2. 燕山大学 电气工程学院,河北 秦皇岛 066004;
3. 河北省重型机械流体动力传输与控制重点实验室(燕山大学),河北 秦皇岛 066004;
4. 神华天津煤炭码头有限责任公司,天津 300457
2. College of electric engineering(Yanshan University), Qinhuangdao 066004, Hebei, China;
3. Hebei Key Laboratory of Heavy Machinery Fluid Power Transmission and Control(Yanshan University), Qinhuangdao 066004, Hebei, China;
4. Shenhua Tianjin Coal Terminal Co., Ltd, Tianjin 300457, China
港口在全球经济贸易中发挥着重大作用,是海上运输的枢纽.当一个港口在进行船舶货物的装卸与运输时,泊位直接面向船舶作业,其数量是有限的,因此如何合理安排泊位,提高港口装卸效率,进一步降低成本成为当前的研究热点. Etsuko等[1]指出,传统的泊位分配方法已阻碍大多数港口的发展,提出了以船舶停泊时间最少为目标函数的非线性整数规划模型,并将遗传算法(Genetic Algorithm,GA)引入泊位调度优化中,通过大量的实验证明了GA算法的可行性. GA算法是一种较早的群集智能算法[2],以其高效性和稳定性的优势得到广泛的应用,同时也存在过早收敛以致求解精度低的不足.
为提高算法的寻优精度和优化效率,近年来研究人员提出多种群集智能算法.黎成[3]在2010年通过模拟蝙蝠的捕食行为特征提出了蝙蝠算法(Bat-inspired Algorithm,BA). 2011年,刘长平等[4]通过模拟萤火虫发光特性提出萤火虫算法(Firefly Algorithm,FA);Pan等[5]通过模拟果蝇觅食行为提出果蝇算法(Fruit Fly Optimization Algorithm,FOA). 2012年Gandomi等[6]受磷虾个体的群体特征启发,提出磷虾群算法(Krill Herd Algorithm,KH). 2014年Mirjalili等[7]通过模拟灰狼捕食猎物的行为机制提出灰狼优化算法(Gray Wolf Optimizer,GWO);Cuevas等[8]通过模拟社会蜘蛛协作行为,提出蜘蛛群算法(Social Spider Optimization,SSO-C). 2015年Meng等[9]通过模拟鸟群的群体行为,提出鸟群算法(Bird Swarm Algorithm, BSA). 2016年WU等[10]通过模拟海豚的群体捕食行为提出海豚群算法(Dolphin Swarm Algorithm,DSA). 2017年Mirjalili等[11]提出樽海鞘群算法(Salp Swarm algorithm, SSA). 2018年刘生建等[12]模仿狮群捕食行为提出狮群算法(Lion Swarm Optimization, LSO).这些算法已被广泛应用到各个领域[13-14].
GWO算法自出现起,就以其原理简单、易于实现、可调参数少等优点受到研究者们的广泛关注,在函数优化方面具有很好的稳定性和寻优精度.文献[15]指出,在面对复杂的优化问题时,GWO算法与大多智能算法相似,也存在易早熟、收敛精度低等缺陷.为进一步提升GWO算法的收敛速度和寻优精度,增强算法的可靠性,更好地解决港口泊位动态调度问题,本文提出一种改进灰狼算法(Improved Gray Wolf Optimizer,IGWO).在生成初始种群时引入Sin混沌初始化[16],增强初始种群的均匀性;引入头狼引领策略,加快算法收敛,提高算法效率;引入合作竞争机制,提高个体间有效信息的利用率;在灰狼种群位置更新时引入自适应权值,以满足不同时期的寻优要求.为验证IGWO算法的有效性,将IGWO算法与SSA算法、DSA算法、SSO-C算法、DSA算法、LSO算法及标准GWO算法进行对比实验,并将IGWO应用于港口泊位调度中,以证明该算法在港口泊位调度优化中的实用性和有效性.
