极化敏感阵列的自适应波束形成技术能够同时利用极化信息和空域信息完成滤波，相比传统标量阵列的纯空域滤波具有更加优良的抗干扰能力，使其在重要的军事、民事等领域具有广泛的应用前景^[1-2].四元数具有4个正交基，特别适用于极化敏感阵列的信号建模及信号处理，因此其在极化敏感阵列上得到了广泛的应用^[3-4].文献[5]提出的四元数MVDR(Quaternion Minimum Variance Distortionless Response, Q-MVDR)算法在干扰噪声协方差矩阵(interference-plus-noise covariance matrix, IPNCM)及期望信号导向矢量精确已知时具备优越的性能.然而，在实际应用中，许多非理想因素不可忽视.如：由指向误差、阵元位置误差带来的期望信号导向矢量失配^[6-8]；精确的IPNCM难以获得，利用采样协方差矩阵代替，在期望信号较强时，会出现信号相消现象，引起算法性能急剧下降^[9-10].因此，对基于四元数的鲁棒自适应波束形成算法(Robust Adaptive Beamforming, RAB)进行研究十分必要.

在RAB算法方面，文献[11-12]利用对角加载(Diagonal Loading, DL)技术改善了对导向矢量误差的敏感性，但是并没有准则来确定最优加载量.针对此问题，文献[13-14]提出的迭代RAB算法、基于收缩失配估计的RAB算法避免了加载量的求解，并提高了在导向矢量失配时算法的鲁棒性.但是，以上RAB算法都有一个共同的缺点：由于训练数据中包含期望信号成分，当期望信号较强时，算法性能下降.因此，文献[15]利用Capon空间功率谱估计器对与期望信号分离的区域进行积分重构得到了IPNCM，去除训练数据中的期望信号成分，在波束形成领域实现了有价值的创新，为RAB技术的发展提供了一种新思路.但是该算法忽略了干扰信号的功率，并且需要利用CVX工具包求解二次约束二次规划问题，不易实现.在该算法的基础上，文献[16-18]提出的改进算法利用斜投影、去除残余噪声等方法在一定程度上提高了重构IPNCM的精度，以及导向矢量失配时的鲁棒性，但在这两方面仍具有一定的改进空间.

综上，在标量阵列、强期望信号条件下，矩阵重构类方法极大地提升了波束形成算法的鲁棒性.但是在极化敏感阵列方面，已有研究成果尚未有效解决强期望信号和导向矢量失配情况下性能下降的问题.本文针对此问题，提出一种基于四元数矩阵重构的鲁棒波束形成算法，该算法利用四元数完成信号建模，将协方差矩阵重构方法扩展到四元数域，结合四元数信号子空间投影方法，完成了对极化敏感阵列最优权矢量的求解.仿真实验表明，在强期望信号和导向矢量失配时，本文算法表现出较好的鲁棒性.

1 四元数信号模型 1.1 四元数基础

将复数在四维空间上进行扩展，可以得到四元数，比较常用的是Hamilton四元数.其定义四元数q由4个分量组成，一个实部和3个虚部^[19]，可以表示成如下形式

$ q = a + {\rm{i}}b + {\rm{j}}c + {\rm{k}}d. $

式中i, j, k都是虚部单位，满足

$ {{\rm{i}}^2} = {{\rm{j}}^2} = {{\rm{k}}^2} = {\rm{ijk}} = - 1, {\rm{ij}} = {\rm{k}}, {\rm{ji}} = - {\rm{k, }} $

$ {\rm{ki}} = {\rm{j}}, {\rm{ik}} = - {\rm{j}}, {\rm{ik}} = {\rm{i}}, {\rm{kj}} = - {\rm{i, }} $

四元数具有如下性质：

1) 四元数q的共轭q=a－ib－jc－kd；

2) 四元数q的模$ |q|=\sqrt{q \bar{q}}=\sqrt{\bar{q} q}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}$；

3) 四元数q的逆q^－1=q /|q²|.

一个四元数q可以表示成2个复数q₁，q₂相加的形式如:q=q₁+iq₂，其中q₁=a+jc，q₂=b+jd，且q₁，q₂唯一.

1.2 四元数信号模型

为了简化阐述，文中假设接收极化波为完全极化波，阵列工作在理想环境下.

极化敏感阵列由相互正交的M个电偶极子对构成，阵列结构如图 1所示，整个阵列可以分为2个子阵，分别由沿x轴和y轴方向放置的电偶极子组成，接收来自x轴和y轴方向的电场分量.各个阵元沿y轴构成均匀线阵，阵元间距为d.

