从20世纪70年代，日本学者提出反应位移法^[1]以来，反应位移法由于理论严谨、模型简单的特点逐渐成为实际工程中应用最广泛的拟静力方法之一，并且是国家规范^[2-4]建议的方法之一，但是该方法也存在一定的缺陷.安军海等^[5]总结了反应位移法的几个关键问题，其中非常重要的一个就是土弹簧刚度的确定方法.反应位移法采用部分近似条件将离散的地基弹簧模拟土层，计算结果存在一定误差^[6].已有研究表明，反应位移法在计算结构变形时误差可达30%，计算结构内力时最大误差接近40%^[7].为了解决反应位移法计算误差偏大的问题，大量学者对反应位移法进行了修正.董正方等^[8]提出基于土层位移差的反应位移法，该方法适用于埋深较大地下结构; 宾佳等^[9]利用土-结构相互作用系数法的原理修正反应位移法，提出了基于变形修正的反应位移法，该方法能较好地提高反应位移法计算精度，但在计算中还需要考虑土-结构相互作用系数，会增加计算量.这两种方法在一定程度上提高了反应位移法计算精度，但都没有解决土弹簧刚度确定的问题.

为了忽略土弹簧计算带来的误差，部分学者提出通过直接建立土-结构分析模型来反映土-结构间相互作用.刘晶波等^[10-13]提出的整体式反应位移法、整体强制反应位移法都是直接建立土-结构分析模型的计算方法.这一类方法计算精度明显高于传统反应位移法，但引入土单元会使简单的反应位移法模型复杂化.

本文从另外一个思路出发修正反应位移法，用更接近土体性质的双参数地基模型简化土层，得到一种相比传统反应位移法更加精确，又比整体式反应位移法、整体强制反应位移法模型更加简单的地下结构抗震设计方法.

1 弹簧修正原理及修正方法计算过程

目前反应位移法已发展了多种计算形式，不同规范给出的计算模型也不相同，刘晶波等^[14]以大开车站为案例，对比分析了不同规范中反应位移法的计算精度，结果表明《城市轨道交通结构抗震设计规范》^[2]中的反应位移法模型更加合理.

规范^[2]建议的反应位移法模型(见图 1)将地震对结构的作用分为3部分，即结构顶底及侧墙剪力、结构惯性力以及侧墙自由场变形.其中结构顶底剪力、结构惯性力、自由场变形均可由一维场地反应分析得到，侧墙剪力取结构顶底剪力的均值^[15]，同时反应位移法将周围土体简化成离散弹簧.丁德云等^[16]总结并对比分析了离散弹簧的各种计算方法.将土体简化成离散弹簧的方法虽然简单，却不能反映土体间的相互作用，影响结构的内力响应.

双参数模型是一种能反映土体间作用的地基模型，本文利用双参数地基模型原理对传统反应位移法的土弹簧进行修正，以考虑土体间的相互作用.

1.1 双参数模型及修正弹簧的原理

常见的双参数模型有Filonenko-Boorodich模型、Hetenyi模型和Pasternak模型^[17](见图 2).三者都用弹簧模拟土体的抗压性质，这与温克尔地基模型相同，但都增加了一个剪切参数来模拟土体之间的作用.3种模型本质是相同的，本文分析计算采用弹簧加剪切层的Pasternak模型.

以结构底板为例，土体是摩擦性材料不受拉，可不考虑底板平面以上土层对底板弹簧的影响(见图 3模型A).传统反应位移法将底板外土层简化成离散弹簧，底板两侧弹簧不受力可直接去除(见图 3模型B、C), 这样的简化方法会忽略底板两侧土体对结构的作用.采用Pasternak模型(见图 3模型D)，在剪切层的作用下底板两侧压缩弹簧受力不能直接去除，能模拟两侧土体对结构的作用.

