在实际工程应用中，沥青混合料进行目标配合比设计时，要求设计的目标配合比的合成级配曲线根据《公路沥青路面施工技术规范》^[1]和《公路沥青路面设计规范》^[2]等相关标准进行计算绘制，总结来看即通过计算得到的单种集料在混合料中的比例求得并绘制出合成级配曲线，要求该合成级配在目标级配曲线及规范要求的上下限内即可。而通常满足这一要求的合成级配曲线往往是有多条的，选择不同的合成级配曲线进行施工，沥青混合料的性能、质量都是存在差别的，因此, 如何通过科学的分析方法对级配的优劣进行评价，以优选出最优级配，是沥青混合料工程行业需要解决的问题^[3-4]。

目前，一些学者针对不同种类的沥青混合料，或不同环境下生产的沥青混合料开展了目标级配优选的工作，但尚没有一个分析方法能系统且科学地对级配优选进行优劣评价^[5]，在选择最优级配的问题上经常会有分歧，通常由工程师结合自己的经验和工程项目的要求以及现场实际情况进行调整，甚至在实际的工程中经常忽视跳过了这一步骤，只合成一条在规范要求上下限之间的级配，将其作为目标级配，这样既不具备科学性，也极有可能降低混合料的路用性能，甚至影响施工质量控制^[6-7]。本文采用灰度模型分析方法，全面纳入影响沥青混合料的各项要素，进行目标配合比级配优选，选择出一个兼备性能和经济的最佳级配，可为配合比设计和施工质量控制提供参考。

1 研究方法 1.1 灰度模型

灰度模型是灰色关联度模型的简称，是用于探究影响因素之间关联性的一种模型，目前在多个领域均有广泛的应用^[8-11]。该模型方法的主要原理核心是影响因素的时间序列曲线，这些曲线之间存在一定的相似点，通过判断相似程度进而分析因素之间的关联性。分析步骤^[12-14]如下：1)确定参考数列(决定系统行为的数据序列)和比较数列(影响系统行为的数据序列)；2)为方便不同量纲数据之间的计算比较，对数据进行无量纲处理；3)计算参考数列和比较数列的灰色系数ξ(X_i)；4)求关联度r_i，并将关联度排序。

1.2 权重确定方法 1.2.1 熵值法确定权重原理

熵值法^[15-17]是一种客观赋权的方法，其原理主要根据各评价指标的离散程度大小进行赋权，对于评价值的离散程度越大的指标，对其赋予的权重越大，评价值的离散程度越小的指标，其权重越小。该方法适用于对评价指标没有主观的赋权需求，仅根据评价值的离散程度进行客观的赋权。

主要流程：首先根据各指标的关联系数值，计算指标值x，进而计算熵值e表示各个指标的决策信息，再计算各指标的效用值d，亦即各指标的偏差度，偏差度越大，该指标价值越大，权重也就越大。再利用熵测度确定各指标的权重因子，即为各指标的权重。

1.2.2 结构熵权法确定权重原理

结构熵权法是一种将定性分析与定量分析相结合的确定指标权重的方法，由程启月在2010年首次提出^[18]，将主观赋权的专家调查法与熵理论对典型排序结构的不确定性分析方法相结合，可以对指标进行科学合理的评价。

主要流程：首先通过传统的专家调查法搜集专家意见，对各指标的重要程度进行排序，建立指标重要性矩阵，后通过隶属函数计算，将矩阵转化为隶属度矩阵，计算各指标的平均认识度与盲度，进而获得各指标的总体认识度，通过对总体认识度进行归一化处理，即得到各指标的综合评价权重。

其中在传统的专家调查法中，根据任务及目标选择具有代表性的专家是重点，选择的专家要精通相关专业领域，知识面广泛，经验丰富且思路开阔，有创造性和洞察力，除了要相关领域的学术权威，还应有从事生产一线工作的专家。专家组的选择应结合评价内容合理选择，一般包括技术专家、企业管理者、行业管理者和经济专家等。在专家选择之外，专家调查法还应该坚持三大原则：匿名性原则、反馈性原则和收敛性原则。

