\left( t \right)} \right|$, E(ξ²)=|φ″(0)|= $\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left| {\varphi ''\left( t \right)} \right|$.

于是，有

$ \begin{array}{l} \max \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left| {\frac{{\left| {{{\varphi '}_\mathit{\Phi }}\left( t \right)} \right| - \left| {{{\varphi '}_\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}}{{\left| {{{\varphi '}_\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}}} \right|,\\ \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left| {\frac{{\left| {{{\varphi ''}_\mathit{\Phi }}\left( t \right)} \right| - \left| {{{\varphi ''}_\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right| + {{\left| {{{\varphi '}_\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}^2} - {{\left| {{{\varphi '}_\mathit{\Phi }}\left( t \right)} \right|}^2}}}{{\left| {{{\varphi ''}_\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right| - {{\left| {{{\varphi '}_\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}^2}}}} \right| \end{array} \right\} = \\ \max \left\{ {\left| {\frac{{{E_\mathit{\Phi }}\left( \xi \right) - {E_\mathit{\Psi }}\left( \xi \right)}}{{{E_\mathit{\Psi }}\left( \xi \right)}}} \right|,\left| {\frac{{{V_\mathit{\Phi }}\left( \xi \right) - {V_\mathit{\Psi }}\left( \xi \right)}}{{{V_\mathit{\Psi }}\left( \xi \right)}}} \right|} \right\}, \end{array} $

(25)

若存在

$ \max \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left| {\frac{{\left| {{{\varphi '}_\mathit{\Phi }}\left( t \right)} \right| - \left| {{{\varphi '}_\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}}{{\left| {{{\varphi '}_\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}}} \right|,\\ \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left| {\frac{{\left| {{{\varphi ''}_\mathit{\Phi }}\left( t \right)} \right| - \left| {{{\varphi ''}_\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right| + {{\left| {{{\varphi '}_\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}^2} - {{\left| {{{\varphi '}_\mathit{\Phi }}\left( t \right)} \right|}^2}}}{{\left| {{{\varphi ''}_\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right| - {{\left| {{{\varphi '}_\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}^2}}}} \right| \end{array} \right\} \le \sigma . $

(26)

根据式(25)、(26)可转换为

$ \max \left\{ {\left| {\frac{{{E_\mathit{\Phi }}\left( \xi \right) - {E_\mathit{\Psi }}\left( \xi \right)}}{{{E_\mathit{\Psi }}\left( \xi \right)}}} \right|,\left| {\frac{{{V_\mathit{\Phi }}\left( \xi \right) - {V_\mathit{\Psi }}\left( \xi \right)}}{{{V_\mathit{\Psi }}\left( \xi \right)}}} \right|} \right\} \le \sigma . $

根据定义4，拟合的Φ(x)是σ-有效的.证毕.

4 算例分析

算例1  不确定变量ξ服从某种不确定分布，根据文献[1]中的方法设计调查问卷，收集了一组专家经验数据：(2.0, 0)，(2.3, 0.1)，(2.9, 0.3)，(3.2, 0.4)，(3.4, 0.5)，(3.8，0.6)，(4.1, 0.7)，(4.5, 0.8)，(4.7, 0.9)，(5.0, 1.0).采用最小二乘法，拟合不确定分布如下：

$ \mathit{\Phi }\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 0,x < 2;\\ \frac{{\left( {x - 2} \right)}}{3},2 < x \le 5;\\ 1,x > 5, \end{array} \right. $

在σ=0.5的条件下，检验拟合分布的有效性.

根据文献[1]，其逆分布为Φ^-1(α)=3α+2.根据推论1，拟合不确定分布的特征函数φ_Φ(t)= $\frac{{{{\rm{e}}^{5{\rm{i}}\mathit{t}}} - {{\rm{e}}^{2{\rm{i}}\mathit{t}}}}}{{3{\rm{i}}\mathit{t}}}$.