为了简化模型，经过分析可通过修正底板压缩基床系数去除底板两侧的弹簧(见图 3模型E).以底板边缘点处弹簧为例，修正原理如图 4所示，在同样大小集中力F₁、F₂作用下，模型1结构底板位置的变形与简化后的模型2相同.

张载^[17]给出Pasternak模型在条形荷载作用下变形公式：

$ w(y)=\left\{\begin{array}{l} w_{0} \mathrm{e} \sqrt{\frac{K_{\mathrm{s}}}{G_{\mathrm{s}}}(y+b)}, y \leqslant-\frac{b}{2}, \\ w_{0} \mathrm{e}^{-\sqrt{\frac{\kappa_{\mathrm{s}}}{G_{\mathrm{s}}}(y-b)}}, y \geqslant-\frac{b}{2}. \end{array}\right. $

(1)

式中：w(y)为任意点变形; w₀为力作用点下的变形; b为力的作用范围，由于是集中力可取0;K_s为压缩基床系数; G_s为剪切层剪切基床系数，当满足最小势能原理时，G_s=K_s.

模型1与模型2变形相同，则有模型1、2竖向反力F₁、F₂为

$ \begin{aligned} F_{1} &=K_{\mathrm{s}} \times B \times l \times w_{1}+2 \times K_{\mathrm{s}} \times B \times l \times w_{2}+\cdots \end{aligned} $

(2)

$ F_{2} =K \times B \times l \times w_{1}+K \times B \times l \times w_{2}+\cdots. $

(3)

式中：K为修正后的压缩基床系数; l为压缩弹簧的间隔; B为计算单元的宽度，二维模型取1 m.

由模型1、2竖向反力F₁、F2相等得

$ K=\frac{K_{\mathrm{s}} \times w_{1}+2 \times K_{\mathrm{s}} \times w_{2}+2 \times K_{\mathrm{s}} \times w_{3}+\cdots}{w_{1}+w_{2}+w_{3}+\cdots}. $

(4)

当弹簧的间距l足够小，上述求和公式就可以转换成积分，得

$ K = \frac{{{K_{\rm{s}}} \times 2 \times \int\limits_0^{ + \infty } w \times {{\rm{e}}^{ - y}}{\rm{d}}y}}{{\int\limits_0^L w \times {{\rm{e}}^{ - y}}{\rm{d}}y}} = \frac{{2{K_{\rm{s}}}}}{{\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - L}}} \right)}}. $

(5)

式中L为模型2的宽度, 即底板宽度.

利用同样的方法得到其他位置的基床系数修正公式为

$ K=\frac{K_{\mathrm{s}} \times 2 \times \int\limits_{0}^{+\infty} w \times \mathrm{e}^{-y} \mathrm{~d} y}{\int\limits_{-a}^{0} w \times \mathrm{e}^{y}+\int\limits_{0}^{L-a} w \times \mathrm{e}^{-y} \mathrm{~d} y}=\frac{2 K_{\mathrm{s}}}{\left(2-\mathrm{e}^{-a}-\mathrm{e}^{-(L-a)}\right)} . $

(6)

式中a为修正点到底板角点的距离.

由于结构底板的剪切刚度远大于双参数模型剪切层剪切刚度，在计算中可忽略底板下剪切层的作用，得到修正后底板外法向弹簧模型(见图 3模型C)，修正模型与传统模型相比除了对弹簧系数进行了修正其他一样.

1.2 双参数模型的压缩基床系数确定方法

从式(6)可以看出，修正基床系数K是双参数模型压缩基床系数K_s的函数，K_s的确定是修正模型非常重要的一步.其确定原理是在相同荷载作用下，采用不同的模型只会影响受力和变形的分布，不会改变地基土体整体的受力和变形.

目前，规范中有两种离散地基弹簧的计算方法.其中更为精确且应用更广泛的是有限元方法，本文K_s的确定方法就基于该方法.有限元计算离散地基弹簧基床系数K_l的公式为

$ K_{1}=\frac{p}{\bar{x}}. $

(7)

式中：p为底板土体处施加的法向压强，$ \bar{x}$为底板土体法向变形的均值.

