近年来, 国内外学者通过现场试验、理论分析、有限元分析等手段, 对楔形桩^[1]的承载特性做了大量研究.结果表明, 在相同工况下, 楔形桩与均匀截面的摩擦桩相比, 单位体积承载力提高0.5~2.5倍, 造价降低40%~60%^[2].具有良好力学性能的楔形桩现阶段还未能得到广泛应用, 除了制造工艺、运输困难等问题外, 楔形桩的施工质量难以得到可靠的检测也是重要原因.

在现有众多的基桩检测方法中, 低应变反射法检测因其便捷、准确、费用低廉的优点而被广泛接受, 其理论研究已经十分成熟.Novak等^[3]导出了多层土体中桩基的波阻抗函数传递规律.Gough等^[4]推导出了只考虑桩端土作用时基桩的自由振动特性.Koten等^[5]求得了无限长桩在锤击条件下, 考虑桩侧土作用时的纵向振动问题解.王奎华等^[6]研究了Voigt土体模型下有限长任意截面桩的解析解问题.陈安国等^[7]利用差分法解得基桩在考虑桩土相互作用时的纵向振动响应解.吴文兵等^[8~9]对常见完整楔形桩进行了初步理论分析.张献民等^[10]研究了桩基缺陷与传递波能量之间的关系.近年来, 王奎华等^[11]又提出了考虑竖向作用的桩土模型, 求得了楔形桩桩顶纵向振动解.

以上相关研究成果均是基于等截面管桩建立的, 对楔形桩本身的桩径渐变特性进行了简化处理.因此, 本文基于非等截面桩段划分的基桩模型, 建立振动方程, 利用换元变换, 依次求得桩身振动频域响应和时域响应, 对楔形桩的动力响应展开研究.

1 方程建立与半解析解

楔形桩桩径渐变的几何特性使得桩侧土阻力不仅有切向力, 还存在法向力, 两者共同作用提高了基桩的竖向反力.已有的常见理论模型中, 如图 1(a), 均将桩身划分成足够多的微段, 而其中每个微段都是等截面体, 桩土相互作用直接简化为桩侧竖向阻力, 有些学者考虑了微段底部的竖向反力.但这些假设均与楔形桩实际工作情况不符.对此, 本文提出了新的计算模型, 如图 1(b).

1.1 模型假设与方程建立

所提出的非等截面桩体模型能更好地反映楔形桩受力情况, 考虑已有的理论研究情况, 为方便建立方程, 做出以下合理假设：1)桩为弹性；2)土体采用Winkler模型, 即将桩土作用简化为桩周均布的Voigt体；3)由于桩径越大, 挤土效应越明显, 桩土作用越强, 假设Voigt体的弹性系数、粘壶系数与桩径成正比；4)桩身变形为小变形, 忽略径向变形；5)单层土层内, 土质均匀, 各向同性.

常见的楔形桩如图 1(b)所示, 顶部桩径2R₀, 底部桩径2r₀, 楔形角α, 桩长L.桩体振动的控制方程为

$ E\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {S\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right) = \rho S\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} + {F_{\rm{s}}}. $

(1)

式中:u(x, t)表示桩身各处在任意时刻的位移, E为桩身弹性模量, S为桩身截面面积, ρ为桩身材料密度, F_s为桩土相互作用.

如图 2所示, 观察一个微段的受力情况, 在桩周有均布的法向Voigt体和切向Voigt体, 弹性系数和粘壶系数分别为K_n、C_n、K_t、C_t(Gazetas等^[13]和陈鑫^[14]对各个系数给出了经验取值).