假设空间有L+1个远场窄带信号{s_l(t)}_l=0^L入射到阵列上，其中包含1个期望信号和L个干扰信号，入射俯仰角为θ_l，方位角为φ_l，极化幅角与相角分别为γ_l，η_l，信号波长为λ.为方便表述且不失一般性，令φ_l=90°，η_l=90°，则第l个信号的空域导向矢量和极化域导向矢量可以分别表示为

$ {\mathit{\boldsymbol{a}}_{\rm{s}}}\left( {{\theta _l}} \right) = {{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\left( {m - 1} \right)\frac{{2{\rm{ \mathit{ π} }}}}{\lambda }d\sin {\theta _l}}}\left( {m = 1, 2, \cdots M} \right), $

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{a}}_{\rm{p}}}\left( {{\theta _l}, {\gamma _l}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \sin {\varphi _l}}&{\cos {\theta _l}\cos {\varphi _l}}\\ {\cos {\varphi _l}}&{\cos {\theta _l}\sin {\varphi _l}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\gamma _l}}\\ {\sin {\gamma _l}{e^{{\rm{j}}{\eta _l}}}} \end{array}} \right] = }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \cos {\gamma _l}}\\ {{\rm{j}}\cos {\theta _l}\sin {\gamma _l}} \end{array}} \right] \buildrel \Delta \over = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {a_{\rm{p}}^x\left( {{\theta _l}, {\gamma _l}} \right)}\\ {a_{\rm{p}}^y\left( {{\theta _l}, {\gamma _l}} \right)} \end{array}} \right].} \end{array} $

式中：a_p^x是沿x轴方向偶极子的极化响应，a_p^y是沿y轴方向的偶极子的极化响应.

根据偶极子方向，可将阵列分为垂直、水平偶极子两个子阵，这两个子阵上第l个信号的导向矢量可表示为

$ {\mathit{\boldsymbol{a}}_{x, l}} = a_{\rm{p}}^x \cdot {\mathit{\boldsymbol{a}}_{\rm{s}}}, $

$ {\mathit{\boldsymbol{a}}_{y, l}} = a_{\rm{p}}^y \cdot {\mathit{\boldsymbol{a}}_{\rm{s}}}. $

则两个子阵的输出x₁(t)和x₂(t)分别为

$ {\mathit{\boldsymbol{x}}_1}\left( t \right) = \sum\limits_{l = 0}^L {{\mathit{\boldsymbol{a}}_{x, l}}{s_l}\left( t \right)} + {\mathit{\boldsymbol{n}}_1}\left( t \right), $

$ {\mathit{\boldsymbol{x}}_2}\left( t \right) = \sum\limits_{l = 0}^L {{\mathit{\boldsymbol{a}}_{y, l}}{s_l}\left( t \right)} + {\mathit{\boldsymbol{n}}_2}\left( t \right). $

式中：n₁(t)和n₂(t)分别为两个子阵中与信号相统计独立的高斯白噪声矢量.

四元数具有4个正交基，极化敏感阵列的每个阵元有两个正交分量，整个阵列的输出可以表示成四元数的形式，保持了各分量之间固有的正交特性.四元数域极化敏感阵列的输出可表示为

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{x}}\left( t \right) = {\mathit{\boldsymbol{x}}_1}\left( t \right) + {\rm{i}}{\mathit{\boldsymbol{x}}_2}\left( t \right) = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{l = 0}^L \mathit{\boldsymbol{a}} \left( {{\theta _l}, {\gamma _l}} \right){s_l}\left( t \right) + \mathit{\boldsymbol{n}}\left( t \right). \end{array} $

(1)

式中：$\boldsymbol{a}\left(\theta_{l}, \gamma_{l}\right) \triangleq \boldsymbol{a}_{x, l}+\mathrm{i} \boldsymbol{a}_{y, l} $为第l个信号的四元数域导向矢量，$ \boldsymbol{n}(t) \triangleq \boldsymbol{n}_{1}(t)+\mathrm{i} \boldsymbol{n}_{2}(t)$为四元数域噪声矢量.

在波束形成中，式(1)一般表示为

$ \mathit{\boldsymbol{x}}\left( t \right) = {\mathit{\boldsymbol{a}}_0}{s_0}\left( t \right) + \sum\limits_{l = 1}^L {{\mathit{\boldsymbol{a}}_l}} {s_l}\left( t \right) + \mathit{\boldsymbol{n}}\left( t \right). $

式中：a₀为期望信号导向矢量，s₀(t)为期望信号，a_l, (l=1, 2, …L)为干扰信号导向矢量，s_l(t), (l=1, 2, …, L)为干扰信号.

