装配式建筑因其“高效、经济、环保”的特点，成为建筑领域的发展热点，而预制混凝土构件的生产制作是装配式建筑的重要环节^[1-2]。目前，国内外预制混凝土构件生产以人工操作螺旋布料机进行布料，布料路径完全由工人自主决定，作业过程中存在的布料路径重复、布料量不足或过多、混凝土浪费等现象，严重制约着预制混凝土构件标准化、自动化生产的发展。对布料路径进行规划可以缩短布料作业时间、减少混凝土浪费和改善生产车间环境等，可以有效地提高预制混凝土构件的生产效率。因此，开展预制混凝土构件布料路径规划研究有着重要的意义。

预制混凝土构件布料区域为规则边界的多边形，螺旋布料机在布料作业时需要遍历布料区域内的所有位置，以路程最短、时间最少、布料充足等为指标。因此，布料路径规划属于全覆盖路径规划研究范畴。全覆盖路径规划研究主要集中在扫地机器人^[3-5]、搜寻机器人^[6-10]、农业机器人^[11-12]、激光切割^[13-15]等领域^[16-20]。主要思路为区域分解，然后利用优化算法求得最佳解，并做相关的改进。针对布料区域内混凝土浇筑量的问题，业内的研究方向主要集中在混凝土输送量的影响因素^[21]、混凝土浇筑量的预报与测量^[22-24]、浇筑量的补偿控制方法^[25]等方面。

现阶段预制混凝土构件生产中自动化程度极低，在生产过程和生产方法上有着很大的进步空间^[26]。由于螺旋布料机出料口状态可控，导致布料宽度不确定，为此，本文提出一种将布料区域分割为多个布料子区域的方法，螺旋布料机对布料子区域布料作业一次即可完成子区域的布料任务。随后建立布料路径规划模型，以非布料长度最短为目标进行求解，完成对布料区域的全覆盖路径规划。最后利用Matlab软件建立某螺旋布料机和某外墙挂板结构层的二维布料路径规划模型，进行布料路径规划。

1 分割布料区域 1.1 布料区域网格划分

图 1为PC构件厂内螺旋布料机出料口及模台简化后的俯视图，模台的左下角为坐标原点；布料机出料口的宽度为b(mm)，相邻出料口的距离为s(mm)，出料口开口方向为X轴正方向。在N个出料口都参与布料的状态下，最大布料宽度为C(mm)，即单个出料口在模台Y轴方向上的布料宽度为C/N(mm)；混凝土从出料口挤出并受重力落在模台上，取螺旋布料机静止状态下单个出料口在模台上的布料范围为边长是B=C/N(mm)的正方形区域，对布料区域进行网格划分。

1.2 布料区域的分割原则

预制混凝土构件的布料区域是由直线段或曲线段组成的复杂多边形，同一预制混凝土构件的布料区域是连续的。螺旋布料机在一趟布料作业行程中，参与作业的出料口数量越多，布料面积就越大，布料总时间就会越短。为方便布料路径规划研究，需对布料区域进行分割，具体的分割步骤如下：

Step 1    在Y轴正方向上，与布料区域下边界宽度为螺旋布料机最大布料宽度C的位置处划分一条平行于X轴的分割线X₁(布料区域的宽度大于螺旋布料机最大布料宽度C的情况下，否则在Y轴方向不进行分割线的划分)。

Step 2    在Y轴负方向上，与布料区域上边界宽度为螺旋布料机最大布料宽度C的位置处划分另一条平行于X轴的分割线X₂(布料区域宽度大于2倍螺旋布料机最大布料宽度C的情况下)。

Step 3    在分割线X₁和X₂之间的Y轴正方向上，距离X₁为C的整数倍，继续在布料区域内划分平行于X轴的分割线(布料区域宽度大于3倍螺旋布料机最大布料宽度C的情况下)；当两条分割线之间的距离d小于最大布料宽度C时，不再进行分割线的划分。

Step 4    在布料区域的上、下边界线和分割线中，如果相邻两条线之间的布料区域是连续的，就认定该区域为一个布料子区域；如果相邻两条线之间的布料区域会被非布料区域完全分割，该区域内就会包含多个布料子区域，且该区域内的布料子区域之间是不连续的。图 2为对某预制构件布料区域的分割情况。

通过此方法分割的布料子区域宽度不超过C，而宽度小于出料口宽度b的布料子区域，混凝土会落在边模上引起浪费，将不再认定为一个布料子区域，所以此分割原则下布料子区域的宽度在区间[b，C]内。

