点对点运动广泛存在于机器人、数控装备、起重机械等领域。利用目标位置与当前位置的误差进行反馈控制，是很多点对点运动控制系统普遍采用的算法，这种方法存在着初始控制量大、过程不可控以及振动和冲击较大等缺陷。为了解决这个问题，通常采用轨迹规划法。合理的点对点轨迹规划应该将最大速度、加速度、加加速度等进行合理约束，并能根据被控对象特点有效调整加、减速过程，且保证系统平稳运行。目前，大多数轨迹规划是根据点对点运动所经历的加速、匀速、减速过程构造分段函数，然后利用各种方法对各段的衔接处进行平滑处理^[1-6]。文献[2]将取放路径分解为两个正交的坐标轴，基于三次B样条曲线设计了高速取放并行机器人的四阶连续平滑轨迹。文献[7]建立了基于四元数的直线与圆弧运动的位姿模型，并采用弧长增量法插补技术实现了机械手空间轨迹规划。文献[8]将三角函数与直线连接组成加速度曲线，提出一种加加速度无突变且起止端连续的S型加减速规划算法。文献[9]采用五阶S曲线加减速方法对电机启动输入信号进行规划来抑制系统扭振，并运用粒子群优化算法选取五阶S曲线参数。文献[10]以循环计算方式获得加速段的运动距离与速度、最大速度的作用时间，提出了四阶S型轨迹规划算法。文献[11]通过设计机器人末端位置和姿态的数学表达式，在过渡节点之间采用一种有限项的正弦级数进行曲线拟合，提出了一种工业机器人连续轨迹规划过渡算法。文献[12]将两个周期不同的三角函数叠加，构造了伺服电机加减速曲线，降低了伺服电机的功率要求。文献[13]将速度和位移方程转换为单一凸形函数，并根据加速度、速度约束条件进行修正，提出了一种高效的加减速时间规划算法。文献[14]针对加速度的不连续变化，研究了一种基于S型速度曲线的轨迹规划方法。文献[15]使用五次多项式修改生成的轨迹，给出了由三点确定一般平面曲线的条件，提出了一般曲线插值方法，在此基础上设计了一种新轨迹。文献[16]将取放路径分解为两个正交的坐标轴，基于三次B样条曲线设计了高速取放并行机器人的四阶连续平滑轨迹。根据标准逻辑函数构造了分段S型加速度函数，得到了一条在速度、加速度、加加速度约束下四阶可微的轨迹。文献[17]将三次多项式和贝塞尔曲线相结合，设计了起、始点都光滑的轨迹。文献[18]探讨了最大速度曲线的特点，提出了一种最大或最小加速度的简便计算方法。文献[19]为减少高速运动阶段的残余振动，设计了一条加加速度约束下的非对称运动轨迹。文献[20]提出了一种基于相平面分析的轨迹规划法，可将台车速度、加速度以及负载最大摆幅始终约束在允许范围内。文献[21]利用三角函数设计了S型速度曲线，并利用其对旋转起重机两级残留摆角进行了控制。

综上可以看出，绝大部分轨迹规划都以梯形、S型速度或加速度曲线为基础，生成的轨迹表达式都是在加速、匀速、减速段的衔接点存在断点的分段函数。采用高次多项式、在衔接点采用正弦、余弦、样条或者双曲正切等光滑函数过渡，可以提升轨迹的平滑性和可微的阶次，但是这种方法通常增加了曲线衔接点的个数，使曲线表达形式更加复杂，时间规划更加困难，而且这些曲线参数众多，难以根据被控对象要求对启停进行针对性调整，使其效率或精度受到影响。

本文利用两段双曲正切函数构造衔接点在匀速段的非对称S型速度曲线，并将S型曲线与跟踪微分器结合，生成一种高阶连续的点对点运动轨迹(HCPPMT)，其具有结构简单、光滑、冲击强度可控、各阶段的快慢程度可调、适用范围广等优点。与其他两种轨迹的性能指标进行对比，说明了HCPPMT的优越性。

