并联入水是指两个或多个运动体沿空间平行线同时或在极短时间间隔内穿越自由水面进入水中的过程.在实际作战中，往往需要在短时间内连续发射多枚鱼雷和射弹，对敌方单位造成有效打击，该过程涉及到了典型的并联入水问题。

国内外对单个运动体入水开展了大量的研究，包括空泡形态特性、受载特性和弹道特性.Logvinovich^[1]基于能量守恒原理得到了空泡独立膨胀原理，为后来的空泡形态发展研究提供了理论基础；May等^[2]开展大量入水实验工作，对钢球入水初期的流动特点与入水载荷系数进行详细研究；Shi等^[3]开展了大量子弹高速垂直入水的试验研究，得到了入水喷溅、回射流等非定常流动特性，同时发现子弹入水后的弹道偏移与入水深度有关；Aristoff等^[4]进行了系列疏水球入水试验，得到了不同入水速度下的空腔形态，并基于空泡压力平衡理论和势流理论成功预测了不同入水条件下的空腔演化；Guo等^[5]开展进行高速水平入水试验，研究了不同头型、不同入水速度运动体的入水空泡形态与运动特性，并基于Rayleigh-Besant方程预测了入水过程中空泡的最大直径；张伟等^[6]建立了平头运动体入水的空泡形态和弹道预测模型；王柏秋等^[7]基于动网格技术进行超空泡射弹研究，得到了超空泡射弹的阻力系数变化规律；马庆鹏等^[8]基于VOF多相流模型研究了锥头柱体高速入水过程，结果表明运动体入水速度越大航行体头部压力越高，随着入水深度增加空化泡内空化现象明显；何乾坤等^[9-15]对采用数值方法，对超空泡射弹的尾拍特性进行了系统研究。

目前国内外对并联入水的研究较少。王志东等^[16]通过数值模拟研究了并列航行体的空泡形态及减阻特性；路丽睿等^[17]开展了回转体低速并联入水过程的运动特性试验，研究了入水速度对空泡及运动特性的影响，结果表明两回转体的平均偏转角速度随着入水速度的增大而增大；卢佳兴等^[18]开展了双圆柱体低速并联入水的试验研究，结果表明入水空泡整体呈现良好的镜面对称特征, 而圆柱体内外侧空泡存在明显的非对称性；宋武超等^[19]基于势流理论提出了回转体低速并联入水过程空泡形态发展的预测方法。综上所述，对入水问题的研究多针对单体入水，涉及高速并联入水的研究非常少，且未考虑空化现象对运动体并联入水流体和运动的影响。

本文采用数值研究方法，将数值计算结果与文献[6]中空泡半径的预测公式进行对比，验证了本文数值模拟方法的有效性，在此基础上开展不同入水速度、不同初始净距和不同横流速度对回转体并联入水过程的数值模拟，研究了上述参数对并联回转体空泡特征尺寸、侧向及偏航运动影响规律。

1 数值计算方法 1.1 控制方程及其求解

本文基于有限体积法对雷诺时均的纳维- 斯托克斯方程进行离散，引入realizable k-ε湍流模型^[20]、VOF多相流模型和Schnerr and Sauer空化模型^[21]来描述湍流流动、各相界面及空化现象，并利用重叠网格技术处理运动边界，对并联入水问题进行数值计算。

混合介质的连续性方程为

$ \frac{\partial \rho_{m}}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\rho_{m} u_{i}\right)=0 $

(1)

其中，i=1, 2, 3.下同.动量方程为

$ \begin{aligned} &\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho_{m} u_{i}\right)+\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\rho_{m} u_{i} u_{j}\right)= \\ &-\frac{\partial p}{\partial x_{i}}+\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left[\left(\mu_{m}+\mu_{t}\right)\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right)\right] \end{aligned} $

式中: ρ_m=α_lρ_l+α_gρ_g+α_vρ_v，μ_m=α_lμ_l+α_gμ_g+α_vμ_v, 其中α_l、α_g和α_v分别为水、空气和水蒸气的体积分数，ρ_l、ρ_g和ρ_v为三相的密度，μ_l、μ_g和μ_v为三相的动力黏度; μ_t=ρ_mC_μk²/ε为湍流黏性系数，其中C_μ为经验常数，k为湍动能，ε为湍动耗散率; u_i、u_j为速度分量; x_i、x_j为位移分量; C_μ由下式确定：