1.3 子区域布料作业规划

在图 1中，螺旋布料机在初始位置时，出料口两端顶点D_{1, 0}和D_{N, 0}的坐标为：(0，0)和(0，C)。如图 3所示，利用矩形区域的4个顶点R_{A, i}、R_{B, i}、R_{C, i}和R_{D, i}来表示布料子区域R_i (i=1, 2, …, m，m为布料子区域的数量)在模台上的位置，坐标分别用(x_{i, 1}，y_{i, 1})、(x_{i, 2}，y_{i, 1})、(x_{i, 2}，y_{i, 2})和(x_{i, 1}，y_{i, 2})表示；布料子区域左边线下顶点D_{A, i}和上顶点D_{D, i}的坐标为：$\left( {{x_{i, 1}} + \frac{B}{2}, {y_{i, 1}}} \right)$和$\left( {{x_{i, 1}} + \frac{B}{2}, {y_{i, 2}}} \right)$，右边线下顶点D_{B, i}和上顶点D_{C, i}的坐标为：$\left( {{x_{i, 2}} + \frac{B}{2}, {y_{i, 1}}} \right)$和$\left( {{x_{i, 2}} + \frac{B}{2}, {y_{i, 2}}} \right)$。

螺旋布料机对布料子区域的作业方式为：从布料起始位置(布料子区域的左边线或右边线)出发，沿X轴正方向或负方向进行布料作业，到达布料终止位置(布料子区域的左边线或右边线中某一边为布料起始位置后，另一边将自动作为布料终止位置)后，就表示完成了此子区域的布料任务。布料过程中会涉及部分出料口的开闭，到达布料终止位置后出料口会全部闭合。

取决于螺旋布料机出料口的几何设计，出料口开口数对应的布料宽度是：

1) 出料口的开口数为n(1≤n < N，n为自然数)时，布料宽度范围是[nb，(n+1)b+ns)；

2) 出料口的开口数为N时，布料宽度范围是[Nb+(N-1)s，C]。

2 布料路径规划模型建立与求解

螺旋布料机对预制混凝土构件的布料作业路径可分为两部分：一是螺旋布料机在布料子区域内浇筑混凝土时的布料长度L₁，二是螺旋布料机未浇筑混凝土状态下遍历所有布料子区域时的非布料长度L₂，其中布料长度L₁是确定的。本节利用枚举法和动态规划算法，对螺旋布料机出料口和布料子区域集合建立布料路径规划模型的基础上，以非布料长度L₂最短为目标对模型进行求解，从而完成了对布料区域的全覆盖路径规划。

2.1 布料路径规划模型建立

1) 枚举布料作业顺序:

$ q = m \times \left( {m - 1} \right) \times \cdots 2 \times 1 $

(1)

式中：m为布料子区域的数量，q表示m个布料子区域存在的枚举结果数。基于枚举法对布料子区域进行排列顺序枚举，枚举结果U_i(i =1, 2, …, q)代表螺旋布料机对布料子区域的作业顺序。

2) 相对最短非布料长度建模。动态规划是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推的方式去解决，从而获得问题的最优解^[27-28]。图 4是多阶段决策过程示意图，m个布料子区域对应m个阶段，用k(取自然数1，2，…，m)表示，阶段变量R₁，R₂，…，R_m代表布料子区域。

1) 第1阶段：起始状态集为s₁={R₀}，允许决策集合为D₁(s₁)={R_{1, 1}, R_{1, 2}}。

状态变量R₀：螺旋布料机出料口的初始位置。

D_{1, 1}：螺旋布料机从初始位置到R_{1, 1}的距离。

D_{1, 2}：螺旋布料机从初始位置到R_{1, 2}的距离。

2) 第2阶段：起始状态集为s₂={R_{1, 1}, R_{1, 2}}，允许决策集合为D₂(s₂)={R_{2, 1}, R_{2, 2}}。

状态变量R_{1, 1}：R₁布料子区域的左边线。

状态变量R_{1, 2}：R₁布料子区域的右边线。

D_{2, 1}：螺旋布料机从布料子区域R₁的右边线到布料子区域R₂左边线的距离。

D_{2, 2}：螺旋布料机从布料子区域R₁的右边线到布料子区域R₂右边线的距离。

D_{2, 3}：螺旋布料机从布料子区域R₁的左边线到布料子区域R₂左边线的距离。

D_{2, 4}：螺旋布料机从布料子区域R₁的左边线到布料子区域R₂右边线的距离。

3) 其他阶段的的定义规则与第2阶段相同，这里不做具体解释。

关于决策值D_{k, j}的计算如下：

$ D_{k, j}=\left\{\begin{array}{l} \left|D_{N, i-1}^{\prime} D_{N, i}\right| \\ \left|D_{1, i-1}^{\prime} D_{1, i}\right| \end{array}, k=i=1, 2, \cdots, m, j=1, 2, 3, 4\right. $