1 高阶连续的点对点运动轨迹规划

点对点运动要求启动平稳、停车精准，而其所经历的加、减速阶段势必对其产生冲击，缓慢运行可减少冲击，但低下的效率使人难以接受。因此，需要根据被控对象特点，设计一条冲击强度可调、在匀速段能以最大速度运行、终点恰好为目标点的高效运动轨迹。S型曲线包含加、减及匀速3个阶段，符合点对点运动的特点，因此，先构造各阶段状态都可按需调整的S型曲线。为了避免S型曲线在加速、匀速、减速段的衔接点出现断点，构造一个具有加速、匀速、减速特点，且能光滑过渡的函数就很关键。

以v₁表示运动点的实时位置，s_d表示目标位置，当v₁∈[0, s_d/2]，即运动点在起点和中点之间时，利用双曲正切函数设计包含加速和部分匀速段、且变化率可调的光滑连续曲线S₁：

$ f_{1}\left(v_{1}, s_{d}\right)=-k_{d} \cdot \tanh \left[\left(v_{1}+\varepsilon\right) \cdot r_{1}\right] $

(1)

式中：k_d为额定速度；r₁为加速调节因子，可调节加速阶段的快慢程度，r₁∈ R⁺，r₁越小，近似线性部分斜率越小，越平缓; ε为启动加速度调节因子，用于调节启动加速度。

当v₁∈(s_d/2, s_d]，即运动点在中点和目标点之间时，设计包含部分匀速和减速段、且变化率可调的光滑连续曲线S₂：

$ f_{2}\left(v_{1}, s_{d}\right)=k_{d} \cdot \tanh \left[\left(v_{1}-s_{d}\right) \cdot r_{2}\right] $

(2)

式中r₂为减速调节因子，可调节减速阶段的快慢程度，r₂∈ R⁺。

将曲线S₁和S₂在中点进行衔接，形成包含加速、匀速及减速段的S型曲线：

$ f\left(v_{1}, s_{d}\right)=\left\{\begin{array}{l} -k_{\mathrm{d}} \cdot \tanh \left[\left(v_{1}+\varepsilon\right) \cdot r_{1}\right], v_{1} \leqslant s_{d} / 2 \\ k_{\mathrm{d}} \cdot \tanh \left[\left(v_{1}-s_{d}\right) \cdot r_{2}\right], v_{1}>s_{d} / 2 \end{array}\right. $

(3)

该曲线中点附近处于匀速段，保障了整个S型曲线的连续性，利用双曲正切函数的平滑特性实现了点对点运动中加速、匀速、减速阶段的平滑过渡，有效避免了传统点对点运动轨迹规划中分别设计加速、匀速、减速段，然后采用平滑函数连接各段的繁琐过程，有效克服了传统设计中加速、匀速、减速衔接点处高阶不可微、使系统冲击和振动大的弊端。

被控对象启动时相当于被施加了一阶跃信号，该信号高阶不可微，会对被控对象造成严重冲击，阶跃信号经过跟踪微分器后，其输出曲线变为一条平滑曲线，可有效消除初始点高阶不可微的问题，因此对0点到v₁-s_d点用跟踪微分器处理，得

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{v}_{1}=v_{2} \\ \dot{v}_{2}=-r^{2}\left(v_{1}-s_{d}\right)-2 r v_{2} \end{array}\right. $

(4)

式中r为速度调节因子，可调节被控对象的运行速度，r∈ R⁺。

对式(3)、(4)进行综合，得到速度、加速度和加加速度始终有界，可准确收敛至目标点，且高阶连续的点对点光滑运动轨迹(HCPPMT)：

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{v}_{1}=v_{2} \\ \dot{v}_{2}=-r^{2} f\left(v_{1}, s_{d}\right)-2 r v_{2} \end{array}\right. $

(5)

从HCPPMT的构造过程可以看出，在中点处存在衔接点，处理不当会产生断点，致使其高阶不可微。为克服这一缺陷，应使式(3)在s_d/2邻域都处于匀速段。在目标点较远时，式(3)可保证被控对象以最大速度匀速运行较长距离，不会出现断点。而目标点很近时，若加、减速阶段运行的总距离等于s_d，则意味着加速到最大运行速度后就需要减速，这时就会出现拐点，使其高阶不可微。因此，需调整速度调节因子r，使速度至少在s_d/2邻域的2N个计算步长内都以最大速度匀速运行，N表示可微的阶数。最大运行速度根据目标点距离s_d，加速阶段和减速阶段的调节因子r₁、r₂，额定速度k_d，速度调节因子r，用龙格库塔法通过数值计算确定。