1 GWO算法GWO算法的主要思想如下:从待寻优空间的任意位置开始,将具有最优适应度值的个体设置为头狼α,适应度值排第2和第3的个体设置为下属狼β和普通狼δ,其余为底层狼ω.在捕食过程中,首先由α、β和δ判断猎物所在位置并进行追捕;当发现猎物所在位置时,α、β和δ带领ω对猎物进行围剿,通过不断迭代搜索得到最优值.
在捕食的过程中,α、β和δ据猎物最近,首先要确定灰狼个体与α、β和δ之间的距离:
$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{D_\alpha } = \left| {C \cdot x_\alpha ^k - x_i^k} \right|, }\\ {{D_\beta } = \left| {C \cdot x_\beta ^k - x_i^k} \right|, }\\ {{D_\delta } = \left| {C \cdot x_\delta ^k - x_i^k} \right|.} \end{array}} \right. $ | (1) |
式中:Dα、Dβ和Dδ分别为第k代时第i个个体与α、β、δ的距离;xαk、xβk和xδk分别为第k代时α、β、δ所在位置;C=2·rand,rand为[0, 1]区间的随机数.
随后,狼群其他个体利用α、β和δ之间的位置判断猎物位置,对猎物进行围剿,该过程可描述为
$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{X_1} = x_\alpha ^k - A \cdot D_\alpha ^k, }\\ {{X_2} = x_\beta ^k - A \cdot D_\beta ^k, }\\ {{X_3} = x_\delta ^k - A \cdot D_\delta ^k;} \end{array}} \right. $ | (2) |
式中:xik+1为第i个个体更新后的位置;A=2·rand-1·a,a=2-2·k/T,k为当前迭代次数,T为最大迭代次数.
2 改进GWO算法 2.1 Sin混沌初始化初始种群位置对算法的收敛速度和求解精度有很大的影响,甚至会导致寻优的失败.在初始化的过程中,搜索空间的随机分布会使种群个体分布不均,多样性较差.混沌映射是由确定性方程得到的具有随机性的运动状态,具有随机性、遍历性的特点.Logistic映射和Sin映射是混沌学中常用的两种映射,其映射表达式分别为
$ {x_{n + 1}} = \mu {x_n}\left( {1 - {x_n}} \right), {x_n} \in (0, 1), $ | (3) |
$ {x_{n + 1}} = \sin \left( {2/{x_n}} \right), {x_n} \in ( - 1, 1) \cap {x_n} \ne 0. $ | (4) |
式(3)中,μ的取值范围是(0, 4),在>3.6时产生混沌现象,产生的xn+1的范围为(0, 1).为比较上述两种混沌映射的混沌特性,利用式(3)和式(4)分别产生区间(-1, 1)上的2维混沌解,如图 1所示.
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图 1 两种混沌映射解的对比 Fig. 1 Comparison of two chaotic mapping solutions |
由图 1可知,Logistic映射产生的混沌解遍历性较差,在空间中分布不均;与Logistic映射相比,Sin映射的混沌解在空间中分布均匀,具有更明显的混沌特性.为使初始种群具有更好的遍历性和均匀性,引入Sin混沌映射进行初始化,以加快算法的收敛.
2.2 头狼引领由α、β、δ确定猎物所在位置后,底层狼ω随即对猎物进行围捕.此时,狼群中头狼距猎物的距离最近,底层狼距头狼位置较远,包围过程中狼群围捕速度较慢.若能缩短猎物与整个种群之间的相对距离,则能够加大猎捕的成功几率,提高算法的寻优速度,故引入头狼引领策略.种群中每一只狼在围捕猎物前均按式(5)小步跟随头狼α进行移动,以缩短每只狼与猎物之间的距离.
$ x_i^{\prime k} = {x_i} + {\rm{ rand }} \times \left( {x_\alpha ^k - x_i^k} \right). $ | (5) |
式中:xαk为第k代时头狼所在位置,x'ik为执行头狼引领后第i个个体所在位置.