(2)

式中，D_{N, i}(i=1, 2, …, m)为编号为N的出料口在第i个布料子区域布料起始位置时的坐标(x_i，y_i+C)，D_{1, i}为编号为1的出料口在第i个布料子区域布料起始位置时的坐标(x_i，y_i)；D′_{N, i}为编号为N的出料口在第i个布料子区域布料终止位置时的坐标(x_{0, i}，y_{0, i}+C，D′_{1, i})为编号为1的出料口在第i个布料子区域布料终止位置时的坐标(x_{0, i}，y_{0, i})。i=0时，螺旋布料机位于初始位置，此时：D_{N, 0}=(0，C)，D_{1, 0}=(0，0)，D′_{N, 0}=(0，C)，D′_{1, 0}=(0，0)。将式(2)展开：

$ \begin{aligned} &D_{k, 1}, D_{k, 3}= \\ &\left\{\begin{array}{l} \left|D_{N, i-1}^{\prime} D_{D, i}\right|, y_{0, i-1} \leqslant y_{i, 1} \text { 且 } y_{0, i-1}+C \leqslant y_{i, 2} \\ \left|x_{i, 1}-x_{0, i-1}\right|, y_{0, i-1}<y_{i, 1} \text { 且 } y_{0, i-1}+C>y_{i, 2} \\ \left|D_{1, i-1}^{\prime} D_{A, i}\right|, y_{0, i-1} \geqslant y_{i, 1} \text { 且 } y_{0, i-1}+C \geqslant y_{i, 2} \end{array}\right. \end{aligned} $

(3)

$ \begin{aligned} &D_{k, 2}, d_{k, 4}= \\ &\left\{\begin{array}{l} \left|D_{N, i-1}^{\prime} D_{C, i}\right|, y_{0, i-1} \leqslant y_{i, 1} \text { 且 } y_{0, i-1}+C \leqslant y_{i, 2} \\ \left|x_{i, 1}-x_{0, i-1}\right|, y_{0, i-1}<y_{i, 1} \text { 且 } y_{0, i-1}+C>y_{i, 2} \\ \left|D_{1, i-1}^{\prime} D_{B, i}\right|, y_{0, i-1} \geqslant y_{i, 1} \text { 且 } y_{0, i-1}+C \geqslant y_{i, 2} \end{array}\right. \end{aligned} $

(4)

2.2 布料路径规划模型求解

1) 相对最短非布料长度求解。动态规划求解中利用的递推关系为

$ \begin{gathered} f_{k}\left(s_{k}\right)=\min _{u_{k} \in D_{k}\left(s_{k}\right)}\left\{D_{k, j}\left(s_{k}, u_{k}\left(s_{k}\right)\right)+f_{k+1}\left(u_{k}\left(s_{k}\right)\right)\right\}, \\ k=1, 2, \cdots, m \end{gathered} $

(5)

式中：D_k(s_k)表示第k阶段从状态s_k出发的允许决策集合，s_k为第k阶段的状态变量，u_k(s_k)为s_k的决策变量。

构建的目标函数为

$ S_{i}=\mathop{\min}\limits _{{u_k} \in {D_k}\left({{s_k}}\right)} \sum\limits_{k=1}^{m} D_{k}\left(s_{k}, u_{k}\right), i=1, 2, \cdots, q $

(6)

式中，S_i表示相对最短非布料长度，即枚举结果U_i构建的动态规划模型的最优解，根据计算反推得到最优决策函数序列{u_k(i)}。

2) 最短非布料长度求解:

$ L_{2}=min \left\{S_{i}\right\}, i=1, 2, \cdots, q $

(7)