四元数域的协方差矩阵R∈H^M×M为

$ \mathit{\boldsymbol{R}} = E\left\{ {\mathit{\boldsymbol{x}}\left( t \right){\mathit{\boldsymbol{x}}^ \triangleleft }\left( t \right)} \right\} = \sigma _0^2{\mathit{\boldsymbol{a}}_0}\mathit{\boldsymbol{a}}_0^ \triangleleft + {\mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}}. $

式中：σ₀²为期望信号功率，R_j+n为干扰噪声协方差矩阵，(·)^⊲表示四元数的共轭转置.

干扰噪声协方差矩阵R_j+n定义为

$ {\mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}} = \sum\limits_{l = 1}^L {\sigma _l^2} {\mathit{\boldsymbol{a}}_l}\mathit{\boldsymbol{a}}_l^ \triangleleft + \sigma _{\rm{n}}^2{\mathit{\boldsymbol{I}}_M}. $

(2)

式中：σ_l²为第l个干扰信号的功率，σ_n²为噪声功率，I_M为单位阵.

1.3 Q-MVDR波束形成算法

Q-MVDR算法的最优权矢量w∈H^M×1可以依据最大输出信干噪比(max signal-to-interference-plus-noise ratio, MSINR)准则转化为如下问题求得

$ \mathop {\min }\limits_\mathit{\boldsymbol{w}} {\mathit{\boldsymbol{w}}^ \triangleleft }{\mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}}\mathit{\boldsymbol{w}}~{\rm{ s}}{\rm{.t }}~{\mathit{\boldsymbol{w}}^ \triangleleft }{\mathit{\boldsymbol{a}}_0} = 1. $

(3)

利用拉格朗日乘子法求解式(3)，解得四元数域最优权矢量的表达式为

$ \mathit{\boldsymbol{w}} = \frac{{\mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{a}}_0}}}{{\mathit{\boldsymbol{a}}_0^ \triangleleft \mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{a}}_0}}}. $

(4)

但是在实际应用中R_j+n难以得到，通常用K个快拍数据的采样协方差矩阵$\hat{\boldsymbol{R}}=\frac{1}{K} \sum\limits_{k=1}^{K} \boldsymbol{x}(k) \boldsymbol{x}^{⊲}(k) $来代替，则式(4)改写为

$ {\mathit{\boldsymbol{w}}_{{\rm{Q}} - {\rm{MVDR}}}} = \frac{{{{\mathit{\boldsymbol{\hat R}}}^{ - 1}}{{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}_0}}}{{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}_0^ \triangleleft {{\mathit{\boldsymbol{\hat R}}}^{ - 1}}{{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}_0}}}. $

(5)

式中$ \boldsymbol{\hat{a}}_{0}$为期望信号导向矢量的估计，由于指向误差等因素的影响，会导致$ \boldsymbol{\hat{a}}_{0}$与理想的a₀出现偏差，即导向矢量失配.另外，由于$ \boldsymbol{\hat{R}}$中含有期望信号成分，在期望信号较强时，会出现信号相消现象，引起性能下降.

2 基于四元数矩阵重构的鲁棒波束形成算法 2.1 干扰噪声协方差矩阵重构

针对强期望信号时，MVDR算法出现性能下降并且会加重导向矢量失配的问题，文献[15]提出复数域标量阵列的重构IPNCM的方法，本文将其扩展到四元数域

$ {{\mathit{\boldsymbol{\hat R}}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}} = \int_{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\bar \varTheta} }}} {\frac{{\mathit{\boldsymbol{a}}\left( \theta \right){\mathit{\boldsymbol{a}}^ \triangleleft }\left( \theta \right)}}{{{\mathit{\boldsymbol{a}}^ \triangleleft }\left( \theta \right){{\mathit{\boldsymbol{\hat R}}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{a}}\left( \theta \right)}}{\rm{d}}\theta } . $

(6)

式中：Θ为干扰信号区域，a(θ), θ∈Θ为导向矢量.但是该方法没有严格按照R_j+n的定义求解，会导致与理论的R_j+n产生误差.针对该问题，本文在此基础上，提出一种基于四元数矩阵重构的鲁棒波束形成算法.

算法首先对$ \hat{\boldsymbol{R}}_{\rm{j}+\rm{n}}$进行特征分解

$ {{\mathit{\boldsymbol{\hat R}}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}} = \sum\limits_{i = 1}^M {{\gamma _i}} {\mathit{\boldsymbol{b}}_i}\mathit{\boldsymbol{b}}_i^ \triangleleft = {\mathit{\boldsymbol{B}}_{\rm{s}}}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }}_{\rm{s}}}\mathit{\boldsymbol{B}}_{\rm{s}}^ \triangleleft + {\mathit{\boldsymbol{B}}_{\rm{n}}}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }}_{\rm{n}}}\mathit{\boldsymbol{B}}_{\rm{n}}^ \triangleleft . $

(7)

式中：γ_i, i=1, 2, …, M是按降序排列的$ \hat{\boldsymbol{R}}_{\rm{j}+\rm{n}}$的特征值(i.e.γ₁≥γ₂≥…≥γ_M)，b_i是与γ_i相关的特征向量，B_s=[b₁, b₂, …, b_P]为P个大特征值对应的特征矢量张成的干扰信号子空间，B_n=[b_P+1, b_P+2, …, b_M]的列向量张成噪声子空间，Ω_s=diag{γ₁, …, γ_p}和Ω_n=diag{γ_P+1, …, γ_M}都是对角矩阵.