式(5)描述的高阶连续点对点运动轨迹具有如下性质：1)收敛至目标点s_d处；2)速度始终有界，且r∈[0, 2]时，0≤v₂≤k_d；3)加速度和加加速度始终有界。

2 高阶连续的点对点运动轨迹性质证明

定理1  高阶连续的点对点运动轨迹(HCPPMT) 收敛至目标位置s_d处。

考虑到启动加速度调节因子ε的数值很小，为使证明过程简洁明晰，将其忽略不计。

构造如下函数h(v₁):

$ h\left(v_{1}\right)=\left\{\begin{array}{l} \frac{k_{d} r^{2}}{r_{1}}\left(Q-\ln \left(\cosh \left(r_{1} v_{1}\right)\right)\right), v_{1} \leqslant \frac{s_{d}}{2} \\ \frac{k_{d} r^{2}}{r_{2}} \ln \left(\cosh \left(\left(v_{1}-s_{d}\right) \cdot r_{2}\right)\right), v_{1}>\frac{s_{d}}{2} \end{array}\right. $

(6)

式中Q=ln(cosh(r₁s_d/2))。当v₁≤s_d/2时，ln(cosh(r₁v₁))≤ln(cosh(r₁s_d/2))，又ln(cosh(r₁v₁))≥0，且k_d、r、r₁均为正数，因此式(6)≥0。

将式(6)对时间求导，可得

$ \dot{h}\left(v_{1}\right)=\left\{\begin{array}{l} -k_{d} r^{2} \tanh \left(r_{1} v_{1}\right), v_{1} \leqslant \frac{s_{d}}{2} \\ k_{d} r^{2} \tanh \left(\left(v_{1}-s_{d}\right) \cdot r_{2}\right), v_{1}>\frac{s_{d}}{2} \end{array}\right. $

(7)

构造如下Lyapunov候选函数：

$ V=h\left(v_{1}\right)+\frac{1}{2} v_{2}^{2} $

(8)

根据式(6)可知，V为恒大于等于0的函数，将V对时间求导，可得

$ \dot{V}=\dot{h}\left(v_{1}\right) v_{2}-r^{2} v_{2} f\left(v_{1}, s_{d}\right)-2 r v_{2}{}^{2}=-2 r v_{2}{}^{2} $

(9)

由式(9)≤0可知，HCPPMT是Lyapunov意义下稳定的。

定义集合Γ为包含所有满足$\dot V = 0$的点，在该集合中，V为常数，且由$\dot V = 0$, 可知v₂=0，因此${\dot v_2} = 0$。

综合式(3)、(5)可知，当t→∞时，f(v_1, s_d)=0，因此可得

$ \lim \limits_{t \rightarrow \infty} v_{1}(t)=s_{d} $

(10)

定理2  HCPPMT的期望轨迹速度始终大于0且有界，且r∈[0, 2]时，0≤v₂≤k_d。

证明  构造新函数：

$ g\left(v_{1}\right)=\left\{\begin{array}{l} 2 r_{1} k_{d} v_{1}, 0 \leqslant v_{1}<\frac{1}{2 r_{1}} \\ k_{d}, \frac{1}{2 r_{1}} \leqslant v_{1}<\frac{2 s_{d}-1}{2 r_{2}} \\ 2 k_{d}\left(s_{d}-r_{2} v_{1}\right), \frac{2 s_{d}-1}{2 r_{2}} \leqslant v_{1} \leqslant \frac{s_{d}}{r_{2}} \end{array}\right. $

(11)

令G(v₁)=g(v₁)+ f(v₁, s_d)，接下来证明G(v₁) ≥0。

当0≤v₁ < 1/(2r₁)时，

$ G\left(v_{1}\right)=k_{d}\left(2 r_{1} v_{1}-\tanh \left(r_{1} v_{1}\right)\right) $