当此微段发生向下u的位移时, 分解到法向位移为u·sin α, 切向位移为u·cos α.继而可知单位长度桩身受到的法向力N和切向力T：

$ \begin{array}{l} N = \frac{{2{\rm{ \mathit{ π} }}r}}{{\cos \alpha }}{K_{\rm{n}}}u\sin \alpha + \frac{{2{\rm{ \mathit{ π} }}r}}{{\cos \alpha }}{C_{\rm{n}}}\frac{{\partial u}}{{\partial t}}\sin \alpha = \\ \;\;\;\;\;\;2{\rm{ \mathit{ π} }}r{K_{\rm{n}}}u\tan \alpha + 2{\rm{ \mathit{ π} }}r{C_{\rm{n}}}\frac{{\partial u}}{{\partial t}}\tan \alpha , \end{array} $

(2)

$ \begin{array}{l} T = \frac{{2{\rm{ \mathit{ π} }}r}}{{\cos \alpha }}{K_{\rm{t}}}u\cos \alpha + \frac{{2{\rm{ \mathit{ π} }}r}}{{\cos \alpha }}{C_{\rm{t}}}\frac{{\partial u}}{{\partial t}}\cos \alpha = \\ \;\;\;\;\;2{\rm{ \mathit{ π} }}r{K_{\rm{t}}}u + 2{\rm{ \mathit{ π} }}r{C_{\rm{t}}}\frac{{\partial u}}{{\partial t}}. \end{array} $

(3)

其中r为微段平均半径.

将法向力N和切向力T分解到竖向并求和, 即得到单位长度桩身所受桩土作用

$ \begin{array}{l} {F_{\rm{s}}} = \left( {2{\rm{ \mathit{ π} }}r{K_{\rm{t}}}u + 2{\rm{ \mathit{ π} }}r{C_{\rm{t}}}\frac{{\partial u}}{{\partial t}}} \right) \cdot \cos \alpha + \\ \;\;\;\;\;\;\left( {2{\rm{ \mathit{ π} }}r{K_{\rm{n}}}u\tan \alpha + 2{\rm{ \mathit{ π} }}r{C_{\rm{n}}}\frac{{\partial u}}{{\partial t}}\tan \alpha } \right) \cdot \sin \alpha. \end{array} $

(4)

进一步记A=C_ntan α·sin α+C_t·cos α, B=K_ntan α·sin α+K_t·cos α, 由于Voigt体的弹性系数、粘壶系数与桩径成正比, 变量A、B也即与桩径成正比, 可记A=ar, B=br, 所以有

$ {F_{\rm{s}}} = 2{\rm{ \mathit{ π} }}{r^2}a\frac{{\partial u}}{{\partial t}} + 2{\rm{ \mathit{ π} }}{r^2}bu. $

(5)

式中a、b为比例系数.

代入控制方程式(1)得

$ E\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {S\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right) = \rho S\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} + 2{\rm{ \mathit{ π} }}{r^2}a\frac{{\partial u}}{{\partial t}} + 2{\rm{ \mathit{ π} }}{r^2}bu. $

(6)

本文中桩底支撑采用Lysmer的经验公式^[15]：

$ k = \frac{{4{\rho _{\rm{s}}}V_{\rm{s}}^2{r_0}}}{{1 - v}}.\;c = \frac{{3.4{\rho _{\rm{s}}}{V_{\rm{s}}}r_0^2}}{{1 - v}}. $

式中：V_s为土体剪切波速, ${V_{\rm{s}}} = \sqrt {{G_{\rm{s}}}/{\rho _{\rm{s}}}} $, G_s为土体剪切刚度, ρ_s为土体密度, ν为土体泊松比, r₀为桩底面半径.

因此, 底部边界条件为

$ \frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{ku}}{{E{S_{\rm{d}}}}} + {\left. {\frac{c}{{E{S_{\rm{d}}}}}\frac{{\partial u}}{{\partial t}}} \right|_{x = L}} = 0. $

(7)

式中S_d为桩底面积.当桩顶施加荷载P(t)时, 形成边界条件为

$ {\left. {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right|_{x = 0}} = - \frac{P}{{E{S_{\rm{t}}}}}. $

(8)

其中S_t为桩顶面积.

