屈服准则是判定材料在各种应力状态下是否发生塑性变形的依据，也是求解材料成形外力必须依赖的条件.合理的屈服准则对材料的选择、工艺参数的优化以及工程结构件的安全评定具有重要意义.自20世纪以来，研究者在屈服准则方面做了大量的研究，并取得了许多重要的成果.

1776年，Coulomb^[1]提出一个屈服假定，即当某平面上的剪应力超过该平面上材料的内聚力和摩擦力之和时，材料就发生剪切屈服.该准则也因此被称为Coulomb准则.1864年，Tresca^[2]在冲裁和挤压实验的基础上，提出了Tresca屈服准则.该准则假定，无论在何种应力状态下，当物体内某一点的最大切应力达到某一定值时，物体就发生屈服.1913年，von Mises^[3]从数学的角度出发，提出以偏差应力张量的二次不变量作为判据，建立了Mises屈服准则.该准则随后由Hencky^[4]进行了物理解释，即当材料内部所积累的单位体积变形达到一个临界值时，材料发生塑性变形.1950年，Hill^[5]将适用于各向同性材料的Mises屈服准则推广到各向异性材料，提出了Hill屈服准则.1952年，Drucker等^[6]在Mises屈服准则的基础上，考虑到静水压力对材料屈服的影响进而提出了Drucker-Prager屈服准则.为了统一表征各屈服准则，文献[7]引入了三维应力空间的概念，描述了Tresca准则和Mises准则的几何特征.1985年，俞茂宏等^[8]提出了双剪应力(TSS)屈服准则，即假定当两个较大的主剪应力之和达到临界值时，材料发生塑性变形.近年来，章顺虎^[9]在线性屈服准则的开发方面也取得了进展，提出了与Mises圆周长相等的线性屈服准则.2015年，杨凤等^[10]基于材料屈服时应力之间的关系, 提出一种新的各向同性屈服准则.该准则包含了应力幂次在1~4之间的各种形式.2017年，高江平等^[11]提出三剪应力统一强度理论，认为当作用于菱形十二面单元体上的3个主剪应力所组成的函数达到某一极值时, 材料发生破坏.

以上屈服准则的开发为各类工程结构件的塑性失效分析提供了基础.管道作为石油与天然气的输送媒介，在国民经济中发挥着至关重要的作用.然而，近年来管道安全事故频发，已造成了严重的经济损失.因此，进行管道失效分析具有重要意义.管道塑性失效分析主要用于确定受力管道的极限承载能力，称为爆破压力.国内外已有不少预测管道爆破压力的研究报道.李灿明等^[12]采用MY准则求解X80管线钢爆破压力，得到逼近Mises结果的解析解.文献[13-14]应用Tresca屈服准则和Mises屈服准则分别对管道的爆破压力进行了预测, 研究发现Tresca准则的预测结果提供了管道爆破压力的下限, 而Mises准则的预测结果会比实际数值偏高.彭星煜等^[15]利用双剪应力(TSS)屈服准则得到的预测值是管道爆破压力的上限.基于以上研究可见，Tresca屈服准则通常给出下限解，TSS屈服准则通常给出上限解；Mises屈服准则给出相对偏高的结果.

根据上述信息，本文提出了一种新的线性屈服准则，旨在获得更加合理的预测结果，并分析不同屈服准则以及主要参数对管道爆破压力的影响.

1 三经典屈服准则

Tresca^[2]屈服准则的表达式为

$ {f^{{\rm{ Tresca }}}} = {\sigma _1} - {\sigma _3} = {\sigma _{\rm{s}}}. $

(1)

式中：σ₁为第一主应力，σ₃为第三主应力，σ_s为屈服强度.

Tresca屈服准则是一个线性准则，但由于只考虑了两个主应力分量，在描述金属材料的实际塑性变形方面存在不足，即通常会给出偏低的力学参数结果.

Mises^[3]屈服准则的表达式为

$ {f^{{\rm{ Mises }}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sqrt {{{({\sigma _1} - {\sigma _2})}^2} + {{({\sigma _2} - {\sigma _3})}^2} + {{({\sigma _3} - {\sigma _1})}^2}} = {\sigma _{\rm{s}}}. $

(2)

根据前人的研究和验证，大多数金属材料的塑性变形满足Mises屈服准则.然而，由于其表达式的非线性，不便于复杂力学方程的联解计算.

