两转一移(2R1T)并联机构因其自由度少、结构简单、制造成本低、适用于多种场合等优势，已引起国内外学者的广泛关注.自Hunt^[1]于1983年提出一种构型为3-RPS并联机构以来，2R1T并联机构的构型综合近年来在国内也掀起一股研究热潮^[2-9].这类机构目前已成功应用于五轴混联机床的转动中心^[10]、姿态调整装置^[11]以及坐标测量机^[12]等.

速度分析是并联机构运动性能分析和动力学分析的基础，属于微分运动的范畴，常用的分析方法有闭环矢量法、旋量法、影响系数法^[13-14]和网络分析法^[15]等.前三种方法实质是求解速度映射即雅克比矩阵，一般通过对位置约束方程求导来获得速度映射关系，但在位置约束方程本身就很复杂的情况下，对其进行一阶求导就更加困难.网络分析法以图论为基础，适合多环强耦合并联机构的速度和力分析，对于少自由度并联机构的速度分析通用性不强.

为避开雅克比矩阵和位置导数的求解，本文在文献[9]的基础上，利用Riemann对称空间理论对一种自由度类球面并联机构进行了瞬时速度分析.从机构子链旋量系的对称性出发，建立各子链关节运动的约束，从而简化机构动平台瞬时速度的计算.根据计算和仿真的对比结果来看，角速度误差控制在-0.004~0.006 rad/s以内，线速度误差控制在-0.01~0.015 mm/s以内.采用对称空间理论方法计算瞬时速度用时5.187 s.

1 机构描述及其坐标系建立

机构由等半径的动平台和基座以及3个相同的支链组成.在初始位形下，机构的几何简图如图 1所示. 3个支链呈120°均匀分布于基座和动平台之间.与基座相连的转动副记为B_i(i=1, 2, 3)，它们的轴线相交于基座中心O_B，与动平台相连的转动副记为D_i(i=1, 2, 3)，它们的轴线相交于动平台中心O_D；每条支链上的球副记为S_i(i=1, 2, 3)，其空间布置为S_iO_B⊥O_BB_i, S_iO_D⊥O_DD_i, ‖S_iO_D‖=‖S_iO_B‖.任意位形下，动平台和基座关于3个球副所组成的平面S₁S₂S₃对称，动平台可以绕对称面内的任意直线发生连续转动，也可以沿两平台中心连线方向进行连续平移. O_DS₁S₂S₃O_B为一个六面体，平面S₁S₂S₃将此六面体分为上下对称的两部分，O_B和O_D始终关于S₁, S₂, S₃组成的平面对称.

建立基坐标系O_Bxyz(记为{F_W})和动坐标系O_Duvw(记为{F_T})，如图 2所示.初始位形下，基座与动平台平行，各转动副轴线也相互平行. O_BO_D⊥ S₁S₂S₃交S₁S₂S₃于点M，‖O_BM‖=‖O_DM‖, ‖O_BS_i‖=‖O_DS_i‖=l.

2 位置正解

在基坐标系{F_W}中，S₁, S₂, S₃的位置由驱动副B_i的转角α_ia(i=1, 2, 3)和l决定，可写为

$ {S_i} = {\mathit{\boldsymbol{R}}_i}{\left[ { - lc{\alpha _{ia}},0,ls{\alpha _{ia}}} \right]^{\rm{T}}}, $

(1)

其中

$ {\mathit{\boldsymbol{R}}_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {c{\beta _i}}&{ - s{\beta _i}}&0\\ {s{\beta _i}}&{c{\beta _i}}&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right],{\beta _i} = \frac{{(6 - 2i){\rm{ \mathsf{ π} }}}}{3},(i = 1,2,3). $

对称平面方程ax+by+cz+d=0由各球副的位置坐标确定，满足下式:

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_1}\left( x \right)}&{{S_1}\left( y \right)}&{{S_1}\left( z \right)}&1\\ {{S_2}\left( x \right)}&{{S_2}\left( y \right)}&{{S_2}\left( z \right)}&1\\ {{S_3}\left( x \right)}&{{S_3}\left( y \right)}&{{S_3}\left( z \right)}&1\\ x&y&z&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} a\\ b\\ c\\ d \end{array}} \right] = 0. $

(2)

根据点关于平面对称点的求解原理，容易得到动平台中心O_D在{F_W}下的位置坐标：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_{{O_D}}} = - 2ad/A,}\\ {{y_{{O_D}}} = - 2bd/A,}\\ {{z_{{O_D}}} = - 2cd/A.} \end{array}} \right. $