第l个干扰信号的导向矢量位于B_s各列矢量b_i张成的干扰子空间，即可用B_s各列线性表示

$ {\mathit{\boldsymbol{A}}_{\rm{B}}} \buildrel \Delta \over = \left\{ {{{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}_l}\left| {{{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}_l}} \right. = {\mathit{\boldsymbol{B}}_{\rm s}}{\mathit{\boldsymbol{\alpha }}_{\rm{B}}}, \forall {\mathit{\boldsymbol{\alpha }}_{\rm{B}}} \in {R^{P \times 1}}} \right\}. $

式中：∀ α_B∈R^P×1为系数向量，R为实数集.

然后对采样协方差矩阵$\hat{\boldsymbol{R}}$特征分解

$ \mathit{\boldsymbol{\hat R = }}\sum\limits_{i = 1}^M {{\lambda _i}} {\mathit{\boldsymbol{e}}_i}\mathit{\boldsymbol{e}}_i^ \triangleleft \mathit{\boldsymbol{ = }}{\mathit{\boldsymbol{E}}_{\rm{s}}}{\mathit{\boldsymbol{A}}_{\rm{s}}}\mathit{\boldsymbol{E}}_{\rm{s}}^ \triangleleft + {\mathit{\boldsymbol{E}}_{\rm{n}}}{\mathit{\boldsymbol{A}}_{\rm{n}}}\mathit{\boldsymbol{E}}_{\rm{n}}^ \triangleleft . $

(8)

式中：λ_i, i=1, 2, …, M是按降序排列的$\hat{\boldsymbol{R}}$的特征值(i.e.λ₁≥λ₂≥…≥λ_M)，e_i是与λ_i相关的特征向量，E_s=[e₀, e₁, …, e_L]为L+1个大特征值对应的特征矢量张成的信号子空间，E_n=[e_L+1, e_L+2, …, e_M]的列向量张成噪声子空间，Λ_s=diag{λ₀, …, λ_L}和Λ_n=diag{λ_L+1, …, λ_M}都是对角矩阵.

第l个干扰信号的导向矢量也可以用E_s线性表示

$ {\mathit{\boldsymbol{A}}_{\rm{E}}} \buildrel \Delta \over = \left\{ {{{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}_l}\left| {{{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}_l}} \right. = {\mathit{\boldsymbol{E}}_s}{\mathit{\boldsymbol{\alpha }}_{\rm{E}}}, \forall {\mathit{\boldsymbol{\alpha }}_{\rm{E}}} \in {R^{\left( {L + 1} \right) \times 1}}} \right\}, $

式中∀α_E∈R^(L+1)×1为系数向量.

通过以上分析，第l个干扰信号的导向矢量估计$ \hat{\boldsymbol{a}}_{l}$位于A_B和A_E这两个集合的交集A≜A_B∩A_E中，可以利用交叉投影算法求解两个集合的交集.

首先构造一个初始向量为$\tilde{\boldsymbol{a}}_{l}=\boldsymbol{a}\left(\tilde{\boldsymbol{\theta}}_{l}\right) $的迭代公式

$ {\mathit{\boldsymbol{a}}_{L + 1}} = {\mathit{\boldsymbol{P}}_{\rm{B}}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{\rm{E}}}{\mathit{\boldsymbol{a}}_L}. $

当L趋近于∞时，a_L收敛于真实的导向矢量，即：a_∞=P_BP_Ea_∞.根据文献[20]，a_∞的求解问题可以等价为对矩阵P_BP_E中特征值为1的特征向量的求解问题，有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm eig}{_{\max }}\left( {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{\rm{B}}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{\rm{E}}}} \right) \le {\rm eig}{_{{\rm{max}}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{\rm{B}}}} \right)\mathop {\max }\limits_{{\mathit{\boldsymbol{u}}^ \triangleleft }\mathit{\boldsymbol{u}} = 1} {\mathit{\boldsymbol{P}}_{\rm{E}}}\mathit{\boldsymbol{u}} = }\\ {\mathop {\max }\limits_{{\mathit{\boldsymbol{u}}^ \triangleleft }\mathit{\boldsymbol{u}} = 1} \mathit{\boldsymbol{u}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{\rm{E}}}\mathit{\boldsymbol{u}} = {\rm eig}{_{{\rm{max}}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{\rm{E}}}} \right) = 1.} \end{array} $

式中eig_max()代表矩阵的最大特征值.矩阵P_BP_E的最大特征值为1.