(12)

对式(12)针对v₁求导，可得

$ \dot{G}\left(v_{1}\right)=k_{d} r_{1}\left(1+\tanh ^{2}\left(r_{1} v_{1}\right)\right) \geqslant 0 $

(13)

因此，在[0, 0.5/r₁]内，G(v₁)为单调递增函数，又因为G(0)= 0，因此在[0, 0.5/r₁]内，G(v₁)≥0。

当1/(2r₁)≤v₁ < (2s_d-1)/(2r₂)时，很显然G(v₁)≥0；当(s_d -0.5)/r₂≤v₁ < s_d/r₂时，

$ G\left(v_{1}\right)=k_{d} \tanh \left(r_{2}\left(v_{1}-s_{d}\right)\right)-2 k_{d}\left(r_{2} v_{1}-s_{d}\right) $

(14)

对式(14)中的v₁求导，得

$ \dot{G}\left(v_{1}\right)=k_{d} r_{2}\left(-1-\tanh ^{2}\left(v_{1}-s_{d}\right)\right)<0 $

(15)

因此，在[(s_d-0.5)/r₂，s_d/r₂]内，G(v₁)为单调递减函数，又因为G(s_d)= 0，因此，在[(s_d-0.5)/ r₂，s_d/r₂]内，G(v₁)≥0。

综上证明可得，在[0, s_d/r₂]内，

$ -f\left(v_{1}, s_{d}\right) \leqslant g\left(v_{1}\right) $

(16)

接下来构造一个新微分方程：

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{v}_{1}=v_{2} \\ \dot{v}_{2}=r^{2} g\left(v_{1}\right)-2 r v_{2} \end{array}\right. $

(17)

假定到达目标位置的时间为t，到达v₁=0.5/r₁的时间为t₁，到达v₁=(s_d-0.5)/r₂的时间为t₂，到达v₁=s_d的时间为t₃，对式(17)中的${\dot v_2} = 0$求定积分：

$ \begin{aligned} &\int_{0}^{t}\left[r^{2} g\left(v_{1}\right)-2 r v_{2}\right] \mathrm{d} t=\int_{0}^{t_{1}}\left(2 r^{2} r_{1} k_{d} v_{1}-2 r v_{2}\right) \mathrm{d} t+ \\ &\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left(r^{2} k_{d}-2 r v_{2}\right) \mathrm{d} t+\int_{t_{2}}^{t_{3}}\left[2 r^{2} k_{d}\left(s_{d}-r_{2} v_{1}\right)-2 r v_{2}\right] \mathrm{d} t \end{aligned} $

(18)

当0≤t≤t₁时，v · ₂=2r²r₁k_dv₁－2rv₂，求解该方程，可得v₁的表达式为

$ v_{1}=c_{1} \mathrm{e}^{\psi_{11} t}+c_{2} \mathrm{e}^{\psi_{12} t} $

(19)

其中${\psi _{11}} = r\sqrt {1 + 2{r_1}{k_d}} - r, {\psi _{12}} = - r - r\sqrt {1 + 2{r_1}{k_d}} $。

对式${\dot v_2} = 2{r^2}{r_1}{k_d}{v_1} - 2r{v_2}$求定积分，可得

$ \begin{aligned} &\int_{0}^{t_{1}}\left(2 r^{2} r_{1} k_{d} v_{1}-2 r v_{2}\right) \mathrm{d} t=\left(\frac{2 r^{2} r_{1} k_{d} c_{1}}{\psi_{11}}-2 r c_{1}\right) \cdot \\ &\left(\mathrm{e}^{\psi_{11} t_{1}}-1\right)+\left(\frac{2 r^{2} r_{1} k_{d} c_{2}}{\psi_{12}}-2 r c_{2}\right)\left(\mathrm{e}^{\psi_{12} t_{1}}-1\right) \end{aligned} $

(20)

其中：c₁、c₂为待定参数(根据初始状态确定)，k_d为额定速度，显然式(20)是有界的。

由于t=0时，v₁=0，将其代入式(19)，可得

$ c_{1}=-c_{2} $

(21)