控制双参数模型变形、受力与有限元计算结果相同，即

$ p=\frac{\int\limits_{0}^{L} \frac{2 K_{\mathrm{s}}}{\left(2-\mathrm{e}^{-a}-\mathrm{e}^{-(L-a)}\right)} \times \bar{x} \mathrm{~d} a}{L}. $

(8)

由式(7)和(8)得

$ K_{\mathrm{s}}=\frac{K_{1} L}{\int\limits_{0}^{L} \frac{2}{\left(2-\mathrm{e}^{-a}-\mathrm{e}^{-(L-a)}\right)} \mathrm{d} a}. $

(9)

式(9)为本文建议的双参数模型压缩基床系数K_s的计算公式，将其代入式(6)中就能得到反应位移法模型任意位置的修正基床系数.

1.3 修正反应位移法的计算过程

修正反应位移法计算过程与传统反应位移法基本相同，分为3步：1)利用SHAKE91、EERA^[18-19]等进行场地反应分析.得到结构位置处土层变形、剪力和加速度; 2)求解模型的弹簧系数.模型的剪切弹簧直接利用规范中的有限元方法计算，法向弹簧利用本文的修正方法计算; 3)建立模型并施加弹簧和地震荷载.其中顶、底板、侧墙剪力以及结构惯性力的施加方法与传统反应位移法相同.侧墙的土层变形可直接施加在修正弹簧的远离结构一侧，也可转化为由自由场变形乘以修正后弹簧系数得到的等效力.

2 修正反应位移法的验证

地下结构抗震设计分析方法主要可分为动力时程分析方法和拟静力分析方法(包含反应位移法)两类，其中动力时程方法是在时域内直接计算地震反应过程中土-结构的动力相互作用的分析方法，其能够计算地震反应过程中各时刻结构的内力和变形响应，计算精度高.为了验证本文提出的修正方法计算精度高于传统反应位移法，以动力时程的计算结果为基准对比两种方法.

2.1 车站结构

以标准断面为单层和双层的车站结构验证修正方法的正确性，其中单层车站为单层双跨结构，车站宽度为12 m，高度为6.2 m; 双层车站为双层三跨结构，宽度为20.3 m，高度为12.4 m，具体的构件尺寸见图 5.

2.2 动力时程法

采用线性动力时程分析方法，单层结构模型计算尺寸为200 m×50 m(见图 6)，双层结构模型计算尺寸为400 m×80 m.采用四节点平面应变减缩积分实体单元模拟土体介质，采用梁单元模拟结构构件.场地土与地铁车站结构之间的法向接触采用“硬”接触的方式，即当场地土与地下结构之间出现拉力时，场地土与地下结构间的接触面将立即分离; 切向接触服从Coulomb摩擦定律，当接触面上剪应力大于它们之间的摩擦力时，将发生土体相对地下结构的切向滑动，计算过程中不同模型各个接触面摩擦系数均取0.45.

场地土为单一饱和黏性土，并采用等效线性动力本构，即用黏弹性Kelvin模型来反映土体在周期荷载下的滞回性^[20].剪切模量比、阻尼比和剪应变关系曲线如图 7所示.车站结构为C40混凝土，用弹性本构模拟.采用刘晶波等^[21]提出的黏弹性动力人工边界，该人工边界是在模型边界施加弹簧和阻尼系统以达到耗散和吸收散射波的目的，法向和切向弹簧阻尼参数计算公式为

法向边界

$K_{\mathrm{BN}}=\alpha_{\mathrm{N}} \frac{G}{R}, C_{\mathrm{BN}}=\rho c_{\mathrm{p}}. $

(10)

切向边界

$ K_{\mathrm{BT}}=\alpha_{\mathrm{T}} \frac{G}{R}, C_{\mathrm{BT}}=\rho c_{\mathrm{s}}. $

(11)

式中：K_BN与K_BT分别为弹簧法向与切向刚度; R为波源至人工边界点的距离; c_s和c_p分别为S波和P波波速; G为介质剪切模量; ρ为介质质量密度; α_T与α_N分别为切向与法向黏弹性人工边界参数，取值如表 1所示.