$ C_{\mu}=\frac{1}{A_{0}+\frac{A_{s} k U^{*}}{\varepsilon}} $

(2)

式中: A₀=4.04，U^*= $\sqrt{S_{i, j} S_{i, j}}$，A_s= $\sqrt{6}$ cos $\left[\frac{1}{3} \arccos \left(\sqrt{6} \frac{S_{i, j} S_{j, k} S_{k, j}}{\left(S_{i, j} S_{i, j}\right)^{3 / 2}}\right)\right]$，其中S_{i, j}=$\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}+\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}\right)$。

由于realizable k-ε模型适用于大雷诺数的流动，因此湍流模型采用realizable k-ε模型，其湍动能和湍动耗散率的输运方程为:

$ \begin{gathered} \frac{\partial(\rho k)}{\partial t}+\frac{\partial\left(\rho u_{j} k\right)}{\partial x_{j}}=\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left[\left(\mu+\frac{\mu_{t}}{\sigma_{k}}\right) \frac{\partial k}{\partial x_{j}}\right]+ \\ G_{k}+G_{b}-\rho \varepsilon-Y_{M}+S_{k} \end{gathered} $

(3)

$ \frac{\partial(\rho \varepsilon)}{\partial t}+\frac{\partial\left(\rho \varepsilon u_{j}\right)}{\partial x_{j}}=\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left[\left(\mu+\frac{\mu_{t}}{\sigma_{\varepsilon}}\right) \frac{\partial \varepsilon}{\partial x_{j}}\right]+\\ \rho C_{1} S \varepsilon-\rho C_{2} \frac{\varepsilon^{2}}{k+\sqrt{v \varepsilon}}+C_{1 \varepsilon} \frac{\varepsilon}{k} C_{3 \varepsilon} G_{b}+S_{\varepsilon} $

(4)

式中: G_k为时均速度梯度引起的湍动能; G_b为浮力引起的湍动能; Y_M为脉动扩张在湍流耗散率所占当量; C₁=max$\left[0.43, \frac{\eta}{\eta+5}\right]$，C₂=1.9;C_1ε、C_2ε和C_3ε为预测常数，一般取C_1ε=1.44, C_2ε=1.92;σ_k、σ_ε分别为k和ε的湍流普朗特常数，一般取σ_k=1, σ_ε=1.2;S_k和S_ε为源项。

本文采用Schnerr and Sauer空化模型描述空化现象。水蒸气相输运方程为

$ \frac{{\partial {\alpha _v}}}{{\partial t}} + \frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\left( {{\alpha _v}{u_i}} \right) = {F_{{\rm{vap }}}}\frac{{2{\alpha _{{\rm{nuc }}}}\left( {1 - {\alpha _v}} \right){\rho _v}}}{{{R_B}}}\cdot \\ \sqrt {\frac{2}{3}\frac{{{p_v} - p}}{{{\rho _l}}}} - {F_{{\rm{cond }}}}\frac{{3{\alpha _v}{\rho _v}}}{{{R_B}}}\sqrt {\frac{2}{3}\frac{{p - {p_v}}}{{{\rho _l}}}} $

(5)

式中: R_B=1×10^-6 m为气核半径，α_nuc=5×10^-4为不可凝结气体体积分数，p为远场压力，p_v为饱和蒸气压，F_vap=50, F_cond=0.001。

1.2 方法有效性验证

文献[6]中给出了同实验结果符合良好的空泡形态模型，其表达式为

$ R(z)=\left[R_{0}^{2}+2 R_{0} \sqrt{\frac{C_{d}}{2 N}}\left(z-z_{0}\right)-\frac{\sigma}{2 N}\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{1 / 2} $

(6)

式中: R为空泡半径，R₀为头部半径，z为位移，z₀为初始位移，σ₀、σ分别为初始空化数和空化数，C_d=C₀(1+σ), 0.82≤C₀≤0.83，N为经验系数，取为2。