由v₁≥0可知，c₁为正数。

对式(19)求导，并结合式(21)，可得

$ v_{2}=c_{1}\left(\psi_{11} \mathrm{e}^{\psi_{11} t}-\psi_{12} \mathrm{e}^{\psi_{12} t}\right) $

(22)

$ \dot{v}_{2}=c_{1}\left(\psi_{11}^{2} \mathrm{e}^{\psi_{11} t}-\psi_{12}^{2} \mathrm{e}^{\psi_{12} t}\right) $

(23)

由于ψ₁₁>ψ₁₂，因此当0≤t≤t₁时，v₂(t)≥0，${\dot v_2}\left( {{t_1}} \right) \ge 0$。

当t₁≤t≤t₂时，${\dot v_2} = {r^2}{k_d} - 2r{v_2}$，求解该方程可得v₁的表达式为

$ v_{1}=c_{3}+c_{4} \mathrm{e}^{-2 r t}+\frac{r k_{d}}{2} t $

(24)

对式(24)求导，得速度v₂：

$ v_{2}=\frac{r}{2} k_{d}-2 r c 4 \mathrm{e}^{-2 r t} $

(25)

对式(25)求导，并将t₁代入，得

$ \dot{v}_{2}\left(t_{1}\right)=4 r^{2} c_{4} \mathrm{e}^{-2 r t_{1}} $

(26)

由$可知，c₄>0，因此v₂≤rk_d/2。又v₂(t) > v₂(t₁)，因此v₂(t) >0。

当t₂≤t≤t₃时，

$ \dot{v}_{2}=2 r^{2} k_{d}\left(s_{d}-r_{2} v_{1}\right)-2 r v_{2} $

(27)

将$代入式(27)，并整理得

$ \ddot{v}_{1}+2 r \dot{v}_{1}+2 r^{2} k_{d} r_{2} v_{1}=2 r^{2} k_{d} s_{d} $

(28)

这是一个典型的二阶系统，当r₂≤1/k_d时，其阶跃响应可以无超调地跟踪设定值s_d，因而其位移是有界的，当然速度也是有界的。又由于无超调的阶跃响是单调上升的，因此当t₂≤t≤t₃，r₂ ≤1/k_d时，v₂>0且有界。

由于所规划轨迹的最大速度在匀速段，而匀速段所在区间为[t₁, t₂]，该区间内的最大速度为rk_d/2，因而整个区间的速度都小于rk_d/2。

综合以上分析，可得期望轨迹速度始终大于0且有界，且r∈[0, 2]时，0≤v₂≤k_d。

定理3  HCPPMT的期望轨迹加速度和加加速度分别有界。

根据式(23)、(26)、(27)，显然加速度有界。

将式(5)对时间求导，得

$ \ddot{v}_{2}=\left\{\begin{array}{l} r^{2} k_{d}\left(1-r_{1} \tanh ^{2}\left(r_{1} v_{1}+r_{1} \varepsilon\right)\right)-2 r\dot{v}_{2}, v_{1}<s_{d} / 2 \\ -r^{2} k_{d}\left(1-r_{2} \tanh ^{2}\left(r_{2} v_{1}-r_{2} s_{d}\right)\right)-2 r\dot{v}_{2}, v_{1} \geqslant s_{d} / 2 \end{array}\right. $

(29)

由于加速度有界，且tanh函数为有界函数，因此式(29)有界，即加加速度有界。

3 可调参数对HCPPMT的影响分析

对不同被控对象，在加速、匀速、减速阶段有不同要求。譬如：为提高效率，起重机械要求较快加速到最大运行速度后匀速运行，为保证安全，其最大运行速度也要根据环境风速进行调整，减速阶段则要求缓慢地停靠在目标点，以实现精准定位。因此，有必要研究可调参数对HCPPMT各阶段状态和冲击强度的影响规律，使其在不同的应用场合发挥最大效能。