1.3 灰度模型级配优选法的分析流程

结合灰度模型分析方法，沥青混合料级配优选整体分析流程见图 1。

1.4 灰度模型级配优选法的指标体系

参考《公路沥青路面施工技术规范》^[1]中的规定对目标配合比进行设计检验的相关指标，将级配优选评价指标分为3类^[19-20]，分别为非定量检验指标、常规定量检验指标及路用性能定量指标。非定量检验指标包括流值、空隙率与沥青饱和度，这些指标在规范中给出了范围，但并不能确定这些指标的定量最优值，因此，只需要检验非定量指标的检测值是否符合规范要求，作为级配优选的前提标准。

将最佳沥青用量、矿料间隙率与马歇尔稳定度作为常规定量检验指标，最佳沥青用量在规范中没有给出要求，但最佳沥青用量越低，生产费用就越低；规范给出了矿料间隙率的下限，因此，可认为矿料间隙率越大，指标越优；马歇尔稳定度作为常规指标，也是稳定度值越大，指标越优^[21]。

路用性能指标选择施工技术规范要求的实验指标值，除渗水系数外，其他指标均为值越大，指标越优。具体的级配优选评价指标参照高速公路改性沥青混合料要求，选择见表 1。

根据选择的上述指标，进行沥青混合料目标配合比设计级配优选示例分析。

2 沥青混合料的初选级配组成设计与评价指标分析 2.1 初选级配组成设计

本次试验选用AC-20沥青混合料，各规格集料及筛分结果见表 2。根据筛分结果依据《沥青路面施工及验收规范》^[22]进行混合料组成设计，在工程设计级配范围内设计供优选的1~3组不同的矿料级配，本次分析采用试算法进行设计，假定混合料中某粒径的颗粒是由某种优势粒径的集料组成，在其他集料中无该颗粒，进而根据各集料的主要粒径来试算各集料的大致比例，并对比例进行调整以符合规范要求，最终配出本次分析的3组合成级配。同时对3组合成级配进行非定量与定量指标检验，要求其符合规范要求，对不符合规范的配合比进行修正，直至均符合要求为止。配合比设计结果见表 3、4，合成级配曲线如图 2所示。

2.2 评价指标分析

在3组合成级配的基础上，使用《沥青路面施工及验收规范》^[22]推荐的方法计算最佳沥青用量，级配1、2、3对应的最佳沥青用量分别是4.9%，4.5%及4.8%。再根据《公路工程沥青及沥青混合料试验规程》^[23]对3组目标级配进行非定量指标检验，结果见表 5；并进行定量指标检验，其中分为常规指标检验和路用性能指标检验，检验结果见表 6、7。

由表 5~7可知，以上3组合成级配的非定量与定量指标均符合规范要求，可进行后续的级配优选工作。

3 基于灰度模型的目标配合比级配优选

对上述得到的3组目标配合比进行基于灰度关联分析的级配优选。进行级配优选所参考的指标主要为定量指标，即存在最优值的指标。按以下方法步骤进行。

3.1 评价指标归一化

对各定量检验指标进行归一化处理，归一化公式为

$ a_j(k)=\frac{x_j(k)-\min x_j(k)}{\max x_j-\min x_j(k)}, j=0, \cdots, n $

(1)

可得各定量指标的归一化数值见表 8、9。

3.2 二级指标综合评价

首先对常规与路用性能定量指标下的二级指标分别进行综合评价，令一级指标为Aⁱ，i=1, 2, …, 5，二级指标为A^ij，j=1, 2, …, n_i，处理过程如下。“常规定量指标”与“路用性能定量指标”下的二级指标可用矩阵分别表示为

$ \boldsymbol{D}^1=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0.750 \\ 0 & 0.185 & 1 \\ 0.442 & 0 & 1 \end{array}\right] $

$ \boldsymbol{D}^2=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0.391 \\ 0.891 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0.395 \\ 0 & 1 & 0.710 \\ 0.156 & 0 & 1 \end{array}\right] $