TSS^[8]屈服准则的表达式为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f_1^{{\rm{TSS}}} = {\sigma _1} - \frac{1}{2}({\sigma _2} + {\sigma _3}) = {\sigma _{\rm{s}}},{\sigma _2} \le \frac{1}{2}({\sigma _1} + {\sigma _3});}\\ {f_2^{{\rm{TSS}}} = \frac{1}{2}({\sigma _1} + {\sigma _2}) - {\sigma _3} = {\sigma _{\rm{s}}},{\sigma _2} \ge \frac{1}{2}({\sigma _1} + {\sigma _3}).} \end{array}} \right. $

(3)

TSS屈服准则也是一个线性的屈服准则，但与其他准则相比，它总是提供上限解.

上述公式在π平面上的屈服轨迹见图 1，其中Mises屈服准则的轨迹是一个圆，Tresca屈服准则的轨迹是Mises圆的一个内接正六边形，TSS屈服准则的轨迹是Mises圆的一个外切正六边形.

2 平均化屈服准则 2.1 数学表达式

为了线性逼近Mises圆，可以在Tresca屈服准则和Mises屈服准则之间构建一个十二边形.在图 1中，Mises屈服准则的外切六边形(TSS)的边心距为OB′，内接六边形(Tresca)的边心距为OF，设线段BF上有一动点E，连接B′E，定义为本文即将开发的平均化屈服准则，OI为其边心距.

在图中，设OB′与OI之间的夹角∠B′OI为θ，则当θ=0°时，OI=OB′；当θ=30°时，OI=OF.可见，OI可在OB′与OF之间变化.

已知Mises圆的半径OB′=OD=$\frac{{\sqrt 6 }}{3}$σ_s，根据图中的三角函数关系, 有变角度边心距f(θ)=OI=OB′cos θ= $\frac{{\sqrt 6 }}{3}$σ_scos θ, 其中0°≤θ≤30°.由积分中值定理，可得平均化后的新边心距为

$ OI = \frac{1}{{\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{6} - 0}}\int_0^{\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{6}} {\frac{{\sqrt 6 }}{3}} {\sigma _{\rm{s}}}\cos \theta {\rm{d}}\theta = \frac{{\sqrt 6 }}{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{\sigma _{\rm{s}}}. $

(4)

基于上式，可得

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos \theta = OI/O{B^\prime } = \frac{3}{{\rm{ \mathsf{ π} }}},}\\ {\cos \angle IOE = \cos \left( {\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{6} - \theta } \right) = 0.975{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 4,}\\ {OE = OI/\cos \angle IOE = 0.799{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 3{\sigma _{\rm{s}}}.} \end{array}} \right. $

(5)

Mises屈服轨迹上的偏差矢量模长为

$ OD = O{B^\prime } = \frac{{\sqrt 6 }}{3}{\sigma _{\rm{s}}} \approx 0.816{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 5{\sigma _{\rm{s}}}. $

(6)

平均化屈服准则的偏差矢量模长为

$ OE = 0.799{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 3{\sigma _{\rm{s}}}. $

(7)

由此可见，平均化屈服准则的偏差矢量模长比Mises屈服准则的小，即E点在F、D之间.在误差三角形OBB′内各种屈服准则的相互关系如图 2所示.

下面建立直线A′E、B′E在Haigh-Westgarrd空间中的应力方程.图 3为主应力分量在π平面上的投影，其中E点的应力状态为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\sigma _1} = \frac{{OE \times \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 \cos {{30}^\circ }}} = 1.130{\kern 1pt} {\kern 1pt} 4{\sigma _{\rm{s}}},}\\ {{\sigma _3} = 0,}\\ {{\sigma _2} = \frac{{{\sigma _1} + {\sigma _3}}}{2} = 0.565{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 2{\sigma _{\rm{s}}}.} \end{array}} \right. $

(8)

假定直线A′E满足如下方程：

$ {\sigma _1} - {a_1}{\sigma _2} - {a_2}{\sigma _3} - c = 0, $

(9)

则当材料发生屈服时有c=σ_s、a₁+a₂=1，代入应力分量式(8)可得

$ {a_1} = 0.231,{a_2} = 0.769. $

(10)

将式(10)代入式(9)，可得A′E的方程为

$ {\sigma _1} - 0.231{\sigma _2} - 0.769{\sigma _3} = {\sigma _{\rm{s}}},{\sigma _2} \le \frac{1}{2}({\sigma _1} + {\sigma _3}). $

(11)

同理，直线B′E的方程可确定为

$ 0.769{\sigma _1} + 0.231{\sigma _2} - {\sigma _3} = {\sigma _{\rm{s}}},{\sigma _2} \ge \frac{1}{2}({\sigma _1} + {\sigma _3}). $

(12)

式(11)和式(12)即为所提的屈服准则的数学表达式，它是主应力分量的线性组合.因该准则的边心距OI由积分中值定理计算而得，故导出的准则称为平均化屈服准则，简称HY准则.