1.2 方程解答

楔形桩桩径与桩长呈线性关系, 显然有r=R₀-xtan α, 即

$ {\rm{d}}r = - \tan \alpha \cdot {\rm{d}}x. $

(9)

对方程(6)进行换元变换, 令u=w/r.代入后得

$ {v^2}{\tan ^2}\alpha \frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {r^2}}} = \frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {t^2}}} + \frac{{2a}}{\rho }\frac{{\partial w}}{{\partial t}} + \frac{{2b}}{\rho }w. $

(10)

式中:v为激振波在桩身内的传播速度, $v = \sqrt {E/\rho } $, E、ρ分别为桩身弹性模型和密度.

相应地, 边界条件转换为

$ \frac{{\partial w}}{{r\partial r}} - \frac{w}{{{r^2}}} + \frac{k}{{E{S_{\rm{d}}}\tan \alpha }}\frac{w}{r} + {\left. {\frac{c}{{E{S_{\rm{d}}}\tan \alpha }}\frac{{\partial w}}{{r\partial t}}} \right|_{r = {r_0}}} = 0. $

(11)

$ \frac{{\partial w}}{{r\partial r}} - {\left. {\frac{w}{{{r^2}}}} \right|_{r = {R_0}}} = - \frac{P}{{E{S_{\rm{t}}}\tan \alpha }}. $

(12)

当桩顶施加固定频率的荷载P=P₀e^iωt, 基桩发生同频的受迫振动, 桩身各处位移为u=Ue^iωt, 变量w=We^iωt, 式中U、W均为与桩身深度(桩径)相关的变量.

式(10)化简为

$ {v^2}{\tan ^2}\alpha \frac{{{{\rm{d}}^2}W}}{{{\rm{d}}{r^2}}} = \left( { - {\omega ^2} + {\rm{i}}\omega \frac{{2a}}{\rho } + \frac{{2b}}{\rho }} \right)W. $

(13)

令${\lambda ^2} = \left({{\omega ^2} - {\rm{i}}\omega \frac{{2a}}{\rho } - \frac{{2b}}{\rho }} \right)/{(v\tan \alpha)^2}$解得

$ W = {D_1}\exp ({\rm{i}}\lambda r) + {D_2}\exp ( - {\rm{i}}\lambda r). $

(14)

式中D₁与D₂为待求的中间变量.

代入底部边界条件, 得到D₁与D₂的关系：

$ \frac{{{D_1}}}{{{D_2}}} = \frac{{{\rm{i}}\lambda - \left( {\frac{{{Z_0}}}{{ES\tan \alpha }} - \frac{1}{r}} \right)}}{{{\rm{i}}\lambda + \left( {\frac{{{Z_0}}}{{ES\tan \alpha }} - \frac{1}{r}} \right)}}{{\rm{e}}^{ - 2{\rm{i}}\lambda r}}. $

(15)

式中Z₀=k+ciω, 再代入顶部边界条件, 得

$ \frac{{{\rm{i}}\lambda R - 1}}{{{R^2}}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\lambda R}}{D_1} - \frac{{{\rm{i}}\lambda R + 1}}{{{R^2}}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\lambda R}}{D_2} = - \frac{{{P_0}}}{{E{S_{\rm{t}}}\tan \alpha }}. $

(16)

联立式(15)、(16)可得中间变量D₁与D₂.

而桩顶振动位移响应为

$ u = {\left. {U{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\omega t}}} \right|_{r = {R_0}}} = \frac{{{D_1}\exp \left( {{\rm{i}}\lambda {R_0}} \right) + {D_2}\exp \left( { - {\rm{i}}\lambda {R_0}} \right)}}{{{R_0}}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\omega t}}. $

(17)

求导得桩顶速度响应：

$ V = \frac{{{D_1}\exp \left( {{\rm{i}}\lambda {R_0}} \right) + {D_2}\exp \left( { - {\rm{i}}\lambda {R_0}} \right)}}{{{R_0}}}{\rm{i}}\omega {{\rm{e}}^{{\rm{i}}\omega t}}. $

(18)