由于各指标均为定量指标，取级配1、级配2、级配3各指标的最优值作为参考的最优指标，其中最佳沥青用量与渗水系数的最小值为最优指标，其他指标以最大值为最优指标，即

$ \boldsymbol{D}_{\mathrm{g}}^1=[0, 1, 1]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{D}_{\mathrm{g}}^2=[1, 1, 1, 1, 0]^{\mathrm{T}} $

计算关联系数，确定评判矩阵。参考数据与比较数据之间的关联分析是在对单个指标分析基础上进行的，单个指标的关联程度也就是关联系数。一般以最优指标集D_gⁱ=[d₁ⁱ, d₂ⁱ, …, d_nⁱ]^T为参考依据，D_sⁱ=[d_1sⁱ, d_2sⁱ, …, d_nsⁱ]^T为被比较数据，那么第s个级配的第j个指标与参考指标集的第j个指标的关联系数ξ_jsⁱ的计算公式为

$ \xi_{j s}^i=\frac{\min \left|d_k^i-d_{k s}^i\right|+\rho \max \left|d_k^i-d_{k s}^i\right|}{\left|d_j^i-d_{j s}^i\right|+\rho \max \left|d_k^i-d_{k s}^i\right|} $

(2)

对于常规定量的二级指标，i=1, 2, 3, j=1, 2, 3, s=1, 2, 3；对于路用性能定量的二级指标，i=1, 2, 3, j=1, 2, 3, 4, 5, s=1, 2, 3, 4, 5；ρ为分辨系数，取值为0＜ρ＜1，一般取ρ=0.5。从而获得各指标间的关联系数ξ_jsⁱ，形成了评判矩阵Fⁱ=(ξ_jsⁱ)_ni×3。

分别将常规定量指标与路用性能定量指标D¹、D²转化为评判矩阵F¹、F², 即

$ \boldsymbol{F}^1=\left[\begin{array}{ccc} 0.333 & 1 & 0.400 \\ 0.333 & 0.380 & 1 \\ 0.473 & 0.333 & 1 \end{array}\right] $

$ \boldsymbol{F}^2=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0.333 & 0.451 \\ 0.821 & 0.333 & 1 \\ 0.333 & 1 & 0.453 \\ 0.333 & 1 & 0.633 \\ 0.762 & 1 & 0.333 \end{array}\right] $

在评价过程中也需考虑指标的权重，因此, 计算各一级指标下的二级指标权重。为了更加科学合理地进行评价，本文考虑使用将定性分析与定量分析结合的结构熵权法。计算分析步骤如下。

3.2.1 收集专家意见，建立指标重要性序列阵

参照传统的德尔斐专家调查法，按照要求向定量具有较高学术权威性的专家进行问卷调查，分别针对常规定量指标和录用性能指标下的二级指标给出自己的意见排序并打分。打分规则：专家如果认为某二级指标是“第一考虑”则打1分；如果认为是“第二选择”，则打2分，依次类推，直到每一指标都被打分结束。此次调查中邀请7位专家进行问卷调查，得到表 10、11的结果。

常规定量指标和路用性能定量指标下的二级指标分别有3个和5个，因此, 可以转换为一个7×3矩阵和一个7×5矩阵，得到指标重要性序列矩阵A¹、A²:

$ \boldsymbol{A}^1=\left[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right] $

$ \boldsymbol{A}^2=\left[\begin{array}{lllll} 2 & 3 & 1 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 4 & 2 & 3 \\ 3 & 5 & 1 & 2 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 & 5 \\ 4 & 1 & 2 & 3 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 & 5 & 3 \end{array}\right] $

3.2.2 计算隶属度

给出将排序转化的隶属函数为

$ \delta(\boldsymbol{G})=\frac{\ln (m-l)}{\ln (m-1)} $

(3)

式中：G = A_ij, l={1, 2, 3, …, j, j+1}，j为指标总数，m=j+2。

δ(G)是一个变量，如果某一指标的δ(G)越接近1，表明越重要。因此, 依照公式分别计算出常规定量指标以及路用性能指标的隶属度，设c_ij=δ(G)为A_ij的隶属度，可以得到以下两个隶属度矩阵：

