在石油和天然气勘探过程中，欠采样地震数据的恢复问题是一个重要的研究方向，于是国内外学者最近提出了基于压缩感知的Curvelet域迭代阈值收缩恢复算法，然而这些算法通常采用软阈值收缩函数，该思想是建立在假设所有Curvelet域稀疏系数相互独立基础上，而忽略Curvelet域系数之间的依赖关系。本文利用贝叶斯估计对地震数据Curvelet系数的父子依赖关系进行研究，提出双变量阈值收缩函数的恢复算法。首先在Curvelet域对完整地震数据和欠采样数据中噪声信号，分别建立父子系数联合分布模型，然后根据贝叶斯最大后验概率估计得到双变量阈值收缩函数，然后利用Landweber算法进行迭代，最后通过与现有恢复算法对比实验，得到该算法恢复结果可以得到更高的PSNR，并能更好的保持地震数据同相轴的纹理细节信息。

研究目的：

地震勘探是为了获得地下构造的精确成像，由于采集环境原因，如地表障碍物的存在（建筑物、道路、桥、梁）等或地形条件的因素（禁采区和山区、森林、河网地区等）、仪器硬件（地震检波器、空气枪、电缆等）问题引起的采集坏道以及海洋地震数据采集时电缆的羽状漂流等，往往导致地震数据在空间方向上是欠稀疏采样的。从而导致数据中含有空间假频，以至于在地震数据处理过程中不但会引起人为误差，而且会对基于多道技术的地震数据处理方法的结果产生严重的影响，从而在后续的数据处理时产生假象，最终导致错误的解释。本文利用压缩感知、稀疏表示、贝叶斯估计等技术，结合地震数据的特点，建立地震数据高精度恢复算法。保证后续地震数据处理能够更好反映复杂地质构造，为油气勘探提供更有效的指示和帮助。

研究过程及所用的方法：

（1）基于压缩感知的地震数据恢复基本思想

设完整的二维地震数据为 ( )， 是检波器坐标样本数， 是时间轴坐标样本数，设 是向量化算子， 向量化后 ， 为( )向量。欠采样地震资料设为 ( )， ，向量化后 ， 为( )维向量，则欠采样地震数据可以表示为式(1)：

(1)

是一个二元采样矩阵，从 采样得到 ，相当于从完整的地震资料 中 道抽取 道数据。因为 ，显然式(1)是欠定的方程组，无法根据 求解 ，设地震资料 在变换域 下系数为 ，有 ， 是 的反变换，则

(2)

在具备地震数据变换域系数是稀疏的先验知识，和感知矩阵 满足有限等距性质的前提下，为通过 恢复 提供了理论保证。求解欠定方程组(1)的问题转化为 范数优化问题如式(3)。

(3)

求解式(3)是极不稳定而且是NP难的非凸优化问题。在 和 不相关的条件下，可以转为求解一个等价的、更加简单的 范数优化问题如式(4)。

(4)

使问题转化为求解一个凸优化问题，进而可解。

（2）基于Curvelet的地震数据稀疏表示方法

地震数据Curvelet域可以用 表示，其对应的系数 ，由于Curvelet对二维曲线状纹理具有较好的稀疏表示效果，根据地震波的特点，得到的系数 稀疏程度大，有利于地震数据的恢复。

（3）Curvelet域贝叶斯估计双变量阈值收缩函数设计

分别对地震数据与噪声信号Curvelet变换父子系数联合分布建模，得到地震数据近似拉普拉斯分布，噪声信号近似高斯分布的先验，结合贝叶斯最大后验概率估计得到当前系数的阈值函数，利用地震数据Curvelet域最高尺度系数与邻域窗口系数分布特点估计参数，最终确定双变量阈值收缩函数。

（4）稀疏反演恢复算法设计

采用凸投影和阈值操作交替迭代的Landweber算法，每次迭代的阈值操作通过Curvelet域贝叶斯估计双变量阈值收缩函数过滤噪声如式(5)：

(5)

式(5)中 表示第 次迭代，地震缺失数据在Curvelet域尺度为 的系数， 表示地震完整数据在Curvelet域尺度为 的系数贝叶斯最大后验估计值。

结果：

通过合成数据与marmousi模型数据与现有算法比较得到如下结果：

1）恢复数据的PSNR对比：本文算法高于Curvelet域软阈值迭代算法结果，并且高于双树复小波dual-tree DWT (DDWT)与轮廓波Contourlet域双变量阈值收缩函数迭代结果。

2） 恢复数据的主观效果对比：本文算法得到的恢复数据能更好的保持地震数据同相轴的纹理细节信息。

3）恢复时间对比：本文算法恢复所用时间略高于Curvelet域软阈值迭代算法，以及DDWT与Contourlet域双变量阈值收缩迭代算法。

结论：

1） 通过对完整地震数据与噪声信号Curvelet变换父子系数联合分布建模，结合贝叶斯最大后验概率估计得到当前系数的阈值函数，利用地震数据Curvelet域最高尺度系数与邻域窗口系数分布特点确定估计参数，得到的双变量阈值函数可以较好的对当前系数的有效性进行估计。

2）利用Contourlet域双变量阈值收缩函数结合凸投影和阈值操作交替迭代的Landweber算法，可以有效的恢复地震数据。

关键词：地震数据恢复；压缩感知；迭代收缩；双变量阈值收缩函数