幅值为

$ {H_{\rm{v}}} = \frac{{{D_1}\exp \left( {{\rm{i}}\lambda {R_0}} \right) + {D_2}\exp \left( { - {\rm{i}}\lambda {R_0}} \right)}}{{{R_0}}}{\rm{i}}\omega . $

(19)

即得到了桩顶纵向振动速度频域响应.当在桩顶施加半正弦脉冲$P = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin \left({\frac{{\rm{ \mathit{ π} }}}{T}t} \right), t \in [0, T]}\\ {0, t \notin [0, T]} \end{array}} \right.$, 利用傅里叶变换可得荷载的频域形式P(iω), 再通过傅里叶逆变换即可得时响函数：

$ v(t) = {\mathscr{F}^{ - 1}}\left[ {{H_{\rm{v}}}({\rm{i}}\omega ) \cdot P({\rm{i}}\omega )} \right]. $

(20)

2 模型对比

通过控制变量法验证本文模型的合理性, 以下计算中若不作特殊说明, 楔形桩参数设置为桩长L=10 m, 楔角α=2°, 桩顶半径R₀=0.6 m.

2.1 本文退化等截面管桩模型对比

通过以上解析过程可知, 在非等截面桩体模型中, 若取楔角为0°, 则楔形桩将退化为等截面管桩.而对于等截面管桩动力响应的研究已经非常成熟^[6].因此, 首先就此退化模型进行对比, 其余变量保持一致.

由图 3, 4可知, 本文模型楔角取0°(为保证计算收敛, 计算过程中取值为0.01°)时, 楔形桩退化为等截面管桩, 与已有成熟解相比, 其时域响应和频域响应完全重合, 即验证了本文模型建立的合理性.

2.2 楔形桩简化模型与本文模型对比

如上所述, 已有的理论分析均将楔形桩简化为多个薄等截面桩段的组合, 吴文兵^[9]认为, 当桩身分段高度小于基桩整长的1/100或者更小时, 桩顶动力响应稳定收敛, 为方便表述, 记此类模型为Model 1.本文提出的非等截面桩体模型考虑了桩周土的法向作用, 并真实解答了波在楔形体中的传播, 记为Model 2.针对两种模型的异同, 需要就楔形角和桩周土两个因素展开讨论比较.

考虑到常见楔形桩的楔形角小于2°, 又由《铁路工程抗震设计规范》(GB50111—2006)知地基土剪切波速可高达500 m/s.因此, 在保证其他参数一致的基础上, 设置以下若干对照工况, 如表 1, 2所示.

计算结果比较如图 5, 6.由图 5可以看出, 随着楔形角增大, 时响曲线和频响曲线相应发生变化, 但对于小楔形角桩和大楔形角桩, 两个模型的计算结果均基本重合.一方面, 验证了本文模型的正确性, 另一方面可以看出, 在此工况, Model 1的简化方法在足够的划分层数下可以确保计算精度.

观察图 6可知, 当土质较差, 地基土剪切波速较小时, 两个模型得到的时响曲线和频响曲线基本一致.但当地基土剪切波速较大时, 曲线反映出的差别比其他工况更为明显.从时域响应看, Model 2的桩底反射低于Model 1, 从频域响应看, Model 2计算曲线的震荡幅度小于Model 1.这是由于随着土体剪切波速提高, 桩土作用增强, 土体对桩身的法向作用得到强化, 导致桩身振动被抑制, 激振波在传递过程中的损耗也增加.在响应曲线上即表现为峰值的降低.

3 楔形桩的几何参数分析

与等截面管桩不同, 楔形桩的一大特点就是变桩径, 为了更好地描述楔形桩的几何特征, 抽象出桩长L、桩身半长处桩径R_m、楔角α 3个特征参数.主要研究楔形桩的几何尺寸对桩顶动力响应的影响, 因此, 设定土体为均质土.