得到

$ {{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}_l} = \sqrt M \gamma \left( {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{\rm{B}}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{\rm{E}}}} \right). $

(9)

式中：P_B=B_sB_s^⊲，P_E=E_sE_s^⊲，γ(P_BP_E)表示矩阵P_BP_E的最大特征值对应的特征向量.

最后，利用Capon谱估计器得到第l个干扰信号的功率

$ \mathit{\boldsymbol{\hat \sigma }}_l^2 = \frac{1}{{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}_l^ \triangleleft {{\mathit{\boldsymbol{\hat R}}}^{ - 1}}{{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}_l}}}. $

(10)

式(2)中，噪声功率σ_n²未知，其可以用$\hat{\boldsymbol{R}} $小特征值和的均值$ \hat{\boldsymbol{\sigma}}_{\mathrm{n}}^{2}=\frac{1}{M-L-1} \sum\limits_{i=L+1}^{M} \lambda_{i}$进行估计，则重构的IPNCM为

$ {{\mathit{\boldsymbol{\tilde R}}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}} = \sum\limits_{l = 1}^L {\hat \sigma _l^2} {{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}_l}\mathit{\boldsymbol{\hat a}}_l^ \triangleleft + \mathit{\boldsymbol{\hat \sigma }}_{\rm{n}}^2{\mathit{\boldsymbol{I}}_M}. $

(11)

将$\tilde{\boldsymbol{R}}_{\rm{j}+\rm{n}} $代入式(5)，得到四元数域矩阵重构的权矢量

$ {\mathit{\boldsymbol{w}}_{{\rm{Q}} - {\rm{Re}c}}} = \frac{{\mathit{\boldsymbol{\tilde R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}^{ - 1}{{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}_0}}}{{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}_0^ \triangleleft \mathit{\boldsymbol{\tilde R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}^{ - 1}{{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}_0}}}. $

(12)

2.2 四元数信号子空间投影

当导向矢量失配时，$ \hat{\boldsymbol{a}}_{0}$一般与a₀不相等.根据信号子空间与噪声子空间的正交性，以及期望信号导向矢量与信号子空间属于同一子空间的特性，利用特征空间方法将w_Q－Rec投影到四元数域信号子空间

$ {\mathit{\boldsymbol{w}}_{{\rm{Proposed}}}} = {\mathit{\boldsymbol{P}}_{\rm{E}}}{\mathit{\boldsymbol{w}}_{{\rm{Q}} - {\rm{Re}c}}} = {\mathit{\boldsymbol{E}}_{\rm{s}}}\mathit{\boldsymbol{E}}_{\rm{s}}^ \triangleleft {\mathit{\boldsymbol{w}}_{{\rm{Q}} - {\mathop{\rm Re}\nolimits} c}}. $

式中P_E为投影矩阵，该投影运算使得权矢量的范数减小，同时满足$\boldsymbol{w}_{\text {Proposed }}^{⊲} \hat{\boldsymbol{a}}_{0}=\boldsymbol{w}_{\mathrm{Q}-\mathrm{Re}c}^{⊲} \hat{\boldsymbol{a}}_{0} $，投影运算对期望信号和干扰信号的响应不变，使得输出噪声功率减小.推导如下

易知，E_sE_s^⊲+E_nE_n^⊲=I_M，将w_Q－Rec分解为两个正交的分量

$ {\mathit{\boldsymbol{w}}_{{\rm{Q}} - {\mathop{\rm Re}\nolimits} c}} = {\mathit{\boldsymbol{E}}_{\rm{s}}}\mathit{\boldsymbol{E}}_{\rm{s}}^ \triangleleft {\mathit{\boldsymbol{w}}_{{\rm{Q}} - {\mathop{\rm Re}\nolimits} c}} + {\mathit{\boldsymbol{E}}_{\rm{n}}}\mathit{\boldsymbol{E}}_{\rm{n}}^ \triangleleft {\mathit{\boldsymbol{w}}_{{\rm{Q}} - {\mathop{\rm Re}\nolimits} c}}. $

$ \hat{\boldsymbol{a}}_{0}$包含在信号子空间E_s中，与噪声子空间E_n正交，可将四元数域矩阵重构的权矢量向信号子空间投影，对期望信号导向矢量失配误差进行修正