为研究最大速度调节因子r对HCPPMT的影响，令s_d =30 m、k_d=2 m/s、ε=0.01、r=2、r₂=0.4，当r分别取2、1.61和1.24时，位移、速度、加速度随时间的变化如图 1所示，从图中可以看出，当r等于2时，轨迹的最大匀速运行速度等于额定速度。r越小，最大匀速运行速度越小，在作业距离一定时，耗时也越长。因此，作业距离越远，应使r越大，以便尽可能提高作业效率，但r不能大于2；近距离作业时，则应使r较小，但太小会降低作业效率，因此以在s_d/2邻域的2N个计算步长内都以最大速度匀速运行为前提。对在室外环境中作业的起重机械，为保证安全，应根据风速等级，选择合适的r值。

为研究加速调节因子r₁对HCPPMT的影响，令s_d =30 m、k_d=2 m/s、ε=0.01、r=2、r₂=0.4，当r₁分别取0.65、1和1.8时，HCPPMT的位移、速度、加速度随时间的变化如图 2所示，从图 2中可以看出，r₁越小，轨迹初始阶段越平缓，到达最大速度的时间变长，运行规定距离所耗费的时间也越多，随着r₁的增加，加速度变大，冲击强度增加，到达最大速度的时间变短，匀速段和减速段提前，但最大速度大小和减速阶段状态不受影响。因此，对于需要慢启动的精密机械，应取较小的r₁值，以减小冲击，而对于行程较长的起重机械，在不超过最大加速度的前提下，则宜使用较大r₁值，以便提高效率。

为研究减速调节因子r₂对HCPPMT的影响，令s_d=30 m、k_d =2 m/s、ε=0.01、r=1.24、r₁=1，当r₂分别取0.2、0.28和0.36时，HCPPMT的位移、速度、加速度随时间的变化如图 3所示，从图中可以看出，在进入减速段前，整个轨迹曲线保持不变，但r₂越小，进入减速段的时间越早，使匀速段的时间变短，减速段的时间变长，完成整个作业过程的时间增多，但变化趋势越平缓，接近目标点时的速度也越慢，对于需要在目标点精确对位的精密装备，如岸桥起重机，宜选择较小的r₂值。

4 3种轨迹生成算法的对比分析

为了检验HCPPMT的效果，取s_d=20 m、k_d=5 m/s、ε=0.01、r=1.28、r₁=0.5、r₂=0.2，计算步长取0.05进行仿真，得仿真结果T₁。同时，在相同目标位置和计算步长下，将S型速度曲线的仿真结果记为T₂，S型位移曲线的仿真结果记为T₃。

S型速度曲线采用文献[22]中的形式，为便于对比，将角度转换成位移：

$ \dot{y}=\left\{\begin{array}{l} \dot{y}_{c}\left(1-\cos \left({\rm{ \mathsf{ π} }} t / t_{1}\right)\right), t \in\left[0, t_{1}\right) \\ \dot{y}_{c}, t \in\left[t_{1}, t_{1}+t_{2}\right) \\ \dot{y}_{c}\left(1+\cos \left({\rm{ \mathsf{ π} }} t /\left(T-t_{1}-t_{2}\right)\right)\right), t \in\left[t_{1}+t_{2}, T\right) \end{array}\right. $

(30)

其中：y_c为该轨迹的最大速度，t₁为加速阶段时间，t₂为匀速阶段时间，T为总时间，具体参数取值分别为y_c=3.065 m/s，t₁=2.345 s，t₂=12 s、T=18.69 s。

S型位移曲线采用文献[23]中的表达式：

$ y(t)=\frac{s_{d}}{2}+\frac{v_{e}{}^{2}}{4 a_{e}} \ln \left[\frac{\cosh \left(2 a_{e} t / v_{e}-\kappa\right)}{\cosh \left(2 a_{e} t / v_{e}-\kappa-2 s_{d} a_{e} / v_{e}{}^{2}\right)}\right] $

(31)