(3)

其中，A=a²+b²+c².展开式(3)即可求得机构的位置正解为

$ \left\{ \begin{array}{l} {x_{{O_D}}} = \frac{{ - 6l{m_1}{m_4}}}{{m_2^2 + 3m_3^2 + 3m_4^2}},\\ {y_{{o_D}}} = \frac{{ - 2\sqrt 3 l{m_1}{m_2}}}{{m_2^2 + 3m_3^2 + 3m_4^2}},\\ {z_{{O_D}}} = \frac{{ - 6l{m_1}{m_3}}}{{m_2^2 + 3m_3^2 + 3m_4^2}}. \end{array} \right. $

(4)

其中

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{m_1} = {{\rm{c}}_1}{{\rm{c}}_3}{{\rm{s}}_2} + {{\rm{c}}_2}{{\rm{s}}_{13}},}\\ {{m_2} = 2{{\rm{c}}_3}\left( {{{\rm{s}}_1} - {{\rm{s}}_2}} \right) + {{\rm{c}}_2}\left( {{{\rm{s}}_1} - {{\rm{s}}_3}} \right) + {{\rm{c}}_1}\left( {{{\rm{s}}_3} - {{\rm{s}}_2}} \right),}\\ {{m_3} = {{\rm{c}}_2}{{\rm{c}}_3} + {{\rm{c}}_1}\left( {{{\rm{c}}_2} + {{\rm{c}}_3}} \right),}\\ {{m_4} = {{\rm{s}}_{12}} - {{\rm{s}}_3}\left( {{{\rm{c}}_1} + {{\rm{c}}_2}} \right).} \end{array}} \right. $

s_i表示sin α_ia，c_i表示cos α_ia，s₁₂表示sin(α_1a+α_2a)，s₁₃表示sin(α_1a+α_3a).

3 瞬时速度分析 3.1 Riemann对称空间理论

定义1^[16]  设p是Riemann流形M中的一点，如果存在M的一个变换σ_p：M→M满足下面3个条件：

1) σ_p是对合的，即σ_p²=id(id表示恒等变换)但σ_p≠id；

2) σ_p是保长变换(即等距变换)；

3) p是σ_p的孤立不动点，即有p的邻域U，使得∀q∈U, σ_p(q)=pq^－1p.

则称M对于p成中心对称，σ_p叫作关于p的中心对称.

定义2  如果一个Riemann流形M对于M中任意一点p，q都成中心对称，则称M为Riemann对称空间(简称对称空间).

Riemann对称空间的2个典型例子就是欧几里德空间和球体^[17].在机构学中存在一种符合Riemann对称的并联机构，它是一类具有对称几何结构支链的并联机构.每条支链可分为相连的两个子支链(C₊, C_－)，如图 3所示.它们的运动副的空间分布满足一种特殊的对称，即可以通过符号相反的一对运动{φ, -φ}使得两个子链重合为一个子链.

如果重合子链的旋量系为ξ_k, …, ξ₁，则原有支链的2个子支链的旋量系为

$ {\xi _k}(\varphi ), \cdots ,{\xi _1}(\varphi ),{\xi _k}( - \varphi ), \cdots ,{\xi _1}( - \varphi ). $

容易得到子链{C₊+C_－}的运动学正解为

$ f(\alpha ) = {e^{{\xi _1}\left( {{\alpha _1} + {\varphi _1}} \right)}} \cdots {e^{{\xi _k}\left( {{\alpha _k} + {\varphi _k}} \right)}}{e^{{\xi _k}\left( {{\alpha _k} + {\varphi _k}} \right)}} \cdots {e^{{\xi _1}\left( {{\alpha _1} + {\varphi _1}} \right)}} $

如果在刚体运动群SE(3)上定义一个反射映射：σ_p q =pq^－1p，则上述子链的正向运动学可以写为

$ f(\alpha ) = {\sigma _{e{\xi _1}\left( {{\alpha _1} + {\varphi _1}} \right)}}\left( {{\sigma _{e{\xi _2}\left( {{\alpha _2} + {\varphi _2}} \right)}}} \right)\left( { \cdots {\sigma _{e{\xi _k}\left( {{\alpha _k} + {\varphi _k}} \right)}}(e) \cdots } \right). $

考虑与f像空间对应的SE(3)的子流形Q.由于f是多个反射的组合，Q必须是SE(3)的对称子空间.

定理1  如果$T_{e} Q=\xi_{k}, \cdots, \xi_{1} \subset \mathrm{SE}$(3)，则f的像空间包含Q的关于e的一个邻域.