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{w}}_{{\rm{Proposed}}}^ \triangleleft {{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}_0} = {{\left( {{\mathit{\boldsymbol{E}}_{\rm{s}}}\mathit{\boldsymbol{E}}_{\rm{s}}^ \triangleleft {\mathit{\boldsymbol{w}}_{{\rm{Q}} - {\mathop{\rm Re}\nolimits} c}} + {\mathit{\boldsymbol{E}}_{\rm{n}}}\mathit{\boldsymbol{E}}_{\rm{n}}^ \triangleleft {\mathit{\boldsymbol{w}}_{{\rm{Q}} - {\mathop{\rm Re}\nolimits} c}}} \right)}^ \triangleleft }{{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}_0} = }\\ {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{E}}_{\rm{s}}}\mathit{\boldsymbol{E}}_{\rm{s}}^ \triangleleft {\mathit{\boldsymbol{w}}_{{\rm{Q}} - {\mathop{\rm Re}\nolimits} c}}} \right)}^ \triangleleft }{{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}_0}, } \end{array} $

得到最优权矢量

$ {\mathit{\boldsymbol{w}}_{{\rm{Proposed}}}} = {\mathit{\boldsymbol{E}}_{\rm{s}}}\mathit{\boldsymbol{E}}_{\rm{s}}^ \triangleleft {\mathit{\boldsymbol{w}}_{{\rm{Q}} - {\mathop{\rm Re}\nolimits} c}}. $

(13)

综上，本文提出的基于四元数矩阵重构的鲁棒波束形成算法，具体步骤如下

步骤1：利用式(8)对$ \hat{\boldsymbol{R}}$进行四元数特征值分解，得到信号子空间E_s和噪声子空间E_n；

步骤2：利用式(6)重构$ \hat{\boldsymbol{R}}_{\rm{j}+\rm{n}}$，并由式(7)特征值分解得到干扰信号子空间B_s；

步骤3：根据干扰信号个数，利用式(9)和(10)得到干扰信号的导向矢量和功率的估计值；

步骤4：利用式(11)和(12)得到重构的$ \hat{\boldsymbol{R}}_{\rm{j}+\rm{n}}$与权矢量w_Q－Rec；

步骤5：利用式(13)将w_Q－Rec向四元数信号子空间E_sE_s^⊲投影，得到最优权值w_Proposed.

3 算法性能分析

定义四元数波束形成器信干噪比损失^[20]为

$ L = \frac{{{S_{{\rm{out}}}}}}{{{S_{{\rm{CBF}}}}}} = \frac{{\sigma _{\rm{n}}^2{{\left| {{\mathit{\boldsymbol{w}}^ \triangleleft }{\mathit{\boldsymbol{a}}_0}} \right|}^2}}}{{M{\mathit{\boldsymbol{w}}^ \triangleleft }{\mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}}\mathit{\boldsymbol{w}}}}. $

(14)

式中：阵列输出S_out=σ₀²|w^⊲a₀|²/w^⊲R_j+nw，S_CBF=Mσ₀²/σ_n².S_out与期望信号的强度有关，而信干噪比损失L不再依赖于期望信号的强度.

将式(4)代入式(14)得到最优波束形成器的信干噪比损失为

$ {L_{{\rm{opt}}}} = \frac{{\sigma _{\rm{n}}^2}}{M}\mathit{\boldsymbol{a}}_0^ \triangleleft \mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{a}}_0}. $

最优波束形成器的输出SINR可以表示为

$ {S_{{\rm{opt}}}} = \sigma _0^2\mathit{\boldsymbol{a}}_0^ \triangleleft \mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{a}}_0} = {L_{{\rm{opt}}}}{S_{{\rm{CBF}}}}. $

(15)

在强期望信号和导向矢量失配情况下，算法性能严重下降的原因有以下两种情况：

1) 训练数据中不含期望信号时导向矢量失配的权矢量为

$ {\mathit{\boldsymbol{w}}_{{\rm{{\rm mis}}}}} = \frac{{\mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}^{ - 1}{{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}_0}}}{{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}_0^ \triangleleft \mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}^{ - 1}{{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}_0}}}, $

(16)

将式(16)代入S_out，得到

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{S_{{\rm{{\rm mis}}}}} = \frac{{\sigma _0^2{{\left| {\mathit{\boldsymbol{w}}_{{\rm mis}}^ \triangleleft {\mathit{\boldsymbol{a}}_0}} \right|}^2}}}{{\mathit{\boldsymbol{w}}_{{\rm mis}}^ \triangleleft {\mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}}{\mathit{\boldsymbol{w}}_{{\rm mis}}}}} = }\\ {\sigma _0^2\mathit{\boldsymbol{a}}_0^ \triangleleft \mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{a}}_0}\frac{{{{\left| {{{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}^ \triangleleft }\mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{a}}_0}} \right|}^2}}}{{\left( {\mathit{\boldsymbol{\hat a}}_0^ \triangleleft \mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}^{ - 1}{{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}_0}} \right)\left( {{\mathit{\boldsymbol{a}}^ \triangleleft }\mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{a}}_0}} \right)}}, } \end{array} $