根据推论3，该拟合分布对应的经验不确定分布函数的特征函数为

$ {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right) = \frac{{4{{\rm{e}}^{5{\rm{i}}t}} + 2{{\rm{e}}^{\frac{{47{\rm{i}}t}}{{10}}}} + {{\rm{e}}^{\frac{{41{\rm{i}}t}}{{10}}}} + 3{{\rm{e}}^{\frac{{17{\rm{i}}t}}{5}}} - 3{{\rm{e}}^{\frac{{9{\rm{i}}t}}{2}}} - {{\rm{e}}^{\frac{{19{\rm{i}}t}}{5}}} - 2{{\rm{e}}^{\frac{{16{\rm{i}}t}}{5}}} - 4{{\rm{e}}^{2{\rm{i}}t}}}}{{12{\rm{i}}t}}. $

根据拟合不确定分布和经验不确定分布函数的特征函数，有

$ \begin{array}{l} \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{{\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}^2}{\rm{d}}t} = \\ \int_{ - \infty }^{ + \delta } {{{\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}^2}{\rm{d}}t} + \int_{ - \delta }^\delta {{{\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}^2}{\rm{d}}t} + \\ \int_\delta ^{ + \infty } {{{\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}^2}{\rm{d}}t} \le \\ \int_{ - \infty }^{ - \delta } {{{\left| {\frac{{2{{\rm{e}}^{\frac{{47{\rm{i}}t}}{{10}}}} + {{\rm{e}}^{\frac{{41{\rm{i}}t}}{{10}}}} + 3{{\rm{e}}^{\frac{{17{\rm{i}}t}}{5}}} - 3{{\rm{e}}^{\frac{{9{\rm{i}}t}}{2}}} - {{\rm{e}}^{\frac{{19{\rm{i}}t}}{5}}} - 2{{\rm{e}}^{\frac{{16{\rm{i}}t}}{5}}}}}{{12{\rm{i}}t}}} \right|}^2}{\rm{d}}t} + \\ \int_{ - \delta }^\delta {{{\left( {\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right)} \right| - \left| {{\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|} \right)}^2}{\rm{d}}t} + \\ \int_\delta ^{ + \infty } {{{\left| {\frac{{2{{\rm{e}}^{\frac{{47{\rm{i}}t}}{{10}}}} + {{\rm{e}}^{\frac{{41{\rm{i}}t}}{{10}}}} + 3{{\rm{e}}^{\frac{{17{\rm{i}}t}}{5}}} - 3{{\rm{e}}^{\frac{{9{\rm{i}}t}}{2}}} - {{\rm{e}}^{\frac{{19{\rm{i}}t}}{5}}} - 2{{\rm{e}}^{\frac{{16{\rm{i}}t}}{5}}}}}{{12{\rm{i}}t}}} \right|}^2}{\rm{d}}t} . \end{array} $

根据性质1，有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{{\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}^2}{\rm{d}}t} \le \int_{ - \infty }^{ - \delta } {{{\left| {\frac{{12}}{{12{\rm{i}}t}}} \right|}^2}{\rm{d}}t} + 8\delta + }\\ {\int_\delta ^{ + \infty } {{{\left| {\frac{1}{{{\rm{i}}t}}} \right|}^2}{\rm{d}}t} = 8\delta + \frac{2}{\delta }.} \end{array} $

因此，必存在实数M＞0，使得$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{{\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}^2}{\rm{d}}\mathit{t}} $＜M成立.

进一步，考虑两者的数字特征，由定理1，可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {{\varphi '}_\mathit{\Phi }}\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\left( {5{\rm{i}}{{\rm{e}}^{5{\rm{i}}t}} - 2{\rm{i}}{{\rm{e}}^{2{\rm{i}}t}}} \right)3{\rm{i}}t - \left( {{{\rm{e}}^{5{\rm{i}}t}} - {{\rm{e}}^{2{\rm{i}}t}}} \right)3{\rm{i}}}}{{ - 9{t^2}}} = }\\ {\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} i\frac{{\left( {5{\rm{i}}{{\rm{e}}^{5{\rm{i}}t}} - 2{\rm{i}}{{\rm{e}}^{2{\rm{i}}t}}} \right)t - {{\rm{e}}^{5{\rm{i}}t}} + {{\rm{e}}^{2{\rm{i}}t}}}}{{ - 3{t^2}}}.} \end{array} $