2.3 合作竞争机制GWO算法中,种群个体遵从α、β、δ的指挥进行捕猎,而个体之间是相互独立的,缺乏有效的信息交流,对有效信息利用率低,导致算法收敛速度慢、寻优精度不高,故引入合作竞争机制.在对猎物进行围捕前,除α、β、δ的每只狼xik会随机选择另一只狼xjk进行交流,如果xik所在位置优于xjk,则xjk向xik靠近,xjk按式(6)进行移动,xik远离xjk,xik按式(7)进行移动;否则执行相反操作.若移动后该个体的适应度值没有变小,则取消更新.
$ {x'}_j^k = x_j^k + {\rm{rand}}\left( {0,1} \right) \times (x_i^k - x_j^k), $ | (6) |
$ {x'}_i^k = x_i^k + {\rm{rand}}\left( {0,1} \right) \times \left( {x_i^k - x_j^k} \right). $ | (7) |
式中,x′ik和x′jk分别为合作竞争后第i个个体和第j个个体所在位置.
2.4 自适应惯性权值为满足GWO算法在不同迭代周期的寻优要求,提高收敛速度和寻优精度,引入自适应惯性权值w,且
$ w = 1 - \frac{{{t^2}}}{{{T^2}}}. $ |
随着迭代次数的增大,w从1逐渐减小到0.
改进后位置更新如式(8)所示:
$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{X_1} = w \cdot x_\alpha ^k - A \cdot D_\alpha ^k, }\\ {{X_2} = w \cdot x_\beta ^k - A \cdot D_\beta ^k, }\\ {{X_3} = w \cdot x_\delta ^k - A \cdot D_\delta ^k.} \end{array}} \right. $ | (8) |
步骤1. 设置算法参数.初始设置的参数主要有:种群数M,最大迭代次数T,维度D,求解空间的上限ub和下限lb.
步骤2. 进行混沌初始化,按式(4)生成初始种群.
步骤3. 计算种群中每个个体的适应度值,并选取适应值最小的3个个体的位置分别作为α、β和δ.
步骤4. 按式(5)执行头狼引领策略.
步骤5. 除α、β、δ的灰狼个体按式(6)、式(7)执行合作竞争机制.
步骤6. 根据式(1)计算其他灰狼与α、β、δ的距离.根据式(8)和式(2)更新其他灰狼的位置.
步骤7. 若达到最大迭代次数,转至步骤9;否则转至步骤8.
步骤8. 每隔一定迭代次数,重新排序,确定灰狼的位置,转至步骤3.
步骤9. 输出当前最优解,算法结束.
3 IGWO算法的收敛性分析为证明IGWO算法的有效性,采用Markov链对该算法的收敛性进行分析[18].设搜索空间为H,头狼引领、狼群互动和围攻等行为均会引起状态空间中的状态转移,设3个行为过程的转移矩阵分别为S、M和W,则定义IGWO的Markov链转移矩阵为
$ \mathit{\boldsymbol{P}} = \mathit{\boldsymbol{S}} \times \mathit{\boldsymbol{M}} \times \mathit{\boldsymbol{W}} $ |
定义1 设Pij为Markov链的转移概率矩阵,若∀i, j∈H,存在k≥1,使Pijk>0,则称此Markov链是不可约的.
定义2 设非空集合U={k|k≥1, Pijk>0, ∀i, j∈H}, 且U的最大公约数为1,则称此Markov链为非周期的.
定义3 设
首先, 证明IGWO的优化解序列是一个有限齐次Markov链.设Qk={x1, x2, …, xN}为IGWO的第k代种群,N为灰狼种群大小,xi为第i只灰狼的状态.因为灰狼种群Qk是有限的,所以该算法的解序列是有限Markov链.其次,由于IGWO算法中头狼引领、狼群互动和围攻行为都是在独立随机过程中进行的,每次个体更新具有优胜选择的继承性,第k+1代种群的产生只与第k代群体有关,与各代群体之间的转移概率无关.经过种群的位置更新,可以得到一组优化解序列.因此,经过IGWO一系列独立随机的变换处理得到的优化解序列是一个有限齐次Markov链.