由图 2可知，HY准则的轨迹在Mises圆内，各顶角计算如下：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\angle F{B^\prime }E = {{12.726}^\circ },}\\ {\angle O{B^\prime }E = {{60}^\circ } + {{12.726}^\circ } = {{72.726}^\circ },}\\ {\angle OE{B^\prime } = {{180}^\circ } - {{30}^\circ } - {{72.726}^\circ } = {{77.274}^\circ },}\\ {2\angle O{B^\prime }E = {{145.452}^\circ },2\angle OE{B^\prime } = {{154.548}^\circ }.} \end{array}} \right. $

(13)

由图 1和式(13)表明，HY准则的轨迹是在Mises圆内的等边非等角的十二边形，边长为0.418 5σ_s，6个顶点在Mises圆上，内接点顶角为145.452°，另外6个顶点位于Mises圆的内侧，相距0.02σ_s，顶角为154.548°.

HY准则的轨迹与Tresca屈服准则和Mises屈服准则轨迹之间的绝对和相对误差如下：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\Delta _{{\rm{AT1}}}} = OE - OF = 0.092{\kern 1pt} {\kern 1pt} 2{\sigma _s},}\\ {{\Delta _{{\rm{AT2}}}} = \frac{{(OE - OF)}}{{OF}} = 13\% ,}\\ {{\Delta _{{\rm{AM1}}}} = OE - OD = - 0.017{\kern 1pt} {\kern 1pt} 6{\sigma _s},}\\ {{\Delta _{{\rm{AM2}}}} = \frac{{(OE - OD)}}{{OD}} = - 2.1\% .} \end{array}} \right. $

(14)

式中：Δ_AT1、Δ_AT2分别为HY准则和Tresca屈服准则之间的绝对误差和相对误差，Δ_AM1、Δ_AM2分别为HY准则和Mises屈服准则之间的绝对误差和相对误差.

式(14)表明HY准则的轨迹位于Tresca屈服轨迹和Mises屈服轨迹之间，并且更接近Mises屈服轨迹.

2.2 实验验证

在主应力状态为σ₁≥σ₂≥σ₃时，引入Lode参数来对比不同的屈服准则，Lode参数表达式为^[16]

$ {\mu _{\rm{d}}} = \frac{{2{\sigma _2} - {\sigma _1} - {\sigma _3}}}{{{\sigma _{\rm{s}}}}}. $

(15)

将上式分别代入Tresca准则、Mises准则、TSS屈服准则和HY准则可得到它们含Lode参数的改写式如下：

Tresca:

$ {\frac{{{\sigma _1} - {\sigma _3}}}{{{\sigma _{\rm{s}}}}} = 1.} $

(16)

Mises:

$ {\frac{{{\sigma _1} - {\sigma _3}}}{{{\sigma _{\rm{s}}}}} = \frac{2}{{\sqrt {3 + \mu _{\rm{d}}^2} }}.} $

(17)

TSS：

$ \frac{{{\sigma _1} - {\sigma _3}}}{{{\sigma _{\rm{s}}}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{4 + {\mu _{\rm{d}}}}}{3}, - 1 \le {\mu _{\rm{d}}} \le 0;}\\ {\frac{{4 - {\mu _{\rm{d}}}}}{3},0 \le {\mu _{\rm{d}}} \le 1.} \end{array}} \right. $

(18)

HY：

$ \frac{{{\sigma _1} - {\sigma _3}}}{{{\sigma _{\rm{s}}}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 000 + 231{\mu _{\rm{d}}}}}{{1769}}, - 1 \le {\mu _{\rm{d}}} \le 0;}\\ {\frac{{2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 000 - 231{\mu _{\rm{d}}}}}{{1769}},0 \le {\mu _{\rm{d}}} \le 1.} \end{array}} \right. $

(19)

基于以上改写式，并结合已有的实验数据^[16-19]，可以得到图 4.

由图 4可知，TSS屈服准则位于最上侧，提供了计算结果的上限，Tresca屈服准则位于底部，提供下限；HY准则介于TSS准则与Tresca准则之间，靠近Mises准则结果，且与实验数据吻合较好，提供了较合理的中间结果.

3 管道失效分析

为了证明新提出的HY准则的应用价值，本节将HY准则应用于内压直管道的塑性失效分析.

3.1 爆破压力模型

对于受内压力的薄壁管，其主应力分量表示为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\sigma _1} = {\sigma _{\rm{ \mathsf{ θ} }}} = \frac{{pd}}{{2t}},}\\ {{\sigma _2} = {\sigma _{\rm{z}}} = \frac{{pd}}{{4t}},}\\ {{\sigma _3} = {\sigma _{\rm{r}}} \approx 0.} \end{array}} \right. $

(20)

式中：θ、z、r分别为管道的周向、轴向和径向；d和t是管道的内直径和初始壁厚; p是管道的内部压力.