利用泰勒级数${{\rm{e}}^x} = 1 + x + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \cdots \frac{{{x^n}}}{{n!}} + \cdots $，对上式展开，可得

$ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {{\varphi '}_\mathit{\Phi }}\left( t \right) = \\ \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {\rm{i}}\frac{{5{\rm{i}}t\left( {1 + 5{\rm{i}}t - \frac{{25}}{2}{t^2} + o\left( {{t^3}} \right)} \right) - 2{\rm{i}}t\left( {1 + 2{\rm{i}}t - 2{t^2}} \right)}}{{ - 3{t^2}}} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{\left( {1 + 5{\rm{i}}t - \frac{{25}}{2}{t^2} + o\left( {{t^3}} \right) - 1 - 2{\rm{i}}t + 2{t^2}} \right)}}{{3{t^2}}} = 3.5{\rm{i}}{\rm{.}} \end{array} $

同理，$\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {{\varphi ''}_\mathit{\Phi }}\left( t \right)$=-13，$\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {{\varphi '}_\psi }\left( t \right)$=3.405i，$\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {{\varphi ''}_\psi }\left( t \right)$=-12.372，于是E_Φ(ξ)=3.5，V_Φ(ξ)=0.75，E_Ψ(ξ)=3.405，V_Ψ(ξ)=0.778.

$ \begin{array}{l} \max \left\{ {\left| {\frac{{{E_\mathit{\Phi }}\left( \xi \right) - {E_\mathit{\Psi }}\left( \xi \right)}}{{{E_\mathit{\Psi }}\left( \xi \right)}}} \right|,\left| {\frac{{{V_\mathit{\Phi }}\left( \xi \right) - {V_\mathit{\Psi }}\left( \xi \right)}}{{{V_\mathit{\Psi }}\left( \xi \right)}}} \right|} \right\} = \\ \max \left\{ {\left| {\frac{{3.500 - 3.405}}{{3.405}}} \right|,\left| {\frac{{0.750 - 0.778}}{{0.778}}} \right|} \right\} = \\ \max \left\{ {0.028,0.036} \right\} = 0.036 < 0.050, \end{array} $

即在给定α=0.050条件下，拟合的不确定分布是有效的.

图 2中，横轴表示不确定变量的取值范围，纵轴表示相应的信度，从图 2中可以看出分布拟合的效果较好，与计算结果一致.

算例2  不确定变量η服从某种不确定分布，收集的专家经验数据如下：(1.00, 0)，(1.90, 0.25)，(3.00, 0.50)，(4.00, 0.60)，(5.10, 0.70)，(6.00, 0.80)，(8.00, 1.00).拟合的不确定分布如下:

$ \mathit{\Phi }\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 0,x \le 1;\\ \frac{{x - 1}}{4},1 < x \le 3;\\ \frac{{x + 2}}{{10}},3 < x \le 8;\\ 1,x > 5, \end{array} \right. $

在σ=0.500的条件下，检验拟合分布的有效性.

根据文献[1]，其逆分布为

$ {\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( \alpha \right) = \left\{ \begin{array}{l} 4\alpha + 1,0 \le \alpha \le 0.5;\\ 10\alpha - 2,0.5 < \alpha \le 1.0. \end{array} \right. $

根据推论2，拟合不确定分布的特征函数为

$ {\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) = \frac{{{{\rm{e}}^{3{\rm{i}}t}} - {{\rm{e}}^{{\rm{i}}t}}}}{{4{\rm{i}}t}} + \frac{{{{\rm{e}}^{8{\rm{i}}t}} - {{\rm{e}}^{3{\rm{i}}t}}}}{{10{\rm{i}}t}}. $