$ \boldsymbol{C}^1=\left[\begin{array}{ccc} 0.79 & 0.50 & 1 \\ 1 & 0.50 & 0.79 \\ 1 & 0.50 & 0.79 \\ 0.50 & 0.79 & 1 \\ 0.50 & 0.79 & 1 \\ 1 & 0.50 & 0.79 \\ 0.50 & 0.79 & 1 \end{array}\right] $

$ \boldsymbol{C}^2=\left[\begin{array}{ccccc} 0.90 & 0.77 & 1.00 & 0.61 & 0.39 \\ 0.39 & 1 & 0.61 & 0.90 & 0.77 \\ 0.77 & 0.39 & 1 & 0.90 & 0.61 \\ 0.77 & 0.61 & 1 & 0.90 & 0.39 \\ 0.61 & 1.00 & 0.90 & 0.77 & 0.39 \\ 0.39 & 0.61 & 0.77 & 1.00 & 0.90 \\ 1 & 0.90 & 0.61 & 0.39 & 0.77 \end{array}\right] $

3.2.3 盲度分析和总体认识度计算

1) 定义一个专家对各二级指标的平均认识度为c_j，计算公式为

$ c_j=\left(c_{1 j}+c_{2 j}+c_{3 j}+\cdots\right) / k $

(4)

式中k为专家个数。在此次调查中，k=7。由此计算出两组指标的平均认识度分别为c_j¹=[0.756, 0.625, 0.911], c_j²=[0.690, 0.755, 0.843, 0.781, 0.603]。

2) 定义一个专家由于认知产生的不确定性造成的“盲度”为B_j，计算公式为

$ \begin{gathered} \boldsymbol{B}_j=\left\{\left[\max \left(c_{1 j}, c_{2 j}, c_{3 j}, \cdots, c_{k j}\right)-c_j\right]+\right. \\ \left.\left[\min \left(c_{1 j}, c_{2 j}, c_{3 j}, \cdots, c_{k j}\right)-c_j\right]\right\} / 2 \end{gathered} $

(5)

根据式(5)，可以计算出B_j¹=[-0.006, 0.021, -0.015]，B_j²=[0.003, 0.062, -0.036, -0.088, 0.040]。

3) 计算7位专家对两组指标的总体认识度为 x_j，计算公式为

$ \boldsymbol{x}_j=c_j\left(\mathbf{1}-\boldsymbol{B}_j\right) $

(6)

两组指标的总体认识度分别为x_j¹=[0.760 6, 0.612 2, 0.924 7]，x_j²=[0.688 3, 0.708 2, 0.872 9, 0.850 0, 0.578 7]。

3.2.4 归一化处理

对总体认识度x_j¹及x_j²归一化处理后得到各二级指标的权重α_j¹、α_j²，可视化二级指标的权重如图 3、4所示。

$ \boldsymbol{\alpha}_j^1=\left[\begin{array}{lll} 0.331 \; 0, 0.266\;5, 0.402\;5 \end{array}\right]^{\mathrm{T}} $

$ \boldsymbol{\alpha}_j^2=[0.186\;1, 0.191\;5, 0.226\;1, 0.229\;8, 0.156\;5]^{\mathrm{T}} $

计算常规定量指标与路用性能定量指标的评价结果矩阵：

$ \boldsymbol{R}^1=\left(\boldsymbol{\alpha}_j^1\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{F}^1=(0.389, 0.566, 0.801)^{\mathrm{T}} $

$ \boldsymbol{R}^2=\left(\boldsymbol{\alpha}_j^2\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{F}^2=(0.618, 0.748, 0.587)^{\mathrm{T}} $

由此得到了二级指标的综合评价结果，由结果可知对于常规定量指标，级配3为最优级配；对于路用性能定量指标，级配2为最优级配。

3.3 一级指标综合评价

根据上文得到的二级指标的综合评价结果，构建一级指标评判矩阵B与其权重向量W。由R¹，R²组成中间层评价矩阵R：

$ \boldsymbol{R}=\left[\boldsymbol{R}^1, \boldsymbol{R}^2\right]^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{lll} 0.389 & 0.566 & 0.801 \\ 0.618 & 0.748 & 0.587 \end{array}\right] $