定理2  如果并联机构的所有支链的约束空间的和正好是T_eQ的正交补，则并联机构的任务空间包含Q的关于e的一个邻域.并且每条子链的C₊，C_－转过的角度正好相反.

本机构任意时刻的运动都可以想象为在一个球体(或椭球体)内进行.动平台与基座始终对称，对称面为过S₁, S₂, S₃的圆面(或椭圆面)，如图 4(a)所示.由于球副S可以等效3个转动副R串联，各等效转动副的交点为球副的中心，故将本机构中各支链的球副S_i(i=1, 2, 3)局部等效为3个轴线相交于球副中心的转动副R₂^－, R₂⁺, R₃⁺(R₃^－)，如图 4(b)所示，R₂^－的轴线沿S_iO_B方向，R₂+的轴线沿S_iO_D方向，R₃^－(R₃⁺)的轴线位于对称面S₁S₂S₃内且与连接两平台的转动副轴线同向.这样，机构的每条支链上下两部分可以相互折叠后重合，成为在对称平面里的同一个RRR结构.

至此可以得出结论：本机构是一个具有Riemann对称空间性质的机构，其每条支链经过等效处理后，支链的上下2条子链也是对称的，因此，上子链与动平台的夹角和下子链与基座的夹角相互为负.即转动副B_i, D_i的转角关系为：α_ip=－α_ia(i=1, 2, 3)，其中α_ia为平面O_BB_iS_i与基座的夹角，α_ip为平面O_DD_iS_i与动平台的夹角.以B₃, D₃的转角关系α_3p=－α_3a为例，如图 5所示.

3.2 等效瞬时速度空间

构造运动旋量ξ_i(i=1, 2, 3)与每个关节对应，它表示第i个关节的旋量运动，此时除第i个关节外其他所有关节均固定于α_ja=0的位置.在研究转动关节时，其运动旋量ξ_i可表示为

$ {\mathit{\boldsymbol{\xi }}_i} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{w}}_i}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{q}}_i}} \end{array}} \right]_{6 \times 1}}. $

(5)

其中，w_i∈R³表示旋转轴线上单位矢量，q_i∈R³表示轴线上任一点.对移动关节有

$ {\mathit{\boldsymbol{\xi }}_i} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {{\mathit{\boldsymbol{v}}_i}} \end{array}} \right]_{6 \times 1}}. $

(6)

下面分别以机构的3种特殊运动为例，推导其运动旋量表达式.

1) 第一种特殊运动：固定S₁，S₂，让S₃自由运动(即锁定α_1a, α_2a，让α_3a做有限转动).此时，机构在初始位形下非奇异，如图 6所示，由于α_1a和α_2a固定，所以α_1p和α_2p固定，根据对称性知α_1p=-α_1a, α_2p=-α_2a.那么动平台、平面S₁D₁O_D和平面S₂D₂O_D形成一个刚体，动平台将只能绕$\overrightarrow {{S_1}{S_2}} $作旋转运动.

该运动情形下的运动旋量为

$ {\mathit{\boldsymbol{\xi }}_3} = {\left[ {{{\left( {\frac{{{S_1} - {S_2}}}{{\left\| {{S_1} - {S_2}} \right\|}}} \right)}^{\rm{T}}},{{\left( {{O_D}{S_1} \times \frac{{{S_1} - {S_2}}}{{\left\| {{S_1} - {S_2}} \right\|}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right]^{\rm{T}}}. $

(7)

2) 第二种特殊运动：固定S₁, S₃，让S₂自由运动(即锁定α_1a, α_3a，让α_2a自由变化).同上面的第一种运动模式类似，由于α_1a和α_3a固定，则α_1p和α_3p固定，α_1p=-α_1a, α_3p=-α_3a.同理，动平台、平面S₁D₁O_D和平面S₃D₃O_D形成一个刚体，动平台将只能绕$\overrightarrow {{S_1}{S_3}} $作旋转运动.该情形下的运动旋量为

$ {\mathit{\boldsymbol{\xi }}_2} = {\left[ {{{\left( {\frac{{{S_3} - {S_1}}}{{\left\| {{S_1} - {S_3}} \right\|}}} \right)}^{\rm{T}}},{{\left( {{O_D}{S_3} \times \frac{{{S_3} - {S_1}}}{{\left\| {{S_1} - {S_3}} \right\|}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right]^{\rm T}}. $

(8)