根据推论3，该拟合分布对应的经验不确定分布函数的特征函数为

$ \begin{array}{l} {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right) = \\ \frac{{99{{\rm{e}}^{8{\rm{i}}t}} + 11{{\rm{e}}^{6{\rm{i}}t}} - 20{{\rm{e}}^{\frac{{51{\rm{i}}t}}{{10}}}} + 9{{\rm{e}}^{4{\rm{i}}t}} + 126{{\rm{e}}^{3{\rm{i}}t}} + 50{{\rm{e}}^{\frac{{19{\rm{i}}t}}{{10}}}} - 275{{\rm{e}}^{{\rm{i}}t}}}}{{990{\rm{i}}t}}. \end{array} $

根据拟合不确定分布和经验不确定分布函数的特征函数，有

$ \begin{array}{l} \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{{\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}^2}{\rm{d}}t} = \\ \int_{ - \infty }^{ - \delta } {{{\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}^2}{\rm{d}}t} + \int_{ - \delta }^\delta {{{\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}^2}{\rm{d}}t} + \\ \int_\delta ^{ + \infty } {{{\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}^2}{\rm{d}}t} \le \\ \int_{ - \delta }^\delta {{{\left| {\frac{{14}}{{99{\rm{i}}t}}} \right|}^2}{\rm{d}}t} + 8\delta + \int_\delta ^{ + \infty } {{{\left| {\frac{{14}}{{99{\rm{i}}t}}} \right|}^2}{\rm{d}}t} = 8\delta + \frac{{1\;148}}{{9\;801\delta }} < \\ 8\delta + \frac{1}{{8\delta }}, \end{array} $

因此，$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{{\left| {{\varphi _\mathit{\Phi }}\left( t \right) - {\varphi _\mathit{\Psi }}\left( t \right)} \right|}^2}{\rm{d}}\mathit{t}} < M$成立.

计算两者期望及方差，可得:

$ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {{\varphi '}_\mathit{\Phi }}\left( t \right) = 3.750{\rm{i,}}\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {{\varphi ''}_\mathit{\Phi }}\left( t \right) = - 18.333\;3,\\ \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {{\varphi '}_\mathit{\Psi }}\left( t \right) = 3.735{\rm{i,}}\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {{\varphi ''}_\mathit{\Psi }}\left( t \right) = - 18.33{\rm{5}}\;{\rm{6}}. \end{array} $

根据定理1可得，E_Φ(η)=3.750，V_Φ(η)=4.270 8，E_Ψ(η)=3.735，V_Ψ(ξ)=4.385 4.

于是，有

$ \begin{array}{l} \max \left\{ {\left| {\frac{{{E_\mathit{\Phi }}\left( \eta \right) - {E_\mathit{\Psi }}\left( \eta \right)}}{{{E_\mathit{\Psi }}\left( \eta \right)}}} \right|,\left| {\frac{{{V_\mathit{\Phi }}\left( \eta \right) - {V_\mathit{\Psi }}\left( \eta \right)}}{{{V_\mathit{\Psi }}\left( \eta \right)}}} \right|} \right\} = \\ \max \left\{ {\left| {\frac{{3.750 - 3.735}}{{3.735}}} \right|,\left| {\frac{{4.270\;8 - 4.385\;4}}{{4.385\;4}}} \right|} \right\} = \\ \max \left\{ {0.004\;0,0.026\;1} \right\} = 0.026\;1 < 0.050\;0, \end{array} $

即在给定α=0.050 0条件下，拟合的不确定分布是有效的.

图 3中，横轴表示不确定变量的取值范围，纵轴表示相应的信度，表示之字形不确定分布拟合效果，从图 3中可以看出分布拟合效果较好，与计算结果一致.

5 结论

1) 本文从特征函数的角度出发提出了不确定分布拟合的有效性检验方法.根据不确定分布函数的定义及其性质，给出了不确定分布拟合有效性的定义及其判定定理.通过对线性不确定分和之字形不确定分布的拟合检验，验证了所提方法的正确性和可行性.

2) 该方法是通过分析不确定分布特征函数的关系来判断分布拟合的有效性，因此该方法不仅适用于检验利用专家给出一组经验数据拟合的不确定分布，同样可用于群决策时不确定分布的拟合检验.

3) 本文所提方法是通过对比经验不确定分布和拟合不确定分布的差异来分析拟合的效果，因此该方法具有一定的主观性.