其中：v_e为最大速度，a_e为最大加速度，κ为初始加速度调节因子，κ=1.4，v_e=3.056 m/s，a_e=2.2 m/s²。

将仿真时间步长设置为0.01 s，仿真结果如图 4及表 1所示。

图 4中自上至下分别为T₁、T₂、T₃的位移、加速度，加加速度，加加加速度随时间t的变化曲线，从图中4(a)可以看出：3种轨迹几乎同时到达指定位置，也就是在合适条件下它们的运行效率基本相同。从图 4(b)及表 1可以看出：轨迹T₃的加速度在初始阶段出现了突变，说明利用轨迹T₃进行跟踪控制时，在起动时需要很大驱动力，这势必要求提高执行器的功率，而且会对系统产生严重冲击，T₁、T₂的加速度都是连续的，但轨迹T₁的最大加速度更小，说明所需的最大驱动力更小，对执行器的最大功率要求也就更低，有利于降低成本，而且T₂在各段(加速、匀速、减速)衔接处出现了明显转折，而轨迹T₁的加速度在整个过程中都比较平滑，因而利用T₁进行轨迹跟踪控制，系统运行更平稳。从图 4(c)及表 1可以看出：T₃初始阶段的加加速度也出现了突变，会对系统产生很大的柔性冲击，使其大幅振动，T₂则在各段衔接处出现了最大值为2.73 m/s³的跃变，会对系统产生明显的冲击和振动，而T₁加加速度的最大值为1.24 m/s³，远小于T₂、T₃的加加速度最小值，并且T₂的加加速度平滑且连续，不会对系统产生大冲击和振动。从图 4(d)可以看出，轨迹T₂、T₃的加加加速度在各段衔接处都出现了突变，而轨迹T₁的加加加速度光滑且连续，且最大值只有2.75 m/s⁴，即使进行更高阶微分，都将是平滑且连续的，因此特别适用于需要进行高阶微分的场合(图中↑表示在该时刻，纵坐标值为无穷大值)。

5 HCPPMT在三自由度机械臂轨迹规划中的应用分析

三自由度机械臂运动轨迹曲线对机械臂末端运动有着重要影响，如果轨迹的加速度或者加加速度过大，会使机械臂在运行过程中出现振荡、使运动关节经受大冲击，太大的加速度还将使机械臂执行器饱和，使机械臂无法完成既定任务。三自由度机械臂的结构如图 5所示，其中，l₁、l₂、l₃分别表示机械臂1、2、3的长度，分别为0.85、0.95、0.65 m；θ₁、θ₂、θ₃分别表示机械臂1、2、3的转动角度，末端执行器坐标为(p_x、p_y、p_z)，机械臂轨迹规划是通过对机械臂末端执行器空间坐标的x轴、y轴、z轴进行点对点规划，再利用末端执行器坐标和机械臂的转动角度关系式，将设计好的x轴、y轴、z轴的轨迹转化为关节的转动，实现末端执行器的空间运动。末端执行器坐标和机械臂的转动角度关系式可用式(32)描述^[16]：

$ \left\{\begin{array}{l} \theta_{1}=\arctan \frac{p_{y}}{p_{x}} \\ \theta_{2}=\arctan \frac{p_{z}-l_{1}}{\sqrt{p_{x}^{2}+p_{y}^{2}}}- \\ \ \ \arcsin \sqrt{\frac{4 l_{2}^{2} l_{3}^{2}+\left[p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+\left(p_{z}-l_{1}\right)^{2}-l_{2}^{2}-l_{3}^{2}\right]^{2}}{4 l_{2}^{2}\left[p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+\left(p_{z}-l_{1}\right)^{2}\right]}} \\ \theta_{3}=\arccos \frac{p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+\left(p_{z}-l_{1}\right)^{2}-l_{2}^{2}-l_{3}^{2}}{2 l_{2} l_{3}} \end{array}\right. $

(32)