还需证明IGWO算法种群序列的Markov链是遍历链.
由于群体转移概率矩阵Pij=P{Qk+1=j|Qk=i, k≥1}只与状态i和j有关,且Qk>0,则群体转移概率矩阵P为正定矩阵.由定义1可得,IGWO算法的种群序列为不可约的Markov链.
对于给定的k>0,由IGWO是不可约的Markov链可知,
Pij为状态i经历各行为达到状态j的转移概率,由于转移矩阵S、M和W都处于(0, 1)之间,则0 < Pij < 1,令ε=max{Pij},则由Canchy-Riemann方程和定义3可知
$ {\mathit{\boldsymbol{u}}_i} = \sum\limits_k^\infty k \mathit{\boldsymbol{P}}_{ij}^k \le \sum\limits_k^\infty k {\varepsilon ^k} < \infty . $ |
综上所述,IGWO算法的Markov链是遍历链.
文献[17]已经证明,若一个进化算法满足以下条件:1)对可行解空间中任意2点x1和x2,x2是x1由算法中各种算子可达的;2)若种群序列Q1, Q2, …, QT是单调的,则此进化算法以概率1收敛于问题的全局最优解.由于IGWO算法种群序列的Markov链是遍历链,条件1)显然是成立的.由于IGWO算法中头狼引领、狼群互动和围捕行为的位置状态更新都体现出优秀解的保持策略,所以IGWO优化解序列是一个有限齐次Markov链,并且每次种群个体位置只有遇到更优解时才会更新.因此,IGWO算法产生的子代Qk+1中的任意解都非劣于Qk,由此可得种群序列Q1, Q2, …, QT是单调的.综上所述,IGWO算法以概率1收敛于问题的全局最优解.
4 仿真测试为检验IGWO算法的寻优能力,将本算法与SSA、BSA、SSO-C、LSO、DSA和标准GWO算法在同样的环境下进行仿真比较.所使用电脑的详细设置:CPU为Intel(R)Pentium(R)CPUG2020;频率为2.90 GHz;内存为4.00 GB.操作系统windows7,仿真软件为MATLAB2015b.
4.1 标准测试函数实验选取5个标准测试函数进行测试,如表 1所示.
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表 1 标准测试函数 Tab. 1 Standard test function |
BSA算法中, c1=c2=1.5,a1=a2=1,FQ=10;SSO-C算法中,PF=0.65;LSO算法中成年狮的占比β=2%;DSA算法中,T1=3,T2=1 000,速度为1,A=5, M=3, e=4.为保证测试的公平性,6种算法的种群数量均为100,最大迭代次数M=200,为避免单次运行的随机性带来的影响,各算法独立运行20次,取平均值和标准差. 5个测试函数分别在D=2、D=30和D=100这三种维度下进行仿真.
4.3 实验分析为验证IGWO算法的有效性,对各算法的寻优精度和收敛速度进行比较分析. 表 2为7种算法对5个标准测试函数的寻优结果.