可见，最优指标集R_g=(0.801，0.748)^T。

根据关联系数计算公式(5)，计算可得评判矩阵$\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll} 0.333 & 0.467 & 1.000 \\ 0.382 & 1.000 & 0.333 \end{array}\right]$，考虑采用熵值法确定一级指标权重，计算步骤如下。

1) 计算指标值x_jk，计算公式为

$ x_{j k}=\frac{d_{j k}}{\sum\limits_{k=1}^q d_{j k}} $

(7)

将指标值x_jk以矩阵形式表示，得到一级指标的计算结果为

$ \boldsymbol{X}=\left[\begin{array}{lll} 0.185 & 0.259 & 0.556 \\ 0.223 & 0.583 & 0.194 \end{array}\right] $

2) 计算熵值e_j，各指标决策信息可表示为

$ e_j=-\lambda \sum\limits_{k=1}^q x_{j k} \ln x_{j k} $

(8)

式中：$\lambda=\frac{1}{\ln q}$，q为评价级配的数量，本文中q=2，计算得到一级指标的熵值为e =(1.426, 1.396)^T。

3) 计算各指标的效用值d_j，也就是指标的偏差度，偏差度越大，该指标价值越大，权重也就越大。

$ d_j=\left|1-e_j\right|, j=1, 2, \cdots, n_i $

(9)

计算得到一级指标的效用值为d =(0.426, 0.396)^T。

4) 计算权重因子，得到权重。第j个指标的权重因子表示为

$ w_j=\frac{d_j}{\sum\limits_{k=1}^{n_i} d_k} $

(10)

计算得到一级指标权重W =(0.518, 0.482)^T。

一级指标可视化权重如图 5所示。对级配优选进行综合评价，评价结果为

$ \boldsymbol{M}=\boldsymbol{W}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}=(0.244, 0.724, 0.679) $

图 6评价结果显示，对于目标级配1、2、3，根据构建的评价指标体系的最终优选评价结果为级配2>级配3>级配1。目标级配2为最优级配，其对应的目标配合比为最优的配合比级配组成设计结果，即15~25 mm、10~＜15 mm、5~＜10 mm、0~＜5 mm、矿粉的配合比分别为24%、17%、18%、35%、6%。

3.4 分辨系数取值对级配优选评价结果的影响

在进行关联系数的公式计算时，涉及到分辨系数ρ的取值，为探究该系数的取值对级配优选最终评价结果的影响，对分辨系数ρ的值以0.2的间隔计算各优选级配的综合评价结果，如图 7所示。

由图 7可以看出，分辨系数的取值并不会影响级配优选的优劣排序，但会影响各优选级配之间的评价结果之间的差异，分辨系数越小，各级配间的差值越大，越能体现各级配间的优劣关系。ρ=0.1和ρ=0.9时，最优和最劣的两个级配的综合评价差值分别为0.480、0.238。

从整体呈现的规律也可以看出，级配2与级配3的差值较小，且随分辨系数的波动较小，级配1与级配2、级配3的差值较大，随分辨系数的波动也较大，因此, 可认为级配2与级配3的综合评价没有显著差异，两者与级配1的综合评价有较大差异。

4 结论

采用灰度模型理论和赋权方法，构建指标体系和分析步骤，提出分析流程，对沥青混合料配合比设计的级配优选问题进行分析，提出了方法体系，结合示例进行分析论证，具体得出以下结论：

1) 采用灰度模型分析理论通过分析3组目标级配的指标数据列与最优值数据列的关联程度可以对级配作出评价并优选。

2) 运用灰度模型理论，建立了目标配合比级配优选评价体系，基于分析结果所体现出来的最优配合比，表现出了综合性能的优越性，证明了基于灰度模型的沥青混合料目标配合比级配优选评价方法的科学性。

3) 沥青混合料目标配合比级配的灰度模型优选评价方法确定权重时通过各性能指标的包含信息量大小进行，将确定权重出现较多的主观因素问题有效避开且并不损失原始指标信息，是一种客观真实的确定方法。

4) 考虑了沥青混合料生产过程中的多项指标，模拟了工程中的复杂性，为沥青混合料目标配合比设计的级配优选提供了一种新的评价方法。