改变桩长L, 参数R_m=0.5 m, α=2.5°, 计算得到图 7, 8.可以看出, 当桩长增加时, 时响曲线的桩底反射高度逐渐降低至0, 此例中, 当桩长为20 m时, 桩底反射已经不明显, 而桩底反射信号前的区域几乎不受影响.除此之外频响曲线的震荡幅度也随之减小, 同阶共振频率发生一定的偏移.这是由于楔形桩的桩长增大时, 桩土相互作用加强, 使得初始激振波在传递过程中发生了更多损耗, 因此, 桩底反射信号会减小, 而频响曲线反映的是某频率下的共振速度幅值, 也因桩土作用的增强而受到抑制.

改变桩身半长处桩径R_m, 参数L=10 m, α=2.5°, 得到图 9, 10.可以看出, 当R_m增加时, 时响曲线中桩底反射信号会产生较小的增幅, 桩底反射信号前的曲线段(以下记为“C区”)会随之下沉.这是由于当R_m增大时, 桩截面的面积和周长随之增加, 截面积控制了桩身内部作用力, 截面周长控制了桩土相互作用, 其增幅小于截面积的增幅, 因而桩土作用会相对减小.另外, 由于楔形桩桩径渐变, 对于一定长度的桩段, 上下截面的波阻抗不同, 导致激振波在传递过程中会逐渐反射至桩顶, 在时响曲线中反映为C区曲线的上抬.当R_m增大时, 桩段上下截面的波阻抗差相对减小, 因而C区曲线会随之下沉.对于频响曲线, R_m的增大会导致低频段曲线的震荡幅度减小, 对高频段曲线的影响不大.

改变楔角α, 参数L=10 m, R_m=0.5 m, 得到图 11, 12.可以看出, 当楔角增大时, 桩底反射信号会小幅降低, 但影响不大.而C区曲线段则会发生明显上升.这是由于楔角的增大, 会导致桩段上下截面间的波阻抗差增大, 导致激振波在达到桩底之前, 有更多能量已经反射至桩顶, 桩底接收能量相应减小, 因而C区上升, 桩底信号下降.另一方面, 随着楔角的增大, 低频区的频响曲线震荡幅度增大, 高频区曲线几乎不受影响.

4 楔形桩的纵波速影响

与等截面管桩相同的是, 桩身纵波速对桩顶振动速度响应会产生明显的影响.当前工程应用中, 预制混凝土桩的弹性模量为20~40 GPa, 因而分析中纵波速取值为3 000~4 000 m/s.

由图 13, 14可知, 随着桩身纵波速提高, 桩底反射信号增强.这是因为纵波速的提高, 意味着桩身弹性模量的增加, 一方面会使得相同外力作用下桩身位移减小, 另一方面, 桩身内部挤压作用相对增大, 桩土相互作用相对减小, 因此, 桩底反射信号会增强.同时, 在频域曲线上, 震荡幅度会变大, 但同阶共振频不发生变化.考虑到当前低应变动测法的应用中, 桩底反射信号能提供桩长、桩身完整性等有效信息, 这意味着, 桩身纵波速(弹性模量)越大, 低应变动测法的检测范围越大.

5 结论

1) 提出了非等截面桩体模型计算楔形桩的纵向振动响应, 通过换元变化得到半解析解.与传统简化的计算模型相比, 当土质较差、地基土剪切波速较小时, 两个模型的计算结果相近, 随着土体剪切波速增大, 两者出现显著差别, 本文模型计算得到的桩顶纵向振动速度要低于简化模型.

2) 抽离出桩长L、桩身半长处桩径R_m、楔角α 3个参数描述楔形桩的几何性质.对比计算表明, 桩长越长, 桩底反射信号越弱, 频响曲线中的震荡幅度越小.另外, 随着R_m增大, α减小, 桩底反射信号会小幅上升, C区曲线会显著下沉, 低频区频响曲线随之增大, 对高频区频响曲线影响不大.

3) 桩身纵波速(弹性模量)会显著影响桩顶振动速度响应.桩身纵波速(弹性模量)越大, 桩底反射信号越强, 频响曲线的振动幅度越大.