式中，L₂为螺旋布料机非布料状态下的最短非布料长度，对应的最优决策序列{U_i, u_k(i)}为布料路径规划结果。

3 仿真实验

某学校层高为4.4 m的实验楼外墙挂板设计采用如图 5所示的模板图^[29]，具体参数信息如表 1所示；山东某厂家生产的螺旋布料机在国内有着较高的市场占有率，某8出料口螺旋布料机的工作参数如表 2所示。利用Matlab软件，搭建该螺旋布料机和外墙挂板结构层的二维布料路径规划模型，做布料路径规划仿真。

3.1 布料路径规划

利用Matlab软件搭建的二维布料路径规划模型如图 6(a)所示，对外墙挂板结构层的布料路径规划结果如图 6(b)~(f)所示。该布料区域共被分割为了5个布料子区域，红色区域为螺旋布料机出料口的初始位置，8个出料口用数字1-8编号；绿色区域为对应布料子区域的布料起始位置，绿色区域上的数字代表参与该子区域布料作业的出料口编号，黄色区域为该子区域的布料过程。

按布料作业顺序对子区域编号，各布料子区域的参数汇总信息如表 3所示。

3.2 子区域的布料参数

螺旋布料机出料口的布料量由移动速度v₁(m/min) 和出料速度v₂(m³/min)共同决定，为保证布料作业过程中布料时间t₁ (s)最短，取中间出料口的出料速度v_2中间(m³/min)或边缘出料口的出料速度v_2边缘(m³/min)为最大出料速度v_2max进行布料作业；若此工况下布料量过多，则取移动速度v₁为最大移动速度v_1max，通过调整出料口的出料速度来控制布料量。由于钢筋与预埋件对布料区域的混凝土需求量影响较小，在忽略该影响因素的条件下，螺旋布料机对该预制外墙挂板结构层5个布料子区域的布料参数计算结果如下：

1) 布料子区域①。如图 7(a)所示，螺旋布料机对布料子区域①的布料作业共有5个工况，布料参数计算结果如表 4所示，布料时间t₁₁为14.68 s。

2) 布料子区域②。布料子区域②由8号出料口参与布料作业，为使得布料均匀，8号出料口应位于该区域的中间位置进行布料作业。螺旋布料机的移动速度v₁为0.195 m/s，出料速度v₂为最大值1.5 m³/min，布料时间t₁₂为1.92 s。

3) 布料子区域③。布料子区域③的布料状况与布料子区域①情况相同，存在5个工况，如图 7(b)所示，布料参数计算结果如表 5所示，布料时间t₁₃为14.68 s。

4) 布料子区域④。布料子区域④由1号出料口参与布料作业，布料状况与布料子区域②相同。螺旋布料机的移动速度v₁为0.195 m/s，出料速度v₂为最大值1.5 m³/min，布料时间t₁₄为1.92 s。

5) 布料子区域⑤。布料子区域⑤由1号出料口参与布料作业，布料状况与布料子区域②相同。螺旋布料机的移动速度v₁为0.195 m/s，出料速度v₂为最大值1.5 m³/min，布料时间t₁₅为1.92 s。

3.3 规划结果分析

未进行布料路径规划时，螺旋布料机的布料路径为牛耕法。取螺旋布料机非布料状态下的平均移动速度为$\sqrt{\left(\frac{V_{x \max }}{2}\right)^{2}+\left(\frac{V_{y \max }}{2}\right)^{2}}$，路径规划前后各项数据汇总如表 6所示。

通过计算知，路径规划后布料总长度缩短了9.92%，布料总时间减少了8.44%。

4 结论

1) 对布料区域网格划分的基础上，提出一种新的分割方法，将布料区域分割成多个布料子区域，螺旋布料机对子区域沿X轴方向布料一次即可完成该区域的浇筑任务，并对子区域内参与作业的出料口开口数做了计算。该分割方法简化了螺旋布料机的布料作业形式，为路径规划提供了一种思路。

2) 螺旋布料机的布料路径总长度分为布料长度和非布料长度，其中布料长度是确定值；利用枚举法和动态规划算法对螺旋布料机出料口和布料子区域集合建立了布料路径规划模型，并对多阶段决策过程中的决策值进行计算。最后以非布料长度最短为目标对模型进行求解，得到了最短的布料路径，完成了螺旋布料机对布料区域作业的全覆盖路径规划。

3) 根据此方法建立了某螺旋布料机和某预制混凝土外墙挂板结构层的二维布料路径规划模型，并对子区域的螺旋布料机布料移动速度、出料速度和布料时间做出计算。仿真结果表明，该方法缩短了布料总长度，减少了布料总时间，提高了预制构件的生产效率。