为验证计算方法的有效性，采用流体仿真软件STARCCM+12.0对头部半径为5 mm，长细比λ=6的铝质平头柱体以98.7 m/s入水过程进行数值计算.将计算结果和式(6)进行对比，结果如图 1所示。可以看出两者较吻合，说明本文数值计算方法是有效的。

利用本文问题的对称性，仅取半边模型进行计算。两回转体之间的重叠区域与背景区域尺寸如图 2所示。

本文选取了3种网格，3种网格的参数见表 1。

设置相同的时间步长1×10^-6 s进行计算.数值计算结果表明3种网格的阻力系数计算结果差异不大；而网格1与网格2和网格3在纵向速度和角速度的计算上较大偏差。本文为减少计算成本，综合比较后决定选取网格2进行后续计算。

2 数值计算结果与分析 2.1 入水速度对并联入水空泡及运动特性影响

本文中的参考截面为对称平面，根据对称平面的特征提取可以获得空泡外侧极径r_w、内侧极径r_n、空泡长度L、限制长度L₁、L′₁和喷溅高度h等空泡特征，如图 3所示。其中d为并联净距, D为回转体直径。由于对称性，如非特别说明，本文仅考察左侧回转体得空泡于运动特性。

为研究入水初速度对回转体并联入水过程的影响，本文取初始净距为0.4D，入水初速度分别为69.67、79.64和89.48 m/s(即初始空化数分别为0.040、0.031、0.024)的3种情况进行数值计算，并比较入水初速度对流场和运动特性的影响。

图 4、5分别为不同入水速度下外侧空泡形态和限制长度演化过程。从图中可以发现，较大的入水初始速度为回转体头部的液体提供了较大的初始动能，相应的液体径向运动的初始速度较大，同一量纲一的时刻空泡的外侧极径和限制长度都随入水初速度增大而增大。

图 6、7分别给出了不同入水速度下的回转体头部压力及侧向压差分布。可以看到入水速度对回转体头部的压力分布影响较大，随着速度增大，压力峰值增大。对比图 7的侧向压差发现，较小的入水速度时回转体初期分布特征明显不同，其主要原因为空泡内部的水蒸气分布差异较大，此时存在明显的回射流作用.在入水一段时间后，侧向压差的峰值随着入水速度的增大而增大。

图 8为不同入水速度下回转体的侧向位移与偏航角变化规律.从图中可以看到速度增大，回转体的侧向位移和偏航角均呈增大趋势。该趋势与较大的头部压力密切相关.入水初速度越大，头部压力造成的偏航力矩和附加侧力越大，从而对侧向和偏航运动的促进作用越强。另外，随着空泡内侧的水蒸气含量增大，回转体受到的侧向压差增加，进一步促进了侧向运动。

2.2 初始净距对并联入水空泡及运动特性影响

为说明初始净距对无横流情况下回转体并联入水过程的影响，本文取入水初速度为98.7 m/s(即初始空化数为0.02)，初始净距分别为0.2D、0.4D、0.6D和1.0D这4种情况进行数值计算，比较其对流场和运动特性的影响。

图 9、10分别为不同初始净距下回转体的空泡形态和限制长度演化过程。基于独立膨胀原理，外侧空泡的形态基本相同.内侧空泡的限制长度L′₁差异明显。从图 10中可以看到限制长度L′₁随初始净距增大而增大，这是由于较小的初始间距造成头部的速度驻点靠近内侧，回转体内侧流体的分离速度较大，剧烈的空化作用促使内侧空泡在较小区域内快速融合，限制长度反而越小。

图 11、12分别为初始净距对回转体头部压力及侧向压差分布的影响。可以发现初始净距对回转体头部压力峰值影响不大，但入水初期较小间距的头部压力分布不对称性明显，且压力峰值越靠近内侧.通过侧向压差分布发现，在入水初期回转体的侧向压力存在短暂振荡，这与剧烈的空化过程有关。一段时间后初始间距越小侧向压差峰值越靠近回转体头部，这与上文中的较小限制长度相吻合。