对于埋地管道，轴向应变通常很小，可看作ε_z=0.因此，主应变分量为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\varepsilon _1} = {\varepsilon _{\rm{ \mathsf{ θ} }}} = \ln \frac{d}{{{d_0}}},}\\ {{\varepsilon _3} = {\varepsilon _{\rm{r}}} = \ln \frac{t}{{{t_0}}},}\\ {{\varepsilon _2} = {\varepsilon _{\rm{z}}} = 0.} \end{array}} \right. $

(21)

式中d₀、t₀为管道的初始直径和初始壁厚.

当塑性变形发生时，管线钢的应力-应变关系用以下幂函数表示^[14]：

$ \sigma = K{\varepsilon ^n};K = {\left( {\frac{e}{n}} \right)^n}\sigma _{\rm{u}}^\prime . $

(22)

式中：σ、ε分别为单向拉伸实验时的真应力和真应变，n为加工硬化系数，K为在ε=1时的强度系数，σ′_u为工程抗拉强度.

通过式(20)~(22)和失效条件∂p/∂ε=0，则基于式(11)的爆破压力为

$ p_{\rm{b}}^{{\rm{HY}}} = 4{\left( {\frac{{1{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 000}}{{1{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 769}}} \right)^{n + 1}}\frac{{{t_0}}}{{{d_0}}}\sigma _{\rm{u}}^\prime . $

(23)

该式表明，爆破压力是应变硬化指数、初始厚径比以及工程抗拉强度的函数.根据上述分析过程，还可以导出基于Tresca，Mises和TSS屈服准则的爆破压力：

$ {p_{\rm{b}}^{{\rm{ Tresca }}} = 4{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n + 1}}\frac{{{t_0}}}{{{d_0}}}\sigma _{\rm{u}}^\prime ,} $

(24)

$ {p_{\rm{b}}^{{\rm{ Mises }}} = 4{{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^{n + 1}}\frac{{{t_0}}}{{{d_0}}}\sigma _{\rm{u}}^\prime ,} $

(25)

$ {p_{\rm{b}}^{{\rm{HY}}} = 4{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n + 1}}\frac{{{t_0}}}{{{d_0}}}\sigma _{\rm{u}}^\prime .} $

(26)

上述爆破压力公式的一般形式表示为

$ {p_{\rm{b}}} = 4{\omega ^{n + 1}}\frac{{{t_0}}}{{{d_0}}}\sigma _{\rm{u}}^\prime . $

(27)

式中ω是一个可变系数，取决于不同的屈服准则，ω=1 000/1 769, 1/2, 1/$\sqrt 3 $和2/3分别对应于HY, Tresca, Mises和TSS准则.

3.2 实验验证和参数分析

为验证本文结果的正确性，将本文的归一化爆破压力p_n=p/(2t₀σ′_u/d₀)=2ωⁿ⁺¹与文献[20-22]中的实验结果进行比较，见图 5.

由图 5可知，基于HY准则得到的理论管道爆破压力介于Tresca与TSS准则预测的爆破压力之间，与Mises准则结果最为接近，且比Mises准则结果更接近实验结果.

不同硬化指数和厚径比对爆破压力的影响见图 6、7.

由图 6、7可知，应变硬化效应和管道尺寸均对管道爆破压力产生影响，管道爆破压力随着应变硬化指数的增大而减小，随管道厚径比的增大而增大.

由于硬化指数取决于钢材生产工艺及化学成分，而厚径比又与使用条件及设计要求密切相关.因此设计管道时要综合考虑这两个关键参数，以避免管道失效.

4 结论

1) 本文提出的平均化屈服准则是关于主应力分量的线性组合，它在π平面上的屈服轨迹为一个在Mises圆内的等边非等角十二边形，边长为0.418 5σ_s，顶角分别为154.548°与145.452°，与Mises准则之间的最大误差不超过2.1%.通过对比实验数据发现，该屈服准则的预测结果与实验数据吻合较好，给出了较为合理的中间结果.

2) 将新提出的屈服准则应用于管道失效分析，结果表明，理论爆破压力取决于不同的屈服准则，并且本文结果与实验数据吻合较好.由此可见，本文采用HY准则进行管道失效分析的方法是可行的.

3) 对各种爆破压力的变化规律分析发现，随着应变硬化指数的增加，爆破压力减小；随着厚径比的增加，爆破压力增加，表明管壁较厚或直径较小的管道可以承受更大的压力.