3) 第三种特殊运动：固定S₂, S₃，让S₁自由运动(即锁定α_2a, α_3a，让α_1a自由变化).同理α_2p=-α_2a, α_3p=-α_3a.动平台、平面S₂D₂O_D和平面S₃D₃O_D形成一个刚体，动平台将只能绕$\overrightarrow {{S_2}{S_3}} $作旋转运动.该情形下的运动旋量为

$ {\mathit{\boldsymbol{\xi }}_1} = {\left[ {{{\left( {\frac{{{S_2} - {S_3}}}{{\left\| {{S_3} - {S_2}} \right\|}}} \right)}^{\rm{T}}},{{\left( {{O_D}{S_2} \times \frac{{{S_2} - {S_3}}}{{\left\| {{S_3} - {S_2}} \right\|}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right]^{\rm{T}}}. $

(9)

运动旋量系${\rm{\{ }}{{\bf{ \pmb{\mathit{ ξ}} }}_1}, {{\bf{ \pmb{\mathit{ ξ}} }}_2}, {{\bf{ \pmb{\mathit{ ξ}} }}_3}{\rm{\} }}$等效为绕对称面S₁S₂S₃内任意一条直线的转动(2个旋转自由度)，以及沿对称面法线方向的平移(1个平移自由度)，其维数等于机构的自由度数，很好地解释了类球面并联机构2R1T的自由度性质，物理意义明确.

由于动平台的运动是由3个驱动关节共同作用引起，其运动可以由旋距为零的速度旋量来描述:

$ \mathit{\boldsymbol{\xi }} = \left( {\begin{array}{*{20}{l}} \mathit{\boldsymbol{w}}\\ \mathit{\boldsymbol{v}} \end{array}} \right) = \dot \theta \left( {\begin{array}{*{20}{c}} s\\ {r \times s} \end{array}} \right). $

(10)

其中，$\dot \theta $为驱动关节的角速度.因此本文并联机构的瞬时速度可以写成运动旋量系$\left\{ {{{\bf{ \pmb{\mathit{ ξ}} }}_1}, {{\bf{ \pmb{\mathit{ ξ}} }}_2}, {{\bf{ \pmb{\mathit{ ξ}} }}_3}} \right\}$与驱动关节速度${\dot \alpha _{1a}}, {\dot \alpha _{2a}}, {\dot \alpha _{3a}}$的线性组合：

$ \mathit{\boldsymbol{\xi }} = {{\dot \alpha }_{1a}}{\mathit{\boldsymbol{\xi }}_1} + {{\dot \alpha }_{2a}}{\mathit{\boldsymbol{\xi }}_2} + {{\dot \alpha }_{3a}}{\mathit{\boldsymbol{\xi }}_3}. $

(11)

式中，${{\bf{ \pmb{\mathit{ ξ}} }}_1}, {{\bf{ \pmb{\mathit{ ξ}} }}_2}, {{\bf{ \pmb{\mathit{ ξ}} }}_3}$分别为驱动关节B₁, B₂, B₃在基坐标系下的等效运动旋量，ξ的集合就构成了机构末端在基坐标系下的速度空间.

4 计算与仿真

选取机构主要参数为：l=100 mm.不失一般性，令驱动关节的角位移分别为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\alpha _{1a}} = \sin ({\rm{ \mathsf{ π} }}t/6),}\\ {{\alpha _{2a}} = \sin ({\rm{ \mathsf{ π} }}t/4),\quad 0 \le t \le 1}\\ {{\alpha _{3a}} = \sin ({\rm{ \mathsf{ π} }}t/3).} \end{array}} \right., $

(12)

根据式(1)~(11)对动平台的瞬时速度(包括角速度和线速度)进行ADAMS仿真并与Mathematica计算结果进行对比，结果如图 7所示.由图 7可知，仿真结果与理论计算几乎完全吻合，说明采用对称空间理论分析机构的瞬时速度是正确、可行的.

5 结论

对一种对称结构的3自由度类球面并联机构进行了位置分析.由于位置解析式较为复杂，若通过对其进行一阶求导或推导其雅克比矩阵的方式来获得机构的瞬时速度将是十分困难的事情.为简化计算，利用对称空间理论，从机构子链旋量系的对称性出发，建立各子链关节运动的约束.由于机构有三个驱动关节，每次锁定2个驱动关节，只让1个关节运动，这样就可以得到3种特殊的运动及其运动旋量，这些运动旋量和对应的驱动关节速度的线性组合构成了机构的瞬时速度空间.这个空间的基正好解释了机构的自由度性质为两旋转一平移，物理意义明确，计算方法简单.