(17)

定义$ \cos ^{2}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{Z})\stackrel{\text { def }}{=} \left|\boldsymbol{a}^{\triangleleft} \boldsymbol{Z} \boldsymbol{b}\right|^{2} /\left(\boldsymbol{a}^{\triangleleft} \boldsymbol{Z} \boldsymbol{a}\right)\left(\boldsymbol{b}^{\triangleleft} \boldsymbol{Z} \boldsymbol{b}\right)$，因此，式(17)可以表示为

$ {S_{{\rm{{\rm mis}}}}} = {S_{{\rm{opt}}}}{\cos ^2}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}_0}, {\mathit{\boldsymbol{a}}_0}, \mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}^{ - 1}} \right), $

则信干噪比损失为

$ {L_{{\rm{{\rm mis}}}}} = {\cos ^2}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}_0}, {\mathit{\boldsymbol{a}}_0}, \mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}^{ - 1}} \right), $

结合式(15)得

$ {S_{{\rm{{\rm mis}}}}} = {S_{{\rm{CBF}}}}{L_{{\rm{opt}}}}{L_{{\rm{{\rm mis}}}}}. $

可见，此时由导向矢量失配引起的信干噪比损失与期望信号强度无关，当失配角较小时，L_mis接近为1.

2) 训练数据中含有期望信号时导向矢量失配，信干噪比损失为

$ {L_{{\rm{sp}}}} = \frac{1}{{1 + \left( {2{S_{{\rm{opt}}}} + S_{{\rm{opt}}}^2} \right){{\sin }^2}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}_0}, {\mathit{\boldsymbol{a}}_0}, \mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}^{ - 1}} \right)}}, $

(18)

并且有

$ {S_{{\rm{{\rm mis}}} + {\rm{sp}}}} = {S_{{\rm{{\rm mis}}}}}{L_{{\rm{sp}}}} = {S_{{\rm{CBF}}}}{L_{{\rm{opt}}}}{L_{{\rm{{\rm mis}}}}}{L_{{\rm{sp}}}}. $

由式(18)可知，此时的信干噪比损失与期望信号强度有关，期望信号越强，信干噪比损失越大，甚至会出现强期望信号时的输出SINR比弱期望信号时还要低的现象，这就是强期望信号引起性能下降的原因所在.此外，导向矢量失配对算法性能的影响比不含期望信号时大^[21].

本文算法首先严格按照IPNCM的定义式，并利用子空间方法去除了期望信号成分，重构出高精度的 $ \hat{\boldsymbol{R}}_{\rm{j}+\rm{n}}$；然后将权矢量向信号子空间投影，对期望信号导向矢量失配进行了修正.假设修正后的导向矢量为$\hat{\boldsymbol{a}}_{0} $，本文算法的输出SINR为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{S_{{\rm{Proposed}}}} = \frac{{\sigma _0^2{{\left| {\mathit{\boldsymbol{w}}_{{\rm{Proposed}}}^ \triangleleft {\mathit{\boldsymbol{a}}_0}} \right|}^2}}}{{\mathit{\boldsymbol{w}}_{{\rm{Proposed}}}^ \triangleleft {\mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}}{\mathit{\boldsymbol{w}}_{{\rm{Proposed}}}}}} = }\\ {\frac{{\sigma _0^2{{\left| {\mathit{\boldsymbol{\tilde a}}_0^ \triangleleft \mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{a}}_0}} \right|}^2}}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde a}}_0^ \triangleleft \mathit{\boldsymbol{\tilde R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}}\mathit{\boldsymbol{\tilde R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}^{ - 1}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde a}}}_0}}} \approx \frac{{\sigma _0^2{{\left| {\mathit{\boldsymbol{\tilde a}}_0^ \triangleleft \mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{a}}_0}} \right|}^2}}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde a}}_0^ \triangleleft \mathit{\boldsymbol{\tilde R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}^{ - 1}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde a}}}_0}}}, } \end{array} $

化简得$S_{\text {Proposed }} \approx S_{\mathrm{opt}} \cos ^{2}\left(\tilde{\boldsymbol{a}}_{0}, \boldsymbol{a}_{0}, \boldsymbol{R}_{\mathrm{j}+\mathrm{n}}^{-1}\right) $，本文算法的信干噪比损失为

$ {L_{{\rm{Proposed}}}} = {\cos ^2}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde a}}}_0}, {\mathit{\boldsymbol{a}}_0}, \mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{j}} + {\rm{n}}}^{ - 1}} \right), $

修正后的导向矢量$\hat{\boldsymbol{a}}_{0} $满足：$ \tilde{\boldsymbol{a}}_{0} \approx \boldsymbol{a}_{0}$，即L_Proposed≈1，则

$ {S_{{\rm{Proposed}}}} \approx {S_{{\rm{opt}}}}{L_{{\rm{Proposed}}}} \approx {S_{{\rm{opt}}}}. $

因此，本文算法的输出SINR接近于最优值.