选用一个实际发生的地震波(El-Centro波)和一个人工合成波(北京人工波)作为地震输入波分析不同地震输入波对传统方法及修正方法计算精度的影响.El-Centro波和北京人工波原始波形与频谱分析见图 8，其中El-Centro频谱曲线主要分布在低频区，北京人工合成波分布较为均匀，两者对比可分析输入波的频谱特性对修正方法计算精度的影响.

2.3 反应位移法计算参数的获取及计算工况

由于本文计算工况较多，不同工况下的反应位移法计算参数不同.以工况1为例计算传统反应位移法和修正方法的参数，其他工况的参数用相同方法获取.首先利用EERA进行场地反应分析，得到埋深2 m、地表峰值加速度为0.2g时，结构位置处土层变形、剪力和加速度，这一步修正方法与传统反应位移法相同.然后利用有限元方法(见图 9)得到结构四周弹簧的基床系数，有限元的计算范围与动力时程的计算范围相同.

利用上述有限元方法得到的基床系数，是传统反应位移法采用的基床系数K_l; 根据式(9)得到双参数模型压缩基床系数K_s; 最后利用式(6)得到修正模型任意点弹簧的修正基床系数K.工况1的传统及修正基床系数见表 2, 其中a为弹簧位置到构件角点的距离.

通过改变土体剪切波速、地震强度、结构埋深、结构层数和地震输入波验证修正方法在不同条件下的适用性和计算精度，具体的计算工况见表 3.

2.4 计算结果及分析

本文计算工况较多，由于篇幅的限制，只给出第一组工况的内力表(表 4)，其他几组工况的结果均以内力误差图的形式给出.

图 10~14给出各种工况下，以动力时程计算结果为基准，传统反应位移法和本文修正方法的内力及变形误差对比.综合对比图 10~14可以得出，相比传统反应位移法，修正方法的结果更加接近动力时程的计算结果，整体误差能减小一半左右.

分别对比每种工况的结果可以得到，影响传统反应位移法和修正方法计算精度的最主要因素是结构的类型.其中改变结构埋深、土层的剪切波速和地震强度(图 10~12)对两种方法计算单层结构内力及变形精度的影响不大，传统反应位移法内力及变形的最大误差会达到20%，经过本文方法修正之后，内力及变形的最大误差会减小到10%左右; 改变结构类型(对比图 12, 13)对两种方法计算精度的影响明显，其中用传统反应位移法计算双层结构的误差是计算单层结构的2倍左右，修正方法计算双层结构的误差是计算单层结构的1.8倍左右; 改变地震输入波(对比图 13，14)对两种方法的计算精度影响不大，传统反应位移法最大计算误差会达到40%，经过本文方法修正之后，最大计算误差会减小到20%左右.综合上面分析，修正方法的修正效果明显.

3 结论

1) 修正方法除了修正法向弹簧的基床系数，其他部分与传统反应位移法相同，仍然是一种相对简单的地下结构抗震设计方法.

2) 传统反应位移法采用离散弹簧模拟土体，会影响结构内力响应，其计算精度偏低.对于单层结构传统反应位移法计算误差会超过20%;对于双层结构其计算误差则会超过40%.经本文提出的方法对弹簧进行修正之后，单、双层结构的内力误差都能减小一半左右，修正效果明显.

3) 修正方法是实用性较强且计算精度较高的地下结构抗震设计方法，可利用于地下结构的抗震设计中.

4) 本文采用比传统单参数模型更接近土体性质的双参数模型简化土层，但双参数模型并不能完全模拟土体的性质，比如动力作用下土体剪切模量的非线性变化，所以，地基弹簧随场地应力状态的修正是进一步提高反应位移法精度的方向之一.