为了验证HCPPMT的有效性，在同样条件下将HCPPMT和文献[16]设计的光滑7段式三自由度机械臂末端执行器运动轨迹(SJM)进行对比，SJM的表达式为

$ \begin{array}{l} \ \ \ \ \ \ \ \ j(t)=\operatorname{sign}(D) \cdot \\ \left\{\begin{array}{l} \int_{\max } \frac{1}{1+\mathrm{e}^{-a\left(1 /\left(1-\tau_{i}\right)-1 / \tau_{i}\right)}}, t_{0} \leqslant t<t_{1}, t_{12}<t \leqslant t_{13} \\ J_{\max }, t_{1} \leqslant t<t_{2}, t_{13} \leqslant t<t_{14} \\ J_{\max } \frac{1}{1+\mathrm{e}^{a\left(1 /\left(1-\tau_{i}\right)-1 / \tau_{i}\right)}}, \quad t_{2} \leqslant t<t_{3}, t_{14} \leqslant t<t_{15} \\ 0, t_{3} \leqslant t<t_{4}, t_{7} \leqslant t<t_{8}, t_{11} \leqslant t<t_{12} \\ -J_{\max } \frac{1}{1+\mathrm{e}^{-a\left(1 /\left(1-\tau_{i}\right)-1 / \tau_{i}\right)}}, t_{4} \leqslant t<t_{5}, t_{8} \leqslant t<t_{9} \\ -J_{\max }, t_{5} \leqslant t<t_{6}, t_{9} \leqslant t<t_{10} \\ -J_{\max } \frac{1}{1+\mathrm{e}^{a\left(1 /\left(1-\tau_{i}\right)-1 / \tau_{i}\right)}}, t_{6} \leqslant t<t_{7}, t_{10} \leqslant t<t_{11} \end{array}\right. \end{array} $

(33)

式中：D为定位距离，J_max为最大加加速度。

与文献[16]一样，根据表 2中机械臂末端执行器起始点、目标点坐标和路径距离用HCPPMT算法进行仿真，并与SJM进行对比，得到的结果如图 6、图 7、图 8和表 2所示。从这些图中可以看出，在整个过程中，这两种方法的加速度、加加速度、加加加速度都光滑连续，但HCPPMT法在这3个指标上均比较有优势，其最大值都小于SJM法的最大值，然而，HCPPMT法到达目标点的时间稍长，这是由于加入跟踪微分器后虽然进一步保证了HCPPMT的高阶可微性，但是使启停过程变得比较平缓，因此需要探寻既能使两段双曲S型轨迹高阶可微，又不影响启停快慢的函数与其结合，这是后续将深入研究的课题。

从表 3可以看出，为了在相同时间内到达目标点，采用SJM法，y轴方向的最大加速度比z轴方向的最大加速度大1.18 m/s²，比x轴方向的最大加速度大1.69 m/s²；y轴方向的最大加加速度比z轴方向的最大加加速度大3.63 m/s³，比x轴方向的最大加加速度大5.22 m/s³；y轴方向的最大加加加速度比z轴方向的最大加加加速度大32.07 m/s⁴，比x轴方向的最大加加加速度大46.12 m/s⁴；而采用HCPPMT法，y轴方向的最大加速度比z轴方向的最大加速度大0.70 m/s²，比x轴方向的最大加速度大1.18 m/s²；y轴方向的最大加加速度比z轴方向的最大加加速度大3.29 m/s³，比x轴方向的最大加加速度大4.56 m/s³；y轴方向的最大加加加速度比z轴方向的最大加加加速度大26.32 m/s⁴，比x轴方向的最大加加加速度大35.16 m/s⁴。因此，定位距离越大，采用HCPPMT法的加速度、加加速度、加加加速度的增量越小，对执行器功率的要求越低，出现执行器饱和而不能完成指定任务的概率就越小；对系统的冲击越小，系统振动幅度也就越低，系统的运动精度也就越高。

6 结论

1) 通过利用两段双曲正切函数构造衔接点在匀速段的S型速度曲线，并将其与跟踪微分器结合，生成了结构简单、高阶连续的点对点运动轨迹，实现了点对点运动加速、匀速、减速过程的平滑过渡，减少了加速、匀速、减速段切换过程中的冲击，增强了运动的平稳性。

2) 通过调整HCPPMT的相关参数，可调节加、减速阶段的快慢程度、匀速阶段的最大速度、作业时间，使HCPPMT的平滑程度、冲击强度可控，各阶段状态可调，且HCPPMT的收敛性及物理性质都通过了严格的数学证明，适用于不同应用场合。后续将利用HCPPMT对数控机床、起重机等进行轨迹跟踪控制研究。

3) 通过和其他两种轨迹对比，以及在三自由度机械臂末端执行器轨迹规划上的应用，说明了HCPPMT的优越性。