4 仿真分析

仿真条件：由8个偶极子构成的均匀线阵，阵元数M=8，阵元间距d=λ/2，采样快拍数K=200，期望信号参数为(θ₀, γ₀)=(0°, 10°)，导向矢量失配误差为2°，S=10 dB，干扰信号参数为(θ₁, γ₁)=(50°, 20°)，I=30 dB.

在以上仿真条件下，将本文算法(Proposed)与四元数域PCMR-Q-MVDR算法^[17]、CCMR-Q-MVDR算法^[15]、对角加载(DL-Q-MVDR)算法^[11]、Q-MVDR算法^[5]和最优(Optimal)算法进行对比分析，考察算法方向图、输出信干噪比等方面的性能.

4.1 强期望信号时不同算法方向图比较

本实验考察强期望信号情况下，不同算法的方向图对比，仿真结果如图 2所示.

由图 2可知，DL-Q-MVDR和Q-MVDR算法出现期望信号相消的现象，即：期望信号方向产生了零陷；CCMR-Q-MVDR算法在期望信号方向出现较小的估计偏差；本文算法和PCMR-Q-MVDR算法都精确对准期望信号并具有较低的旁瓣.

为便于比较不同算法产生的零陷深度，将图 2中干扰附近区域放大如图 3所示.由图 3可知，本文算法由于严格依据定义式重构得到$ \hat{\boldsymbol{R}}_{\rm{j}+\rm{n}}$，产生的零陷深度最接近于最优值，达到了82 dB，其他4种算法的干扰零陷深度集中在70 dB左右，因此，本文算法对干扰的抑制能力优于其他算法.

4.2 输出信干噪比随输入信噪比的变化

本实验在导向矢量失配条件下，考察不同算法输出SINR随输入SNR的变化情况.仿真条件改变S=－10 dB~20 dB，进行500次蒙特卡洛独立实验，仿真结果如图 4所示.

由图 4可知，Q-MVDR算法在SNR很小时，性能已经出现下降；DL-Q-MVDR算法虽然一定程度上改善了算法的性能，但是当SNR>0 dB时，算法性能也明显下降；本文算法、PCMR-Q-MVDR和CCMR-Q-MVDR算法由于重构出IPNCM，输出SINR随着输入SNR线性增加.本文算法相比其他两种重构类算法，具有更高的输出SINR，并接近于最优值.

4.3 输出信干噪比与失配角度的关系

本实验在强期望信号条件下，对不同算法输出SINR与失配角度的关系进行仿真.仿真条件改变失配角度为－10°~10°，进行500次蒙特卡洛独立实验，仿真结果如图 5所示.

由图 5可知，Q-MVDR算法即使很小的失配角度，就会引起性能严重恶化；DL-Q-MVDR算法一定程度上提高了对失配角度的敏感性，但当失配角度大于2°时，算法性能严重下降；CCMR-Q-MVDR算法进一步提高了对失配角度的敏感性，但当失配角度大于5°时，性能也出现明显下降；本文算法和PCMR-Q-MVDR算法都对失配角度不敏感，但本文算法具有更高的输出SINR，当失配角度较大时，依旧较接近于最优值.

以上仿真实验表明，本文提出的基于四元数矩阵重构的鲁棒波束形成算法，在强期望信号和导向矢量失配时的输出SINR均能收敛于最优值.这说明通过重构$ \hat{\boldsymbol{R}}_{\rm{j}+\rm{n}}$消除期望信号成分，有效避免了期望信号相消引起的性能下降，增强了算法的鲁棒性；此外，通过四元数特征空间投影对期望信号导向矢量失配误差进行修正，保证了在期望信号方向上波束增益无损失，进一步提高了算法的鲁棒性.

5 结论

针对在强期望信号和导向矢量失配的情况下，Q-MVDR算法性能下降的问题，提出了一种基于四元数矩阵重构的鲁棒波束形成算法.该算法首先利用四元数矩阵重构方法得到IPNCM的精确估计；然后利用四元数特征空间投影对导向矢量失配误差进行修正.仿真结果表明，本文算法在强期望信号和导向矢量失配同时存在时，能够保证期望信号方向波束增益无损失的同时，实现对干扰的有效抑制；算法始终具有较高的输出SINR，有效地提高了算法的鲁棒性.