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表 2 7种算法的对比测试结果 Tab. 2 Test results of seven algorithms |
由表 2可知,在求解单峰f1、f2函数时,7种算法在D=2时均能找到精度较高的解,IGWO算法和LSO算法直接找到了最优解,DSA算法求解值精度相对较低;当维度增大到30或100时,IGWO算法和BSA算法依然能找到最优解,GWO算法和LSO算法随着求解维度的增大求解精度有所下降,SSA算法、DSA算法和SSO-C算法所得解误差较大,甚至找不到精度较高的解.对于多峰f3、f4和f5函数,IGWO算法在几个函数上均得到了最优值,表明了该算法在低维和高维求解时都有很好的性能,适合求解多峰函数;GWO算法在D=2时能找到精度较高的解,但当求解维度增大时,求解性能有不同程度的下滑,甚至找不到精度较高的解,表明GWO算法不宜求解高维多峰函数;LSO算法在求解f5函数时,低维和高维情况下均取得了最优值,而在其他多峰函数的测试中表现一般,高维求解时所得结果偏差较大. DSA算法和SSO-C算法表现最差,求解精度相对较低,表明DSA算法、SSO-C算法存在一定缺陷,易陷入局部最优,不宜求解多峰函数.此外,IGWO算法独立运行20次取得解的标准差均为0,表明该算法对不同维度的求解问题均具有很好的抗扰性.
图 2为各算法在5个函数上的部分寻优曲线.由图 2可知,IGWO算法在单峰和多峰函数的寻优中,均具有较快的收敛速度,优于其他6种算法;GWO算法收敛速度较IGWO算法速度较慢,在f1、f2函数的寻优中,与IGWO算法相比收敛速度和收敛精度上都有很大的差距,但优于其他5种算法;BSA算法有较快的收敛速度,但差于GWO和IGWO;SSA算法在迭代前期收敛较慢,迭代后期收敛速度有所提升;LSO算法、DSA算法、SSO-C算法收敛速度较慢,在多峰函数的求解中很明显陷入了局部最优.
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图 2 D=2时7种算法在5个函数上的收敛曲线 Fig. 2 Convergence of seven algorithms on five functions with D=2 |
采用文献[18]中的港口为研究对象,引入如下符号:B为泊位集合;l=1, 2, 3∈B,表示泊位;V为计划期内预计到港船舶集合;m=1, 2, 3, 4…,表示船舶;O为每个泊位上船舶靠泊次序集合;n=1, 2, 3, 4…,表示靠泊次序;Am为船舶到达港口的时刻;Blm为船舶开始靠泊位时的时刻;Clm为船舶在泊位上的待装时间;Wlm为船舶在泊位上的装卸时间.船m的在港时间可以描述为:船舶开始靠泊时刻-到港时刻+泊位待装时间+装船时间.即:Blm-Am+Clm+Wlm,所有泊位上船舶总的在港时间为
$ z = \sum\limits_{l \in B} {\sum\limits_{m \in V} {{B_{lm}}} } - {A_m} + {C_{lm}} + {W_{lm}}. $ |
以船舶总的在港时间作为泊位调度问题的目标函数.为得到优化目标的实际应用形式,令:xlmn={0, 1}, xlmn=1表示船舶m是在泊位l上的第n条被服务的船, xlmn=0, 表示船舶m还在等待空闲泊位. ylmn表示在泊位l上第n条被服务的船到港时刻与同一泊位上第n-1条被服务的船离开时刻,如果ylmn < 0,则让ylmn=0,即如果第n条被服务的船在第n-1条被服务的船离开之前到港,则它在第n-1条被服务的船离开时刻开始被服务.假设在l泊位上有Pl条船被服务,Tl表示优化所选定的一段时间内泊位l变空闲的时刻,ms表示泊位l上第s条靠泊船的船号(s < Pl),Tl+ylm11+Clm1表示泊位l上第一条船m1开始装卸时间,则泊位l上第1条船在港时间为Tl+ylm11+Clm1-Am1+Wlm1;泊位l上第2条船的在港时间为Wlm1+Wlm2+Tl-Am2+ylm11+ylm22+Clm1+Clm2,依次类推,可知泊位l上第Pl条船的在港时间为:
$ \begin{array}{l} {W_{l{m^1}}} + {W_{l{m^2}}} + \cdots + {W_{l{m^P}_l}} + {T_l} - {A_{{m^P}_l}} + {y_{l{m^1}1}} + {y_{l{m^2}2}} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\; \cdots + {y_{l{m^P}_l{P_l}}} + {C_{l{m^1}}} + {C_{l{m^2}}} + \cdots + {C_{l{m^P}_l}}. \end{array} $ |