图 13为初始净距对侧向运动和偏航运动的影响规律。从图中可以发现，回转体的侧向位移和偏航角随初始净距增大呈现先增大后减小的趋势。这是由于初始净距较小时侧向压差显著地抑制了头部压力对侧向运动的促进作用，从而起到限制侧向运动的作用。当初始净距足够大时，随着初始净距的减小，头部压力造成的附加侧力和偏航力矩越大，此时初始净距越小，侧向位移和偏航角越大；当初始净距小于某一临界值时，速度驻点几乎不再向内侧偏移，但内侧靠近头部由于水蒸气的存在而使得内侧靠近头部压力较大，于是回转体会受到正方向力矩，使偏航力矩减小，进而使附加侧力减小。

2.3 横流速度对并联入水空泡及运动特性影响

为研究横流对回转体并联入水影响，本文基于相同的入水条件(v₀=98.7m/s；d/D=0.6)，进行横流速度分别为5 m/s和20 m/s的入水数值仿真。

图 14为有横流情况下单体入水和并联入水的参考截面处空泡形态对比。可以看出，横流作用下单回转体的迎流和背流侧空泡形态差异明显，且随着横流速度增大，空泡的径向尺寸差异增大；在并联入水状态下，迎流与背流回转体的外侧空泡径向尺寸差异与单回转体基本相同，由于空泡开口较大，较小的压差作用导致迎流回转体外侧空泡较晚发生回卷与闭合，因此长度略长。背流回转体外侧空泡独立膨胀，但迎流方向的回转体的阻碍与两回转体中间液体的能量转化，导致其空泡极径减小；迎流与背流回转体的内侧空泡主要受到径向间距限制，横流作用下迎流回转体内侧空泡略大于背流回转体，最大极径接近d+D/2；随着横流速度增大，迎流与背流回转体的外侧空泡尺寸与单回转体的差异增大，并联运动体的内侧空泡尺寸差异增大。

图 15给出了两种横流速度下的水蒸气相分布。可以看到较大的横流速度导致空泡不对称增强，相应的内部水蒸气分布更靠近横流方向。

图 16为横流对并联入水运动体的侧向运动和偏航运动的影响。当横流速度较小时，空泡内水蒸气集中在两回转体中间区域，因此较大的侧向压差导致迎流回转体向迎流方向运动，这与单独入水时相反；当横流速度较大时，横流对回转体的冲击作用占主导地位，运动方向与有横流情况下单回转体的运动方向相同，但由于侧向压差的差异，单体入水的运动较大。对于背流回转体，在头部绕流产生的侧向力作用下向外侧移动，且随着横流速度增大而增大。

对于偏航运动，较小的横流速度形成了较为均匀的头部压力分布，因此迎流回转体偏航角基本为零。背流回转体头部压力分布在横流作用下更加不对称，且稀疏的水蒸气分布导致该处侧向压差较大，形成负方向的偏航力矩，在相反方向的力矩作用下出现两回转体头部靠近而尾部远离的运动状态，这与无横流情况下并联入水过程中回转体的相对姿态相似；横流速度较大时，迎流回转体尾部受到横流的侧向冲击力远大于侧向压差力，背流回转体下部受到内侧流体的较大冲击作用，在上述机理下两回转体分别产生负/正方向力矩，形成了两回转体头部远离而尾部靠近的运动状态，这与无横流情况下并联入水过程中回转体的相对姿态相反。

3 结论

1) 高速并联入水运动时，两运动体之间的空化程度与入水初始速度正相关，且同一量纲一的时刻空泡的外侧极径和限制长度增大，回转体量纲一的侧向位移和偏航角越大。

2) 随着初始净距减小，同一量纲一的时刻空泡的限制长度越小，回转体的量纲一的侧向位移和偏航角先增大后减小。

3) 小横流作用下，迎流与背流回转体的外侧空泡径向尺寸与单体基本相同，而长度略大，随着横流速度增大，并联入水状态的空泡尺寸差异同单体相比增大；内侧空泡的径向尺寸差异较大，其中迎流回转体的内侧空泡极径较大，且随着横流速度增大极径的最大值始终维持在d+D/2左右。

4) 横流速度较小时，并联入水回转体头部靠近而尾部远离；横流速度较大时，两回转体头部远离而尾部靠近。