由所有船舶在港停泊时间相加,即可得到泊位l上所有船舶的在港停泊时间,将所有泊位的时间相加则为所有船舶总在港停泊时间.目标函数是使所有在港船舶的总在港作业时间最短,即
$ \begin{array}{l} \min Z = \sum\limits_{l \in B} {\sum\limits_{m \in V} {\sum\limits_{n \in U} {\left\{ {\left( {{P_l} - n + 1} \right)\left( {{C_{lm}} + {W_{lm}}} \right) + } \right.} } } \\ \left. {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{T_l} - {A_m} + \left( {{P_l} - n + 1} \right){y_{lmn}}} \right\}{x_{lmn}}. \end{array} $ |
约束条件:
1) 每条船必须在某一泊位上被服务一次, 即
$ \sum\limits_{l \in B} {\sum\limits_{m \in V} {{x_{lmn}}} } = 1, \forall m \in V. $ |
2) 每个泊位服务的船舶数应该等于总船舶数:
$ \sum\limits_{l \in B} {{P_l}} = P. $ |
3) 每条船必须在达到之后才能靠泊, 即
$ {T_l} + \sum\limits_{m \in V} {\sum\limits_{n \in U} {\left( {{y_{lmn}} + {W_{lm}}} \right)} } + {y_{lmn}} \ge {A_m}. $ | (9) |
式中,
在文献[19]的基础上,本文考虑7艘船的优化调度问题.已知煤炭码头港口在2018年12月20日共有7艘船(A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7)到港,到港时间分别为:6:00、8:00、12:30、17:30、18:00、19:00、21:00;港口有3个泊位可接待这些船舶:13号泊位12月21日23:00开始处于空闲;14号泊位12月20日20:12开始处于空闲;15号泊位12月21日16:36开始处于空闲.
按经验调度可根据船舶到港时间进行,安排1号、4号、7号船停靠13号泊位,2号、5号船停靠14号泊位,3号、6号船停靠15号泊位.根据式(9)可得3个泊位总停时间为451.6 h.
现采用IGWO算法对该问题求解.将第一条船到港的时间记为0:00时刻,则根据船舶在港口的时刻表可得表 3、4.
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表 3 2018.12.20某煤炭码头船舶到港时间顺序表 Tab. 3 Arrival time sequence of ships in port of a coal dock on December 20, 2018 |
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表 4 2018.12.20某煤炭码头船舶在港服务时间分布表 Tab. 4 Service time of ships in port of a coal dock on December 20, 2018 |
相应的13#、14#、15#泊位从第一条船到港至处于空闲的等待时间为41.0、14.2、34.6 h.采用IGWO算法求解,得到最佳靠泊方案为:(3、5、8、4、2、1、9、6、7),所有船舶在港停留总时间为385.3 h,较原来的451.6 h缩短了66.3 h.可见利用IGWO算法求解能够得出相对较佳的调度方案,可实现泊位停靠最优化.
6 结论本文针对GWO算法存在的缺陷,提出一种改进灰狼算法(IGWO),经测试函数验证后应用到港口泊位调动中.
1) 采用Sin混沌序列进行初始化,并引入头狼引领策略、合作竞争机制和自适应权值,增强了个体间的信息交流,提高了信息利用率,从而加快了算法的收敛速度.
2) IGWO算法在求解低维函数和高维函数时均能得到精度较高的解,且收敛速度明显快于GWO算法、LSO算法、DSA算法、BSA算法、SSO-C算法和SSA算法,说明该算法具有较快的收敛速度和较高的寻优精度.
3) 在港口泊位调度中的应用,取得了满意的应用效果,结果表明,经过IGWO算法优化后,所有船舶停留总时间较优化前缩短了14.7%,大幅度缩短了船舶的在港时间,提高了生产效率,为实现船舶优化调度提供了有效方法.
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